Sup PCSI2 — Devoir 1996/07
◮Dans tout le probl`eme, les fonctions seront suppos´ees d´efinies et continues sur l’intervalle [1,+∞[.
◮Pour les trois premi`eres questions, on suppose que f(x) poss`ede une limite ℓ quand x tend vers +∞; on note Φ(x) = 1
x Z x
1
f(u) du.
Q1 Pourx>1, ´etablissez : Φ(x)−ℓ= 1 x
Z x
1
¡f(u)−ℓ¢ du−ℓ
x. Q2 Montrez que, pour tout ε >0, il existeAε>1 tel que
∀x>Aε: ¯
¯Φ(x)−ℓ¯
¯6|ℓ|
x +1 x
Z Aε
1
¯¯f(u)−ℓ¯
¯du+x−Aε
x ×ε 3 Q3 En d´eduire lim
x→+∞Φ(x) =ℓ.
Q4 Dans cette question, nous supposons f(x) = sin(x). Calculez Φ(x) pour x>1 et sa limite quandx→+∞.
Que pouvez-vous en conclure ?
◮Revenons au cas g´en´eral :f est d´efinie et continue sur l’intervalle [1,+∞[.
Q5 Montrez que, sif(x) poss`ede une limiteℓquand xtend vers +∞, alors
x→+∞lim 1 ln(x)
Z x
e
f(u) u du=ℓ Q6 Justifiez l’existence de la fonction H: x>e7→
Z x
e
f(u)
ln(u)duet ´etablissez :
∀x>e: Z x
e
f(u) du=H(x) ln(x)− Z x
e
H(u) u du Q7 En d´eduire que, si lim
x→+∞
Z x
e
f(u)
ln(u)duexiste, alors lim
x→+∞
1 ln(x)
Z x
e
f(u) du= 0.
Q8 En d´eduire que, si lim
x→+∞
Z x
e
f(u)
ln(u)du−ln¡ ln(x)¢
existe, alors lim
x→+∞
1 ln(x)
Z x
e
f(u) du= 1.
Q9 Soit g: [1,+∞[7→R. Montrez que si lim
x→+∞g(x) =ℓ, alors lim
x→+∞g¡ ln(x)¢
=ℓ.
Q10 Montrez que, si lim
x→+∞
Z x
1
f(ev)ev−1
v dv existe, alors lim
x→+∞
1 ln(x)
Z x
1
f(u) du= 1.
[Devoir 1996/07] Compos´e le 8 mars 2008
