Lycée Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 TD
Intégration 1 Continuité uniforme.
1.1 Manipulations techniques élémentaires.
. Exercice 1.1. Soient (a, b, c)∈R
3 tels que−∞6a < b < c6+∞.
Montrer que, si une fonctionf définie sur ]a, c[ est uniformément continue sur ]a, b] et sur [b, c[, alors elle est unifor- mément continue sur ]a, c[.
. Exercice 1.2. Structure des fonctions uniformément continues surI.
SoitI un intervalle réel. On noteCu0(I,R) l’ensemble des applications uniformément continues surI.
1. Montrer queCu0(I,R) est un sous-espace vectoriel de (C0(I,R),+,·).
2. Montrer queCu0([0,+∞[,R) n’est pas un sous-anneau de (C0([0,+∞[,R),+,×). On pourra utiliser les résultats prouvés dans l’exercice 1.7.
3. Dans cette question, on suppose queI est borné et on note|I|sa longueur.
(a) Montrer que toute fonction uniformément continue surI est bornée surI.
(b) Montrer que, dans ce cas,Cu0(I,R) est un sous-anneau de (C0(I,R),+,×).
. Exercice 1.3. Soitf ∈ C0([0,1],R). Montrer que la suitevn= 1 n
n
X
k=0
(−1)kf k
n
converge et calculer sa limite.
. Exercice 1.4. Encadrement d’une fonction uniformément continue par des fonctions affines
Montrer que toute application uniformément continue surR+ est majorée par une application affine et minorée par une autre fonction affine.
.Exercice 1.5. Soitf : [0,+∞[ une application uniformément continue telle que∀t∈R∗+, lim
n→+∞f(nt) = 0. Montrer que lim
x→+∞f(x) = 0.
1.2 Théorème de Heine
. Exercice 1.6. Montrer qu’une application définie surR, périodique et continue est uniformément continue.
. Exercice 1.7.
1. Soit f ∈ C0(R+,R), dérivable sur ]1,+∞[ et à dérivée bornée sur ]1,+∞[. Montrer que f est uniformément continue surR+.
2. En déduire que, pourα∈]0,1],pα
R+ → R
x 7→
xα six >0, 0 six= 0,
est uniformément continue surR+. 3. Qu’en est-il des fonctions pα pourα >1 ?
. Exercice 1.8. Soit f une application continue sur R+ qui admet une limite finie en +∞. Montrer que f est uniformément continue surR+.
2 Fonctions continues par morceaux
2.1 Fonctions en escalier
. Exercice 2.1.
Considérons la fonctionf
[0,1] → R
x 7→
0 six= 0, 1
x
six∈]0,1].
1. Montrer quef n’est pas en escalier sur [0,1].
2. Montrer que, pour touta∈]0,1],f est en escalier sur [a,1] et calculer Z 1
a
f(u)du.
. Exercice 2.2.
Soitσ= (0,1,2) la subdivision uniforme de pas 1 de [0,2].
1. Déterminer une baseBet la dimension de l’espace vectorielEσ([0,2],R) des fonctions en escalier sur [0,2] dont σ est une subdivision adaptée.
2. PosonsI :
Eσ([0,2],R) → R
f 7→
Z 1 0
f(u)du ,J :
Eσ([0,2],R) → R
f 7→
Z 2 1
f(u)du et K:
Eσ([0,2],R) → R
f 7→
Z 2 0
f(u)du
ExpliciterI, J et Kdans la base duale de la baseB.
. Exercice 2.3.
Soitσ= (0,1,2,3) la subdivision uniforme de pas 1 de [0,3].
Déterminer une base et la dimension de l’espace vectorielEσ([0,3],R) des fonctions en escalier sur [0,3] dont σest une subdivision adaptée.
2.2 Fonctions continues par morceaux
. Exercice 2.4. Soitσ= (xi)06i6n (n∈N∗ fixé) une subdivision fixée de [a, b]. Montrer que l’ensembleEσ([a, b]) (resp. CMσ([a, b]) et CAσ([a, b])) des fonctions en escalier(resp. continues par morceaux et continues affines par morceaux) sur [a, b] admettant σcomme subdivision adaptée est un espace vectoriel dont on précisera la dimension et dont on donnera une base le cas échéant.
. Exercice 2.5.
Montrer qu’une fonction continue par morceaux sur [a, b] est bornée sur [a, b].
Peut-on dire qu’une fonction continue par morceaux sur [a, b] est bornée et atteint ses bornes ? . Exercice 2.6. À propos de fonctions continues par morceaux sur un segment [a, b].
1. Démontrer qu’une fonction continue par morceaux sur [a, b] qui ne prend des valeurs strictement négatives qu’en un nombre fini de points a une intégrale positive ou nulle.
2. Montrer qu’une fonction convexe sur le segment [a, b] est continue par morceaux sur [a, b].
3 Propriétés de l’intégrale de Riemann
3.1 Intégration des fonctions continues et continues par morceaux.
. Exercice 3.1. Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire continue pour les fonctions continues Soitf ∈ C0([a, b],R). Montrer que
Z b a
f(u)du
= Z b
a
|f(u)|du ⇐⇒ f >0 sur [a, b] ouf 60 sur [a, b].
. Exercice 3.2. Cas d’égalité pour les fonctions continues par morceaux
1. Soitf ∈ CM([a, b],R) telle quef >0 sur [a, b] et Z b
a
f(u)du= 0.
Montrer qu’il existe une partie finieS de [a, b] telle que f est identiquement nulle sur [a, b]\S.
2. Soitf ∈ CM([a, b],R). Montrer que
Z b a
f(u)du
= Z b
a
|f(u)|du ⇐⇒ il existe une partie finieS de [a, b] telle que
f >0 sur [a, b]\S ou
f 60 sur [a, b]\S.
