Université de Bourgogne Partiel du 23 mars 2016
Géométrie Algébrique – Master 1 Temps disponible : 2 heures
Exercice 1 (Questions de cours). SoientE etF deux espaces affines sur un corps Ketϕ:E → F une application.
a) Soit (A1, . . . , An) ∈ En, (λ1, . . . , λn) ∈ Kn avec Pn
i=1λi = 1. Montrer que, si ϕest affine, alors :
ϕBary((Ai, λi)i=1,...,n) = Bary((ϕAi, λi)i=1,...,n).
b) Soitcar(K)6= 2 et supposons que, pour tout(A, B)∈ E2 etλ∈K: (1) ϕBary((A, λ),(B,1−λ)) = Bary((ϕA, λ),(ϕB,1−λ)).
Montrer que ϕest affine.
c) SoitK=Z/2Z. Montrer que toute applicationϕsatisfait à (1). En déduire que (b) n’est pas valide sans la condition car(K)6= 2.
Exercice 2. On considère dansR3 les points p= (1,2,3)et q= (4,1,6)et les droites
D1
x−4y+ 3z=−12 3x+ 2y−3z= 12 D2
3x+ 2y−7z= 0 4x−2y+z=−4
(1) Montrer qu’il existe une unique droiteDpassant parpqui rencontre les droitesD1 etD2, et déterminer son vecteur directeur.
(2) Déterminer un vecteur directeur~u1 de D1.
(3) Soit P le plan d’équation7x−5z= 5. Déterminer la projection de q sur P dans la direction de~u1.
(4) Déterminer l’image du point q par la symétrie par rapport à P dans la direction de ~u1.
(5) On note P ⊂ P2(R) et D ⊂P2(R) les complétés projectifs de D et P. Déterminer les intersectionsD∩P etD∩P.
Exercice 3. Soit K un corps de caractéristique 6= 2, et soient A, B, C, D quatre points de P1(K).
(1) Montrer que dans une carte affine on a l’équivalence [A, B, C,∞] =−1⇐⇒C est le milieu du segment AB.
(2) Montrer que siO est le milieu du segment ABalors [A, B, C, D] =−1⇐⇒OA2 =OB2 =OC.OD.
(3) Montrer que
[A, B, C, D] =−1⇐⇒ 2
AB = 1 AC + 1
AD.
TOURNEZ S.V.P.
Exercice 4 (Théorème de Pappus). Soit D1 et D2 deux droites distinctes d’un plan projectifP2 sur un corpsK. SoitAi, Bi, Ci trois poins deux à deux distincts de Di, pouri= 1,2. Nous voulons montrer queC =A1B2∩A2B1, B =A1C2∩A2C1 etA=B1C2∩B2C1 sont alignés.
(1) Soit O =D1∩ D2, D= (A1B2)∩(A2C1) etE = (A1C2)∩(C1B2).
Décrire2fonctions projectivesp1 : (A1B2)→ D1etp2:D1 →(B2C1) dont les propriétés sont résumées par :
p1(A1) =A1, p1(C) =B1, p1(D) =C1, p1(B2) =O, p2(A1) =E, p2(B1) =A, p2(C1) =C1, p2(O) =B2, (2) Comparer p2◦p1 à la projection q de (A1B2) sur (B2C1) centrée en
B et en déduire que q(C) =A. Conclure.
(3) Énoncer et démontrer l’énoncé dual du théorème de Pappus : « soit u1, v1,w1 droites distinctes concourantes en un point X1 et u2, v2, w2 concourantes enX2 6=X1, alors . . . ».
