Pour certaines fonctions les transformations précédentes aboutissent au même graphe. C’est par exemple le cas des fonctions constantes sur R , dont le graphe ne change pas par translation horizontale.
On a aussi le cas des fonctions paires et impaires :
Définition 25 (Parité). Soit f une fonction numérique définie sur D
f, on dit que
• f est une fonction paire si pour tout réel x de D
fon a f (−x) = f (x) ;
• f est une fonction impaire si pour tout réel x de D
fon a f(−x) = −f (x).
2.14. Propriété – Graphe des fonctions paires et impaires.
Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe y des ordonnées.
Une fonction est impaire si et seulement son graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple 35. Lorsque l’entier n est pair la fonction x 7→ x
nest paire, lorsque n est impair la fonction x 7→ x
nest impaire. La fonction inverse est impaire.
2.6 Fonctions circulaires
Définition 26. Le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle centré en l’ori- gine (point de coordonnées (0, 0)) et de rayon 1 dans un repère orthonormé.
Définition 27. Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la manière suivante. Etant donné un nombre réel x, on construit le point M du cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) à partir du point (1, 0) sur une distance x si x ≥ 0, et dans le sens inverse sur une distance |x| si x < 0. La valeur cos(x) est alors l’abscisse de M, et sin(x) est son ordonnée.
Les graphes de ces fonctions sont :
x y
1
π2
π
−2π −π 0
1
−1
y = cos(x)
y = sin(x)
Remarque 23. Grâce au théorème de Pythagore on trouve que pour tout réel x on a
cos(x)
2+ sin(x)
2= 1
et on peut ainsi calculer les valeurs suivantes : cos
π 6
=
√ 3 2 ; sin
π 6
= 1
2 ; cos
π 4
= sin
π 4
=
√ 2 2 ; cos
π 3
= 1 2 ; sin
π 3
=
√ 3 2 ;
A noter que
π6correspond à 30 degrés (radians),
π4correspond à 45 degrés et
π3correspond à 60 degrés.
Remarque 24. Grâce au théorème de Thales, si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient :
cos BAC [ = AB
AC = côté adjacent hypoténuse sin BAC [ = BC
AC = côté opposé hypoténuse
A partir de la définition sur le cercle trigonométrique on obtient aussi le formulaire suivant.
2.15. Propriété – Formulaire trigonométrique.
Pour tous réels x et y on a les identités suivantes :
cos(π − x) = − cos(x); sin(π − x) = sin(x);
cos(π + x) = − cos(x); sin(π + x) = − sin(x);
cos
π 2 − x
= sin(x); sin
π 2 − x
= cos(x);
cos
π 2 + x
= − sin(x); sin
π 2 + x
= cos(x);
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y);
et en particulier :
cos(2x) = 2 cos(x)
2− 1; sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
Définition 28. La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \ n
π2+ kπ : k ∈ Z
o (c’est-à-dire les réels x qui ne sont pas de la forme
π2+ kπ avec k entier relatif) par la formule
tan(x) = sin(x)
cos(x)
Le graphe de la fonction tangente est :
x y
−
3π2−π −
π20
π2π
3π 2y = tan(x)
Remarque 25. On déduit des formules de la remarque 24 que si le triangle ABC est rectangle en B alors :
tan BAC [ = BC
AB = côté opposé côté adjacent
Définition 29. La fonction arcsinus, notée arcsin, est définie sur [−1, 1] et est la réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle h −
π2,
π2i :
∀x ∈
− π 2 , π
2
, arcsin(sin(x)) = x et ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x)) = x . Le graphe de la fonction arcsinus est :
x y
1
π 2
π
1
2y = arcsin(x)
y = sin(x) y = x
Définition 30. La fonction arccossinus, notée arccos, est définie sur [−1, 1] et est la réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle [0, π] :
∀x ∈ [0, π] , arccos(cos(x)) = x et ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x .
Le graphe de la fonction arccosinus est :
x y
1 π
1 y = arccos(x)
y = cos(x) y = x
Remarque 26. Puisque cos
2(x) = 1 − sin
2(x) (et vice versa), on a aussi les formules :
∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin(x)) = √
1 − x
2et sin(arccos(x)) = √
1 − x
2.
Remarque 27. Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, l’ensemble des solutions de l’équation sin(x) = α (où l’inconnue est x) est l’ensemble
{arcsin(α) + 2kπ : k ∈ Z } et l’ensemble des solutions de l’équation cos(x) = β est l’ensemble
{arccos(β) + 2kπ : k ∈ Z } .
Définition 31. La fonction arctangente, notée arctan, est définie sur R et est la réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalle h −
π2,
π2i :
∀x ∈
− π 2 , π
2
, arctan(tan(x)) = x et ∀x ∈ R , tan(arctan(x)) = x . Le graphe de la fonction arctangente est :
x y
−
π2 π2y = tan(x)
y = x
y = arctan(x)
π 2
3 Suites numériques
3.1 Introduction
Définition 32. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’en- semble des entiers naturels.
Notation 10. La suite (x
n)
n∈N, qu’on peut aussi écrire (x
n)
n≥0, est la suite dont le premier terme est x
0, le deuxième terme est x
1, et cetera...
La notation (y
n)
n≥1désigne la suite (x
n)
n≥0dont le terme de rang n est x
n= y
n+1.
Remarque 28. Mathématiquement, on peut considérer qu’une suite (x
n)
n∈Nest la fonction numérique f définie sur N qui associe à l’entier n le nombre x
n, c’est-à-dire f :
(
N → R n 7→ x
n.
Exemple 36. • suite constante : soit b un nombre réel fixé, la suite (x
n)
n∈N= (b)
n∈Ndont tous les termes sont égaux à b est désignée comme étant la suite constante égale à b. On a donc : ∀n ∈ N , x
n= b.
• suite arithmétique : soit a un réel non nul et b un réel fixé, la suite (x
n)
n∈N= (a n + b)
n∈Nest la suite arithmétique de raison a et de premier terme b.
• suite géométrique : soit q un réel différent de 0 et de 1, et soit c un réel non nul, alors la suite (x
n)
n∈N= (c q
n)
n∈Nest la suite géométrique de raison q et de premier terme c.
• suite harmonique : la suite harmonique est la suite (x
n)
n≥1dont le terme de rang n est donné par la formule
x
n= 1 + 1 2 + 1
3 + . . . + 1 n =
n
X
k=1
1 k .
3.1. Propriété– Suites arithmétiques.
Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence
∀n ∈ N , x
n= a n + b ⇔
( x
0= b,
∀n ∈ N , x
n+1= x
n+ a,
autrement dit la suite arithmétique de raison a et de premier terme b est
caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x
n+1de rang n + 1
s’obtient à partir du terme x
nde rang n en lui additionnant la constante
a.
Exemple 37. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 100 individus. Combien compte- t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?
3.2. Propriété– Suites géométriques.
Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence
∀n ∈ N , x
n= c q
n⇔
( x
0= c,
∀n ∈ N , x
n+1= q x
n,
autrement dit la suite géométrique de raison q et de premier terme c est caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x
n+1de rang n + 1 s’obtient à partir du terme x
nde rang n en le multipliant par la constante q.
Remarque 29. La raison q de la suite géométrique (x
n)
n∈N= (c q
n)
n≥0est donc égal au quotient
xxn+1n