3. Soient (f, g)∈ CM([a, b],R)2. Montrer que
Z b a
f(u)g(u)du
= s
Z b a
|f(u)|du s
Z b a
|g(u)|du ⇐⇒
il existe une partie finieS de [a, b] etλ∈Rtels que f =λ.g sur [a, b]\S
ou
g=λ.f sur [a, b]\S.
. Exercice 3.3.
Soitf ∈ C0([0,1],R) telle que Z 1
0
f(u)du= 1
2. Montrer qu’il existex0∈[0,1] tel quef(x0) =x0.
. Exercice 3.4.
Soient (f, g)∈ C0([0,1],R+)2telles que∀x∈[0,1],f(x)g(x)>1. Montrer que Z 1
0
f(u)du Z 1
0
g(u)du>1.
. Exercice 3.5.
Soitf ∈ C0([0,1],R) telle que Z 1
0
f2(u)du= Z 1
0
f3(u)du= Z 1
0
f4(u)du.
1. Calculer Z 1
0
(f2(u)−f(u))2du.
2. En déduire quef est soit identiquement nulle sur [0,1], soit constante égale à 1.
3. Retrouver ce résultat directement (sans utiliser la question 1) en utilisant la caractérisation du cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les fonctions continues sur un segment.
3.2 Sommes de Riemann.
. Exercice 3.6. Démontrer les égalités suivantes :
n→+∞lim
n
X
k=1
n
n2+k2 = π 4 , lim
n→+∞
n
X
k=1
k n2sink
n
=√ 2 sin
1−π 4
=−√
2 cosπ 4 + 1
= sin(1)−cos(1).
. Exercice 3.7. Montrer que la suite (un)n∈N∗ de terme généralun= 1 n
n Y
k=1
n+k1n
converge vers 4/e.
. Exercice 3.8. Montrer que la suite (un)n∈N∗ de terme généralun=
(2n)!
n!(2n)n n1
converge vers 2/e.
. Exercice 3.9. Étudier les suites de terme général
n
X
p=1
lnn 2n2+ 3pn et
n
X
p=1
p
√n
ep. On précisera essentiellement leur comportement asymptotique.
. Exercice 3.10. Un calcul d’équivalent.
Déterminer un équivalent de la suiteun=
(n+ 1)(n+ 2). . .(n+n−1)(n+n)n1 . . Exercice 3.11.
1. Montrer que∀x∈
−1 2,1
2
, |ln(1 +x)−x|62x2. 2. En déduire que, sif ∈ C0([a, b],R) (a < b), alors lim
n→+∞
n
Y
k=1
1 + b−a n f
a+kb−a n
= expZ b a
f(u)du . . Exercice 3.12. Un calcul d’intégral via une factorisation de polynôme.
Considérons la fonctionF :R\ {−1,1} →R, définie, pour tout x∈R\ {−1,1}, par F(x) =
Z π 0
ln(x2−2xcosθ+ 1)dθ . 1. Justifier queF est bien définie surR\ {−1,1}.
2. Résoudre, pour toutn∈N∗, dansCl’équation z2n= 1.
3. En déduire l’identité
n
Y
k=0
(x2−2xcos(kπ/n) + 1) = (x2n−1)(x2−1).
4. Calculer, en fonction des valeurs dex, la quantité
n→+∞lim 1 n
hln(|x−1|2) +
n
X
k=1
ln(|x2−2xcos(kπ/n) + 1|)i ,
lorsqu’elle existe.
5. En déduire queF(x) =
0 si|x|<1, 2πln(|x|) si|x|>1
3.3 Intégration de fonctions complexes d’une variable réelle sur un segment.
. Exercice 3.13.
1. Démontrer que, si f est une fonction continue d’un intervalle réel I dansC et siF :I →Cest une fonction dérivable (c’est à dire que ses parties réelle et imaginaire le sont) vérifiant pour toutu∈I,F0(u) =f(u), alors, pour tout [a, b]⊂I,
Z b a
f(u)du=F(b)−F(a).
2. En déduire le calcul rapide de Z 4
√π
0
u3e−iu4du.
3. (application très utile) Pour tout x ∈ R et A ∈ R+, posons hA(x) = Z A
0
cos(xt)e−tdt. Exprimer hA(x) explicitement en fonction dex. On identifierahA(x) comme la partie réelle de l’intégrale d’une certaine fonction à valeurs complexes pour ensuite calculer l’intégrale obtenue.
Calculer lim
A→+∞hA(x) que vous noterez Z +∞
0
cos(xt)e−tdt l’année prochaine.
. Exercice 3.14.
1. Calculer, pour tout ϕ ∈ R, I(ϕ) = Z ϕ
0
eiθdθ et J(ϕ) = Z ϕ
0
eθ−2iθdθ puis en déduire Z ϕ
0
eθcos(2θ)dθ et Z ϕ
0
eθsin(2θ)dθ.
2. Calculer, pour toutm∈Z,Im= 1 2π
Z π
−π
eimθdθ.
. Exercice 3.15. Montrer que, pour toutP ∈R[X], Z 1
−1
P(t)dt=−i Z π
0
eiθP(eiθ)dθ.
t=eiθest-il un changement de variable ? pour démontrer la relation, on observera qu’elle est vérifiée sur les monômes avant de conclure par linéarité de l’intégrale.
. Exercice 3.16. SoitP(X)∈C[X] fixé. Il existe (a0, . . . , an)∈Cn+1tels que an6= 0 etP(X) =
n
X
k=0
akXk.
1. Montrer que, pour toutk∈[[0, n]],∀r∈R∗+,akrk= 1 2π
Z 2π 0
e−ikθP(reiθ)dθ.
2. En déduire qu’un polynôme borné surCest nécessairement constant.
3. Retrouver le résultat précédent directement.
4. Montrer que 1 2π
Z 2π 0
|P(reiθ)|2dθ=
n
X
k=0
|ak|2r2k.
