fn(x)>0 pour tout n∈N

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EXERCICE 1 Pour tout n de N, on définit la fonction f_n pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par : f_n(x) =x+ e^n(x−1).

Partie A : généralités sur les fonctions fn

1. • On sait que, pour toutX, e^X >0 donc e^n(x−1)>0 pour tout n∈N et toutx∈R. Sur[0 ; 1],x>0, donc x+ e^n(x−1)>0 ⇐⇒ f_n(x)>0 pour tout n∈N.

• f_n est dérivable surRetf_n^′(x) = 1 +ne^n(x−1).

Pour pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, ne^n(x−1) > 0 donc f_n^′(x) > 0 donc la fonction f_n est strictement croissante sur[0 ; 1].

2. f_n(1) = 1 + e⁰ = 2 donc toutes les courbes C_n passent par le point A de coordonnées (1 ; 2).

On pouvait résoudre, pour n6=p ((n, p)∈N²), l’équation f_n(x) =f_p(x) et constater que la seule solution est 1.

f_n(x) =f_p(x)⇔e^n(x−1)= e^p(x−1) ⇔

ln n(x−1) =p(x−1)⇔(n−p)(x−1) = 0 ⇔

n6=px= 1

3. A l’aide des représentations graphiques, on peut conjecturer que le coefficient directeur de la tangente en A à la courbeC_n tend vers +∞quand ntend vers +∞.

Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbeC_n est égal à f_n^′(x_A) =f_n^′(1) = 1 +n.

n→+∞lim 1 +n= +∞ ⇐⇒ lim

n→+∞f_n^′(1) = +∞

Partie B : évolution de f_n(x) lorsque x est fixé

Soit x un réel fixé de l’intervalle [0 ; 1]. Pour tout entier natureln, on pose u_n=f_n(x).

1. Dans cette question, on suppose quex= 1.

Pour tout n∈N, fn(1) = 2 donc la suite (un) est constante et chacun de ses termes est égal à 2 ; la suite (u_n) admet donc le nombre 2 comme limite.

2. Dans cette question, on suppose que 06x <1.

x∈[0 ; 1[=⇒x−1<0

n→+∞lim n(x−1) =−∞=⇒ lim

n→+∞e^n(x−1)= 0 (limite de fonctions composées) On en déduit que lim

n→+∞

x+ e^n(x−1)=x et donc que lim

n→+∞u_n=x.

Partie C : aire sous les courbes C_n

Pour tout entier natureln, on note A_n l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbeC_n et les droites d’équations respectives x= 0 etx= 1.

A partir des représentations graphiques et particulièrement en regardant l’aire sous la courbe C₁₀₀, on peut conjecturer que la limite de la suiteA_n est 1

2.

Pour démontrer cette conjecture, on cherche une primitive de la fonctionf_n : pourn >0, la fonctionF_n définie parF_n(x) = x²

2 +e^n(x−1)

n est une primitive def_n sur[0 ; 1].

La fonction f_n est positive sur [0 ; 1]donc l’aire A_n est donnée par Z 1

0

f_n(t)t..

Pour n >0,A_n= Z ₁

0

f_n(t)t. =F_n(1)−F_n(0) = 1

2+ 1 n

−

"

0 + e⁻ⁿ n

#

= 1 2 + 1

n− e⁻ⁿ n

n→+∞lim 1 n = 0

n→+∞lim e⁻ⁿ= 0







=⇒ lim

n→+∞

e⁻ⁿ

n = 0 =⇒ lim

n→+∞

1 2 + 1

n−e⁻ⁿ n

!

= 1

2; donc lim

n→+∞A_n= 1 2

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EXERCICE 2 1. Calculs d’intégrales et de limites : (a) On a :

Z a 0

f(t) dt= Z a

0 e^−te^−e−tdt,f est de la formeu^′e^u avec u:x7→ −e^−x. Ainsi,

Z a 0

e^−te^−e−tdt= [e^−e−t]^a₀ = e^−e−a−e^−e0 = e^−e−a−e⁻¹. Puis lim

a→+∞

Z a

0 f(t) dt= lim

a→+∞(e^−e−a−e⁻¹).

Par composition, lim

a→+∞e^−a= 0, puis lim

a→+∞(e^−e−a−e⁻¹) = 1−e⁻¹. (b) On a de même :

Z ₀

a

e^−te^−e−tdt= [e^−e−t]⁰_a= e^−e0 −e^−e−a = e⁻¹−e^−e−a. Puis lim

a→−∞

Z ₀

a

f(t) dt= lim

a→−∞(e⁻¹−e^−e−a).

Par composition, lim

a→−∞e^−a= +∞, puis lim

a→−∞(e⁻¹−e^−e−a) = e⁻¹. On en déduit que l’aire totale sous la courbe représentative de f est donc

a→−∞lim Z 0

a

f(t) dt+ lim

a→+∞

Z a 0

f(t) dt= e⁻¹+ 1−e⁻¹= 1.

Puis la fonction f est continue et positive surRcar le fonction exponentielle l’est sur R. Ainsi, la fonctionf est une fonction densité de probabilité.

2. Courbe de la fonction f sur [−5; 10] :

−5 0 10

p(X∈[0; 2])

1 e

2

bc bc

bc bc

3. (a) P(06X62) = Z ₂

0

f(t) dt= e^−e−2 −e⁻¹ ≈0,51.

La probabilité que la hauteur maximale d’eau lors de la montée des eaux soit comprise entre 0 et 2 mètres est d’environ 0,51.

(b) P(X>2) = lim

a→+∞

Z a 0

f(t) dt−P(06X62) = 1−e⁻¹−e^−e−2 + e⁻¹ = 1−e^−e−2. (c) P(06X6x) =

Z x 0

f(t) dt= e^−e−x−e⁻¹.

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