Q2 Montrez que ϕest continue sur [0,1]

Sup PCSI2 — Devoir 2003/07

◮On rappelle qu’un intervalle de R est une partie I de R telle que, sia et b sont dans I, aveca < b, alors [a, b] est enti`erement contenu dans I.

Partie 1

◮SoientI un intervalle deR(non r´eduit `a un point) etf ∈ C(I,R). Soienta, b,c et dquatre ´el´ements de I tels quea < b,f(a)< f(b),c < det f(c)> f(d). D´efinissonsϕ: t7→f¡

(1−t)a+tc¢

−f¡

(1−t)b+td¢ . Q1 Montrez que l’intervalle [0,1] est contenu dans l’ensemble de d´efinition deϕ.

Q2 Montrez que ϕest continue sur [0,1].

Q3 D´eterminez le signe de ϕ(0) et celui de ϕ(1).

Q4 En d´eduire l’existence deξ∈]0,1[ tel queϕ(ξ) = 0.

Q5 f est-elle injective ?

Q6 Utilisez ce qui pr´ec`ede pour montrer que si une fonction f, d´efinie sur un intervalleI deR, est continue et injective, alors elle est strictement monotone.

Partie 2

◮Soitf ∈ C(R) telle que |f(y)−f(x)|>|y−x|quels que soient les r´eelsxety. Nous noteronsg la fonction x7→f(x)−x.

Q7 Montrez que f est strictement monotone.

Q8 Montrez que lim

−∞

|f|= lim

+∞|f|= +∞puis d´eterminez lim

−∞

f et lim

+∞f. Q9 En d´eduire quef est une bijection deRsur lui-mˆeme.

Q10 Que pouvez-vous dire def⁻¹?

Partie 3

◮Dans cette partie, nous supposons qu’il existe des r´eelsaetbtels que a < betf¡ [a, b]¢

⊂[a, b].

◮Pour les deux questions suivantes, nous supposonsf croissante.

Q11 Montrez quegest croissante et que g(a) =g(b) = 0.

Q12 En d´eduire quef(x) =xpour toutx∈[a, b].

Q13 Supposons maintenant f d´ecroissante. En utilisant l’application h : x 7→ a+b−f(x), d´eterminez la restriction def `a [a, b].

[Devoir 2003/07] Compos´e le 11 juin 2008