3.4 Techniques de calculs d’intégrales, intégration par parties, changement de variable.
. Exercice 3.17. Additivité de l’intégrale, relation de Chasles.Calculer Z 2
0
|u|u2du, Z 1
−1
|u|u2du, Z 0
−1
|u|u2du, Z 1
−1
min(2, eu)udu, Z 2
1
ubeucdu.
. Exercice 3.18. Intégration par parties.Calculer en intégrant par parties : Z e
1
(lnu)2du , Z a
1
ln(1 +u)
(1 +u)3 du(a∈R∗+), Z 4
1
√uln(u)du
. Exercice 3.19. Changement de variable.
1. Soitf une fonction continue impaire définie sur [−a, a] (a∈R∗+). Montrer que Z 0
−a
f(u)du=− Z a
0
f(u)du.
2. Soitf ∈ C0(R,R) une fonctionT-périodique. Montrer que,
∀(p, q)∈Z2, Z qT
pT
f(u)du= (q−p) Z T
0
f(u)du.
3. En déduire que les primtives d’une fonction f continue, périodique et définie surR sont périodiques sur Rsi et seulement sif est d’intégrale nulle sur une période.
. Exercice 3.20. Par un changement de variable judicieux, montrer que, pourf ∈ C0(R,R),a∈]1,+∞[ etp∈N∗, l’intégrale suivante est nulle :
Z a
1 a
f up+ 1
up ln(u)
u du.
. Exercice 3.21. Calculer, en posant un changement de variable opportun, I0=
Z 2 0
e
√udu , I1= Z ln 2
0
e2u
√eu+ 1du , I2= Z 1
0
Arctan(√
u)du , I3= Z π4
0
du 2−sin2u
4 Étude de fonctions et de suites définies par des intégrales.
4.1 Calcul de primitives
. Exercice 4.1. Calculer les primitives de la fonction valeur absolue surR.
. Exercice 4.2. Donner les primitives de la fonctionf définie surRparf(x) =|x+ 1|six <0 etf(x) = ln(e+x) six>0 (on justifiera soigneusement leur existence).
4.2 Étude asymptotique de fonctions définies par une intégrale
. Exercice 4.3. Soitf ∈ C0(R,R) telle f(x) tend versl∈Rlorsquextend vers +∞. Calculer les limites
∀a∈R∗+, lim
x→+∞
Z x+a x
f(u)du et lim
x→+∞
Z a(x+√ 2)
ax
f(u)du .
. Exercice 4.4. Version continue du théorème de CesaroSoitf ∈ C0(R,R) telle f(x) tend versl∈Rlorsque xtend vers +∞. Pour touta∈Ret x >0, notonsCa(x) = 1
x Z x
a
f(u)du.
1. Montrer que, pour toutA >0 et tout x>A,
|C0(x)−l|6 1 x
Z A 0
|f(u)−l|du+ 1 x
Z x A
|f(u)−l|du . 2. En déduire que lim
x→+∞
1 x
Z x 0
f(u)du=l.
3. Conclure que,
∀a∈R, lim
x→+∞
1 x
Z x a
f(u)du=l .Exercice 4.5. Considérons l’expressionf(x) =
Z cos2(x) 0
Arccos(√ t)dt+
Z sin2(x) 0
Arcsin(√
t)dt. Donner le domaine de définition de cette expression, étudier la régularité de la fonction ainsi définie puis en déduire quef est la fonction constante égale à π
4.
. Exercice 4.6. Lemme de Gronwall 1. Soitf ∈ C0(R+,R+) telle que
∀x∈R+, f(x)6√ π
Z x 0
f(u)du.
(a) En posant F(x) = Z x
0
f(u)du, montrer que l’inégalité de l’énoncé est équivalente à l’inégalité F0(x)−
√πF(x)60.
(b) Donner le facteur intégrant de l’équation différentielle y0−√
πy = 0 et, à l’aide de ce facteur intégrant intégrer l’inéquation différentielle de l’exercice.
(c) En déduire quef est identiquement nulle surR+. Soient c∈R,f ∈ C0(R+,R+) etg∈ C0(R+,R+) telles que
∀x∈R+, f(x)6c+ Z x
0
f(u)g(u)du.
2. (a) En se ramenant à l’étude d’une inéquation différentielle que l’on intègrera par la méthode du facteur intégrant, montrer que,
∀x∈R+, f(x)6cexpZ x 0
g(u)du .
(b) Repérer dans la preuve précédente où intervient la positivité de la fonctiong.
(c) Retrouver le résultat de la première partie en appliquant l’inégalité plus générale ainsi obtenue.
(d) Déduire de ce qui précède que toute fonction def ∈ C0(R+,R+) satisfaisant
∀x∈R+, f(x)63 + Z x
0
f(u) 1 +u2du.
est bornée.
. Exercice 4.7. Facteur intégrant.Soitf ∈ C1(R,R) telle que lim
x→+∞(f(x) +f0(x)) = 0.
1. Montrer que la fonctionf tend vers 0 en +∞. On pourra, dans un premier temps, traiter le cas où f+f0 = 0 surRpuis intégrer cette équation différentielle par la méthode du facteur intégrant et obtenir le résultat. Dans le cadre général de l’exercice, on se ramènera à intégrer une/des inégalité(s) différentielle(s), avec le même facteur intégrant.
2. Montrer que le raisonnement précédent peut être rendu valide en supposant la fonction f dansD1(R,R), ce qui est une hypothèse moins restrictive que C1(R,R) (C1(R,R)⊂D1(R,R)).
4.3 Suite de fonctions et intégration.
. Exercice 4.8. Irrationnalité de π(et donc de √ π).
Soient (p, q)∈Z2 fixés quelconques. Considérons, pour toutn∈N, la fonction polynômialePn(x) = xn(qx−p)n
n! .
