Montrer que ϕest affine

Université de Bourgogne Partiel du 23 mars 2016

Géométrie Algébrique – Master 1 Temps disponible : 2 heures

Exercice 1 (Questions de cours). SoientE etF deux espaces affines sur un corps Ketϕ:E → F une application.

a) Soit (A1, . . . , An) ∈ Eⁿ, (λ1, . . . , λn) ∈ Kⁿ avec Pn

i=1λi = 1. Montrer que, si ϕest affine, alors :

ϕBary((A_i, λ_i)_i=1,...,n) = Bary((ϕA_i, λ_i)_i=1,...,n).

b) Soitcar(K)6= 2 et supposons que, pour tout(A, B)∈ E² etλ∈K: (1) ϕBary((A, λ),(B,1−λ)) = Bary((ϕA, λ),(ϕB,1−λ)).

Montrer que ϕest affine.

c) SoitK=Z/2Z. Montrer que toute applicationϕsatisfait à (1). En déduire que (b) n’est pas valide sans la condition car(K)6= 2.

Exercice 2. On considère dansR³ les points p= (1,2,3)et q= (4,1,6)et les droites

D₁

x−4y+ 3z=−12 3x+ 2y−3z= 12 D₂

3x+ 2y−7z= 0 4x−2y+z=−4

(1) Montrer qu’il existe une unique droiteDpassant parpqui rencontre les droitesD1 etD2, et déterminer son vecteur directeur.

(2) Déterminer un vecteur directeur~u₁ de D₁.

(3) Soit P le plan d’équation7x−5z= 5. Déterminer la projection de q sur P dans la direction de~u1.

(4) Déterminer l’image du point q par la symétrie par rapport à P dans la direction de ~u₁.

(5) On note P ⊂ P²(R) et D ⊂P²(R) les complétés projectifs de D et P. Déterminer les intersectionsD∩P etD∩P.

Exercice 3. Soit K un corps de caractéristique 6= 2, et soient A, B, C, D quatre points de P¹(K).

(1) Montrer que dans une carte affine on a l’équivalence [A, B, C,∞] =−1⇐⇒C est le milieu du segment AB.

(2) Montrer que siO est le milieu du segment ABalors [A, B, C, D] =−1⇐⇒OA² =OB² =OC.OD.

(3) Montrer que

[A, B, C, D] =−1⇐⇒ 2

AB = 1 AC + 1

AD.

TOURNEZ S.V.P.

Exercice 4 (Théorème de Pappus). Soit D₁ et D₂ deux droites distinctes d’un plan projectifP² sur un corpsK. SoitAi, Bi, Ci trois poins deux à deux distincts de D_i, pouri= 1,2. Nous voulons montrer queC =A₁B₂∩A₂B₁, B =A₁C₂∩A₂C₁ etA=B₁C₂∩B₂C₁ sont alignés.

(1) Soit O =D₁∩ D₂, D= (A1B2)∩(A2C1) etE = (A1C2)∩(C1B2).

Décrire2fonctions projectivesp1 : (A1B2)→ D₁etp2:D₁ →(B2C1) dont les propriétés sont résumées par :

p1(A1) =A1, p1(C) =B1, p1(D) =C1, p1(B2) =O, p2(A1) =E, p2(B1) =A, p2(C1) =C1, p2(O) =B2, (2) Comparer p2◦p1 à la projection q de (A1B2) sur (B2C1) centrée en

B et en déduire que q(C) =A. Conclure.

(3) Énoncer et démontrer l’énoncé dual du théorème de Pappus : « soit u1, v1,w1 droites distinctes concourantes en un point X1 et u2, v2, w₂ concourantes enX₂ 6=X₁, alors . . . ».