1. Montrer que pour toutk∈N,Pn(k)(0)∈Zet Pn(k) p
q
∈Z. 2. Montrer que, si π=p
q, alors, pour toutn∈N, Z π
0
Pn(u) sin(u)du∈Z. 3. Montrer que, si π=p
q, lim
n→+∞
Z π 0
Pn(u) sin(u)du= 0.
4. Montrer que, si π=p
q,Pn est de signe constant sur
0,p q
.
5. Conclure, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, à l’irrationnalité de π (que l’on définira comme la plus petite valeur d’annulation strictement positive de la fonction sinus).
. Exercice 4.9. Lemme de Lebesgue. Soit f une fonction continue par morceaux de [a, b] dans R. Le but de l’exercice est de prouver que lim
n→+∞
Z b a
f(u) cos(nu)du= 0.
1. Montrer que, si f est de classeC1 sur [a, b], alors le résultat est immédiat...(penser à une IPP...) 2. Montrer que, si f est constante sur [a, b], alors le résultat est vrai.
3. Montrer que, si f est en escalier sur [a, b], alors le résultat est vrai.
4. En déduire le résultat annoncé dans le cadre général en utilisant une “méthode de densité” reposant sur l’existence de fonctions en escalier sur [a, b] arbitrairement proches de toute fonction continue par morceauxfixée.
5. Prouver que, pour toute fonctionf continue par morceaux de [a, b] dansC, lim
n→+∞
Z b a
f(u) exp(inu)du= 0.
. Exercice 4.10. Montrer que lim
n→+∞
Z 1
−1
p|u|eu2sin(2u3) cos(nu)du = 0. On pourra s’inspirer d’un résultat plus général répondant à la question...
4.4 Étude de suites définies par des intégrales.
. Exercice 4.11.
Considérons la suiteudéfinie pourn>0 parun= Z 1
0
et ent(1 +et)dt.
1. Justifier que la suiteuest bien définie. Quel est son signe ? 2. La suiteuest-elle monotone ? Que peut-on en déduire ? 3. Montrer que∀n∈N∗,un 6
Z 1 0
e−ntdtet en déduire la valeur de la limite de u.
4. Calculer, en fonction den∈N∗ uniquement,un+un+1.
5. Déduire, en utilisant la question précédente, un équivalent deun.
. Exercice 4.12. Pour toutn∈N,In= Z 1
0
une−udu.
1. Calculer la limite de (In)n∈N.
2. Montrer que, pour toutn∈N, In= 1
(n+ 1)e+ In+1
n+ 1. 3. En déduire un équivalent de In.
. Exercice 4.13. Soitf une fonction lipschitzienne de [0,1] dansR. Montrer que lim
n→+∞
Z 1 0
f(un)du=f(0).
. Exercice 4.14. Techniques usuelles d’étude asymptotique d’une suite d’intégrales
1. Calculer la limite de Z 2
0
√ndt 1 +nt
n∈N
. 2. Calculer la limite de
Z 2 1
(n+ 2)dt (1 +nt)
n∈N
puis celle Z 2
0
(n+ 2)dt (1 +nt)
n∈N
. 3. Calculer la limite de
Z 2 0
(n+ 2)dt (1 +nt) ln(n+1t+1)
!
n∈N
(on pourra encadrer 1 ln(n+1t+1)).
4. Calculer la limite de Z 1
0
tnln(1 +t2)dt
n∈N
(on pourra proposer deux méthodes, une majoration brutale et une utilisation de Cauchy-Schwarz).
5. Donner un équivalent de Z n
√n
e−u2du
n∈N
puis un DA avec deux termes.
. Exercice 4.15.
1. Rappeler les inégalités de convexité (en l’occurrence de concavité) qui donnent un pincement de la fonction x7→sin(x) sur
0,1
2
.
2. En déduire un encadrement deun= Z 12
0
(sin(un))dupuis montrer que lim
n→+∞
Z 12
0
(sin(un))du= 0.
3. Peut-on déduire de l’encadrement précédent un équivalent de un? quel type de comportement (le plus précis possible) peut-on déduire de l’encadrement précédent ?
4. À l’aide de la formule de Taylor, prouver que
∀ε∈R∗+,∃η∈R∗+:∀x∈R, x∈[0, η]⇒ |sin(x)−x+x3
6 |6εx3. 5. En déduire le développement asymptotique suivant de un
un =
+∞
1
(n+ 1)2n+1 − 1
6(3n+ 1)23n+1 +o 1 n23n
puis
un =
+∞
1
n2n+1 − 1
n22n+1 +o 1 n22n
.
6. Reprendre les mêmes idées pour prouver que la suitevn = Z 12
0
(sin(nun))duadmet le développement asympto- tique suivant :
vn =
+∞
1
2n+1 − 1
n2n+1 +o 1 n22n
.
. Exercice 4.16. Considérons la suite (In)n∈N∗ définie pour toutn∈N∗ parIn = Z 1
0
un 1 +udu.
1. Montrer que (In)n∈N∗ converge et calculer sa limite.
2. Montrer queIn =
+∞
1 2n− 1
4n2 +o 1 n2
.
. Exercice 4.17. Soitf ∈ C0([0,1],R). Considérons la suite (In(f))n∈N∗ définie pour toutn∈N∗ par In(f) =
Z 1 0
unf(u)du .
1. Montrer que (In(f))n∈N∗ converge et calculer sa limite.
2. Montrer que si f ∈C2([0,1],R),
In =
+∞
f(1)
n −f(1) +f0(1) n2 +O
1 n3
.
3. Bonus.Supposonsf ∈ C3([0,1],R). Donner un DA deIn(f) enO 1
n4
. . Exercice 4.18. Technique de la borne mobile. Intégrales de Wallis.
Considérons la suite (In)n∈Ndéfinie pour toutn∈NparIn = Z π2
0
sinnudu.
1. Montrer que (In)n∈N est bornée.
2. Interpréter graphiquement en termes d’aires la suite (In)n∈N.
3. En observant que, pour tout n ∈ N, pour toute suite (εn)n∈N qui converge vers 0, In =
Z π2−εn
0
sinnudu+ Z π2
π 2−εn
sinnudu,et en étudiant séparément les deux termes du découpage, montrer qu’en choisissant convena- blementεn, on peut prouver que (In)n∈N converge vers 0.
4. Montrer que la suite (In)n∈Nest décroissante
5. Trouver, à l’aide d’une intégration par parties, la relation de récurrence entreIn etIn+2 :In+2= n+ 1 n+ 2In. En déduire l’expression exacte deIn en fonction den:
I0= π
2, ∀p∈N∗, I2p=
(p−1)
Y
k=0
(2k+ 1)
p
Y
k=1
2k π
2 = (2p)!
22p(p!)2 π
2 I2p+1=
p
Y
k=1
2k
p
Y
k=0
(2k+ 1)
= 22p(p!)2 (2p+ 1)!.
6. En déduire que lim
p→+∞
1 p
p
Y
k=1
2k
p−1
Y
k=0
(2k+ 1)
2
=π,puis que In ∼
n→+∞
r π 2n.
. Exercice 4.19. DA de la somme de Riemann 1 n
n−1
X
k=0
fk n Soitf ∈ C3([0,1],R).
1. Montrer que 1 n
n−1
X
k=0
fk n
=
+∞
Z 1 0
f(u)du− 1 2n
Z 1 0
f0(u)du+ 1 12n2
Z 1 0
f00(u)du+O 1 n3
On caculera les termes du DA en plusieurs étapes successives.
2. En déduire que
2n
X
k=n
1 k =
+∞ln 2 + 3 4n+ 1
16n2 +O1 n3
.
.Exercice4.20. Délicat.Soitf ∈C0([0,1],R) n’admettant qu’un nombre fini de zéros et telle quef(0) =f(1) = 0.
Montrer que
n→+∞lim
Z 1 0
enuf(u)du = +∞.
4.5 Fonctions définies par une intégrale
. Exercice 4.21.
Considérons la fonction définie par l’expressionf(x) = Z 3x
x
cosu u du.
1. Quel est le domaine de définitionDf def?
2. Étudier la parité def. 3. Étudier la régularité de f.
4. Étudier la limite de f en 0.
5. Peut-on prolongerf par continuité en 0 en une fonction de classeC1 surR? 6. Montrer quef admet un développement limité à l’ordre 5 au voisinage de 0.
7. Calculer la limite def en +∞.
En fait,f est de classeC∞ ce qui se prouve en développant en série entière f0. . Exercice 4.22.
Considérons la fonction définie par l’expressionf(x) = Z 2x
x
chu u2 du.
1. Quel est le domaine de définitionDf def? 2. Étudier la parité def.
3. Étudier la régularité def ainsi que ses variations (cela inclut la recherche des limites aux bornes du domaine).
4. Calculer un équivalent def(x) au voisinage de 0+.
5. Donner un développement asymptotique def enO(x3) au voisinage de 0+. 6. Montrer quef(x)−
Z 2x x
eu
2u2du =
x→+∞O e−x
2x
. En déduire un équivalent def(x) au voisinage de +∞.
4.6 Introduction au calcul d’intégrales impropres.
. Exercice 4.23.
1. Donner des conditions nécessaires et suffisantes surα∈R∗pour que les fonctionsε7→
Z 1 ε
uαdueta7→
Z a 1
uαdu aient des limites respectivement lorsque εtend vers 0 et lorsqueatend vers +∞.
2. En déduire, par encadrement, des conditions nécessaires et suffisantes surα∈R∗pour que les suitesXn
k=1
1 kα
n∈N
convergent et donner un majorant explicite de leur limite.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante surα∈R∗+pour que la fonctiona7→
Z a 2
1
ulnαuduait une limite lorsque atend vers +∞.
4. En déduire, par encadrement des conditions nécessaires et suffisantes surα∈R∗pour que les suitesXn
k=1
1 klnαk
n∈N
convergent et donner un majorant explicite de leur limite.
. Exercice 4.24.
1. Montrer que, pour toutt>−n,et>
1 + t n
n . 2. En déduire que
Z
√n
0
1−u2
n n
du6 Z
√n
0
e−u2du6 Z
√n
0
1 + u2
n −n
du 3. En conclure que la limite lorsqueatend vers +∞dea7→
Z a 0
e−u2duexiste (attentionaest une variable réelle et dans la question précédente,n∈N) puis qu’elle vaut
√π
2 (on fera usage de l’équivalent connu des intégrales de Wallis auxquelles on pourra se ramener).
.Exercice 4.25. Montrer que, pourε∈
0,1 2
,ε7→
Z 1−ε ε
u (1 +u2)√
1−u4duadmet une limite lorsqueεtend vers 0 et qu’elle vaut 1
2. On pourra effectuer les changements de variablesv=u2 etv= sin(θ) ouv= cosθ...
. Exercice 4.26. Considérons, pour toutε∈i 0,π
2
h,I(ε) = Z π−ε
ε
ln(sin(u))du 1. Montrer queI(ε) = 2
Z π2
ε
ln(sin(u))du
2. Montrer queI(ε) est une fonction croissante et minorée.
3. En déduire l’existence deI= lim
ε→0I(ε)
4. Montrer que I, que l’on note aussi Z π
0
ln(sin(u))du, vaut −πln 2 (on pourra se ramener, par changement de variable à intégrér surh
0,π 2
iet faire apparaître Z π2−ε
0
ln cos(u)du.
. Exercice 4.27. L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.
1. Deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] ont même intégrale si et seulement si elles sont égales.
2. Une fonction définie sur [a, b] est continue par morceaux sur ce segment si [a, b] est une union de points et d’intervalles sur chacun desquels la fonction est continue.
3. Une fonction n’ayant qu’un nombre fini de points de discontinuité sur un segment est continue par morceaux sur ce segment.
4. Toute fonction en escalier est continue par morceaux.
5. Deux fonctions en escalier sur [a, b] ont même intégrale si et seulement si elles coïncident sauf éventuellement sur un ensemble fini.
6. L’intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux positive ou nulle non identiquement nulle est strictement positive.
7. Si f1 et f2 sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] telles que f1 6 f2, alors Z b
a
f1(u)du = Z b
a
f2(u)du⇒f1=f2.
8. Combien de fois la continuité uniforme donnée par le théorème de Heine joue un rôle crucial dans la théorie de l’intégrale de Riemann sur un segment présentée dans le cours ?
9. Que dire de la suiteun= 1 n
n
X
k=1
kexp3k2 n2
.
10. Soient (f, g)∈ C0([0,1],R)2. Que dire des suitesvn=
n−1
X
k=0
fk n
gk n
et wn
n−1
X
k=0
fk n
gn−k n
? 11. Toute primitive d’une fonction croissante est croissante.
12. Toute fonction qui possède des primitives sur un segment est continue (resp. continue par morceaux sur ce segment).(on pourra considérer sur [0,1] la fonctionx7→x32sin(1
x) ).La continuité d’une fonction sur un intervallle est une condition suffisante d’existence de primitive.
13. Deux primitives d’une même fonction définie surR∗ diffèrent d’une constante.
14. Toute fonction continue par morceaux sur un segment possède des primitives sur ce segment.
15. Soitfune fonction continue surRet minorée par√
π. Pour toutx∈R, il existey∈]x,+∞[ tel que Z y
x
f(u)du= q√
17. Que devient cet énoncé sif ∈ C0(R,R) est remplacé parf continue par morceaux surR? 16. Toute fonction convexe surRadmet des primitives sur R.
17. Sif ∈ C0([−1,2],R),F :x7→
Z x 0
f(u)du est bien définie sur [−1,2] et elle est lipschitzienne sur [−1,2].
18. L’énoncé précédent est-il encore vrai sif est une fonction continue par morceaux sur [−1,2] ?
. Exercice 4.28. Calculer, à l’aide d’un changement de variable Z e
1
lnnu u du,
Z π4
0
tan4udu, Z π2
0
sin3u
√2 + cosudu, Z 1
0
u√
3u+ 1du, Z 12
0
√ 1
1−u2du, Z 14
0
√ 1
1−4u2du, Z 3
0
u3eu2du, Z ln 2
0
e2u
√eu+ 1du, Z 1
−1
2 u2−4du,
Z 34
0
√ du 3−4u2,
Z 2 1
Arctanu
√u du, Z 1
0
u2 2u2+ 9du,
Z 2 1
e
√udu, Z π3
π 6
du sin2ucos2u.
Correction des exercices
. Corrigé de l’exercice 1.1 Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
Appliquons la définition de la continuité uniforme def sur ]a, b] pourε← ε 2 :
∃η1∈R∗+ : ∀(x, y)∈]a, c], |x−y|6η ⇒ |f(x)−f(y)|6 ε
2 (1)
Appliquons la définition de la continuité uniforme def sur [b, c] pour ε← ε 2 :
∃η1∈R∗+ : ∀(x, y)∈[b, c], |x−y|6η⇒ |f(x)−f(y)|6 ε
2 (2)
Posonsη = min(η1, η2).
Soient (x, y)∈]a, c[2 fixés quelconques.
Sans perte de généralité et quitte à échanger les rôles dexety, on peut supposerx6y.
? Si y6b, alors (x, y)∈]a, b]2 donc la propriété (1) donne
|x−y|6η6η1⇒ |f(x)−f(y)|6 ε 2 6ε
? Si x < b < y, alors
|f(x)−f(y)| = |f(x)−f(b) +f(b)−f(y)|
6 |f(x)−f(b)|
| {z } 6 ε
2
car|x−b|6|x−y|6η6η1
ce qui permet d’appliquer (1)
+ |f(b)−f(y)|
| {z } 6 ε
2
car|y−b|6|x−y|6η6η2
ce qui permet d’appliquer (2) 6 ε
(3) (x, y)∈]a, b]2, alors la propriété (1) donne
|f(x)−f(y)|6 ε 2 6ε
? Si b6x, alors (x, y)∈[b, c[2donc la propriété (2) donne
|x−y|6η6η2⇒ |f(x)−f(y)|6 ε 2 6ε Ainsi,f est uniformément continue sur ]a, c[.
. Corrigé de l’exercice 1.2
1. ? Cu0(I,R)⊆ C0(I,R) car toute fonction uniformément continue surI est continue surIet (C0(I,R),+×) est unR-espace vectoriel.
? Cu0(I,R)6=∅ car les fonctions constantes surI sont uniformément continues surI.
? Soient (f, g)∈ Cu0(I,R)2,λ∈Rfixés quelconques.
Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
Appliquons la définition de la continuité uniforme def etg pour ce ε 1 +|λ| :
f ∈ C0u(I,R)⇒ ∃ηf ∈R∗+ : ∀(x, y)∈I2 , |x−y|6ηf ⇒ |f(x)−f(y)|6 ε 1 +|λ|
et
g∈ Cu0(I,R)⇒ ∃ηg∈R∗+ : ∀(x, y)∈I2 , |x−y|6ηg⇒ |g(x)−g(y)|6 ε 1 +|λ|
Posonsη= min(ηf, ηg).
Soient (x, y)∈I2fixés quelconques tels que |x−y|6η. Alors
|(f +λ.g)(x)−(f+λ.g)(y)| = |f(x)−f(y) +λ(g(x)−g(y))|
6 |f(x)−f(y)|+|λ| × |g(x)−g(y)| or|x−y|6η⇒
|x−y|6ηf
|x−y|6ηg
6 ε
1 +|λ|+|λ| × ε 1 +|λ|
6 ε
Par conséquentf +λ.g∈ Cu0(I,R)
AinsiCu0(I,R) est un sous-espace vectoriel deC0(I,R).
2. Nous savons (voir exercice1.7pour α= 1
2) que la fonction√
· ∈ Cu0(R+,R).
Toutefois,√
· ×√
· ×√
· ×√
·= R+ → R
x 7→ x2 ∈ C/ u0(R+,R) (voir exercice1.7pourα= 2).
Ainsi,Cu0([0,+∞[,R) n’est pas un sous-anneau de (C0([0,+∞[,R),+,×).
3. (a) Soit f ∈ Cu(I,R) fixée quelconque.
Soita∈Ifixé quelconque.
Appliquons la définition de l’uniforme continuité pourε←1 :
∃η∈R∗+ : ∀(x, y)∈I2 , |x−y|6η ⇒ |f(x)−f(y)|61 Montrons que
∀k∈Z, a+kη∈I⇒ |f(a+kη)|6|f(a)|+|k|
En effet, soitk∈Zfixé quelconque tel quea+kη∈I.
Traitons le cask>0 (adapter la preuve sik <0).
|f(a+kη)−f(a)| = |f(a+kη)−f(a+ (k−1)η) +f(a+ (k−1)η)−f(a+ (k−2)η) +. . .+f(a+η)−f(a)|
=
k
X
i=1
(f(a+iη)−f(a+ (i−1)η)) 6
k
X
i=1
|f(a+iη)−f(a+ (i−1)η)|
| {z } 61
car|(a+iη)−(a+ (i−1)η)|6η 6 k
Par conséquent,
|f(a+kη)| − |f(a)|6|f(a+kη)−f(a)|6k d’o‘u|f(a+kη)|6k+|f(a)|.
Observons que
∀k∈Z, a+kη∈I⇒ |k|η=|a−(a+kη)|6|I| ⇒ |k|6|I|
η si bien que
∀k∈Z, a+kη∈I⇒ |f(a+kη)|6|f(a)|+|I|
η
Soitx∈I fixé quelconque. L’ensemble (a+kη)k∈Z réalise une subdivision uniforme de pas η deRdonc il existek∈Ztel que
a+kη∈I et |x−(a+kη)|6η si bien que, par uniforme continuité,
|f(x)−f(a+kη)|
| {z }
>|f(x)| − |f(a+kη)|
61
si bien que
|f(x)|61 +|f(a+kη)|61 +|f(a)|+|I|
η Ainsi,f est bornée surI.
(b) ? Cu0(I,R)⊆ C0(I,R) car toute fonction uniformément continue surIest continue surIet (C0(I,R),+×) est un anneau.
? Cu0(I,R)6=∅car les fonctions constantes surI sont uniformément continues surI.
? Soient (f, g)∈ Cu0(I,R)2 fixées quelconques.
Alorsf−g∈ Cu0(I,R) carCu0(I,R) est unR-espace vectoriel.
? La fonction constante de valeur 1, qui est le neutre multiplicatif de l’anneau (C0(I,R),+,×) est unifor- mément continue surI donc appartient àCu0(I,R).
? Soient (f, g)∈ Cu0(I,R)2 fixées quelconques.
Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
D’après la question précédente, puisqueI est borné,f et gsont bornées surI, posons kfk∞,I= sup{|f(x)| | x∈I} et kgk∞,I= sup{|g(x)| |x∈I}
Appliquons la définition de la continuité uniforme def et gpour ce ε
1 +kfk∞,I+kgk∞,I : f ∈ C0u(I,R)⇒ ∃ηf ∈R∗+ : ∀(x, y)∈I2 , |x−y|6ηf ⇒ |f(x)−f(y)|6 ε
1 +kfk∞,I+kgk∞,I et
g∈ Cu0(I,R)⇒ ∃ηg∈R∗+ : ∀(x, y)∈I2 , |x−y|6ηg⇒ |g(x)−g(y)|6 ε
1 +kfk∞,I+kgk∞,I Posonsη= min(ηf, ηg).
Soient (x, y)∈I2 fixés quelconques tels que|x−y|6η. Alors
|(f ×g)(x)−(f×g)(y)| = |f(x)g(x)−f(x)g(y)+f(x)g(y)−f(y)g(y)|
= |f(x)(g(x)−g(y)) +g(y)(f(x)−f(y))|
6 |f(x)|
| {z } 6kfk∞,I
× |g(x)−g(y)|
| {z }
6 ε
1 +kfk∞,I+kgk∞,I
car|x−y|6η6ηg
+ |g(y)|
| {z } 6kgk∞,I
× |f(x)−f(y)|
| {z }
6 ε
1 +kfk∞,I+kgk∞,I
car|x−y|6η6ηf
6 ε(kfk∞,I+kgk∞,I) 1 +kfk∞,I+kgk∞,I) 6 ε
Par conséquentf×g∈ Cu0(I,R).
AinsiCu0(I,R) est un sous-anneau de (C0(I,R),+×).
. Corrigé de l’exercice 1.3 Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
f est continue sur le segment [0,1] donc (théorème de Heine)f est uniformément continue sur [0,1] donc il existe η∈R∗+ tel que∀(x, y)∈[0,1]2,|x−y|6η⇒ |f(x)−f(y)|6ε.
SoitN = max
1 + 1
η
,2|f(1)|
ε
. Soitn∈N∗ fixé quelconque tel que n>N.
? Supposonsn≡1[2] :∃p∈N:n= 2p+ 1.
Regroupons deux à deux les 2p+ 2 termes de la somme :
|vn| = 1 2p+ 1
2p+1
X
k=0
(−1)kf k
n
= 1
2p+ 1
p
X
j=0
f
2j n
−f
2j+ 1 n
6 1
2p+ 1
p
X
j=0
f
2j n
−f
2j+ 1 n
| {z } 6ε
carn>N⇒ 1 n 6η⇒
2j
n −2j+ 1 n
6η 6 p+ 1
2p+ 1ε 6 ε
? Supposonsn≡0[2] :∃p∈N∗ :n= 2p.
Regroupons deux à deux les 2ppremiers termes de la somme et laissons seul le dernier :
|vn| = 1 n
2p
X
k=0
(−1)kf k
n
= 1
n
f(1) +
p−1
X
j=0
f
2j n
−f
2j+ 1 n
6 |f(1)|
n
| {z } 6 ε
2 carn>N⇒n>2|f(1)|
ε ⇒ |f(1)|
n 6 ε 2
+1 2p
p−1
X
j=0
f
2j n
−f
2j+ 1 n
| {z } 6ε
carn>N⇒ 1 n 6η⇒
2j
n −2j+ 1 n
6η 6 ε
2+ p 2pε 6 ε Par conséquent,|vn|6ε.
Ainsi, (vn)n∈N∗ converge vers 0.
. Corrigé de l’exercice 1.4 Soitf ∈ Cu0(R+,R).
Appliquons la définition de la continuité uniforme pourε←1 :
∃η∈R∗+ : ∀(x, y)∈R2+, |x−y|6η⇒ |f(x)−f(y)|61 Fixons un telη.
La propriété établie pour cette valeurη se reformule en
∀y∈R+ , ∀x∈[y−η, y+η]∩R+ , f(x)∈[f(y)−1, f(y) + 1] (4) Posons, pour toutn∈N,xn=n×η.
D’après la propriété (4) ci-dessus appliquée poury=x0= 0,
∀x∈[0, x1], f(x)∈[f(0)−1, f(0) + 1]
D’après la propriété (4) ci-dessus appliquée poury=x1=η,
∀x∈[x1, x2], f(x)∈[f(x1)−1, f(x1) + 1]⊂[f(0)−2, f(0) + 2)]
On montre par récurrence que
∀n∈N, f(xn)∈[f(0)−n, f(0) +n]
Posonsg
R+ → R x 7→ f(0) + 1 +x
η eth
R+ → R x 7→ f(0)−1−x
η
***
Dessiner pour voir et comprendre.
***
Montrons que les fonctions affinesget hdéfinies surR+majorent et minorent respectivementf surR+. Soitx∈R+ fixé quelconque.
Effectuons la division pseudo-euclidienne dexparη >0 :
∃(n, r)∈N×[0, η[ : x=nη+r=xn+r D’après la propriété (4) ci-dessus appliquée poury=xn =nη,
∀x∈[xn, xn+1] , f(x)∈[f(xn)−1, f(xn) + 1]
Or nous savons quef(xn)∈[f(0)−n, f(0) +n)] donc
f(x)∈[f(0)−n−1, f(0) +n+ 1]
Or
g(x) =f(0) + 1 +x
η =f(0) + 1 +nη+r
η =f(0) + 1 +n+ r η
|{z}>0
>f(0) +n+ 1
et
h(x) =f(0)−1−x
η =f(0)−1−nη+r
η =f(0)−1−n+−r η
|{z}
60
6f(0)−n−1
si bien queh(x)6f(x)6g(x) . Corrigé de l’exercice 1.5
Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
f est uniformément continue surR+ donc il existeη∈R∗+ tel que∀(x, y)∈R2+,|x−y|6η⇒ |f(x)−f(y)|6ε 2. Fixons un telη.
Appliquons la définition de lim
n→+∞f(nη) = 0 pour la valeur ε 2 :
∃N∈N : ∀n∈N, n>N ⇒ |f(nη)|6 ε 2 . PosonsA=
N η
+ 1.
Soitx∈R+ fixé quelconque tel quex>A.
Alors en posantnx = x
η
+ 1, on obtientx6nxη6x+η si bien que|x−nxη|6η d’où, par continuité uniforme def, |f(x)−f(nxη)|6 ε
2 donc|f(x)|6|f(nxη)|+ε 2. Par ailleurs,nx>N donc|f(nxη)|6ε
2 donc
|f(x)|6|f(nxη)|+ε 2 6 ε
2 +ε 2 =ε.
Par conséquent, lim
x→+∞f(x) = 0.
. Corrigé de l’exercice 1.6
Soitf ∈ C0(R,R) périodique etT >0 une période def.
f|[0,2T] est continue sur le segment [0,2T] donc (théorème de Heine) elle est uniformément continue sur ce segment.
Soitε∈R∗+ fixé quelconque.
Puisquef|[0,2T] est uniformément continue,
∃η0 ∈R∗+ : ∀(x0, y0)∈[0,2T]2 , |x0−y0|6η0⇒ |f(x0)−f(y0)|6ε (5) Fixons un telη0.
Posonsη = min(T, η0).
Soient (x, y)∈Rfixés quelconques tels que|x−y|6η.
? s’il existe k∈Z: (x, y)∈[kT,(k+ 1)T]2, en posant
x0 = x−kT et
y0 = y−kT
, on peut écrire
|f(x)−f(y)|=|f(x0)−f(y0)|
| {z }
kT est une période def
6
|{z}
en appliquant (5) car
|x0−y0|=|x−y|6η6η0 et (x0, y0)∈[0, T]2⊂[0,2T]2
ε
? sinon, posonsx1= min(x, y) ety1= max(x, y) et posonsk1=bx1
Tcde sorte quex1∈[k1T, k1T+T[.
Puisquex1∈[k1T,(k1+1)T],y1∈/ [k1T,(k1+1)T] (sinon nous serions dans le cas précédent), or
y1 > x1
et
|y1−x1| 6 η6T doncy1∈[k1T,(k1+ 1)T+T] = [k1T,(k1+ 2)T].
