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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Pour certaines fonctions les transformations précédentes aboutissent au même graphe. C’est par exemple le cas des fonctions constantes sur R , dont le graphe ne change pas par translation horizontale.

On a aussi le cas des fonctions paires et impaires :

Définition 25 (Parité). Soit f une fonction numérique définie sur D

f

, on dit que

f est une fonction paire si pour tout réel x de D

f

on a f (−x) = f (x) ;

f est une fonction impaire si pour tout réel x de D

f

on a f(−x) = −f (x).

2.14. Propriété – Graphe des fonctions paires et impaires.

Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe y des ordonnées.

Une fonction est impaire si et seulement son graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 35. Lorsque l’entier n est pair la fonction x 7→ x

n

est paire, lorsque n est impair la fonction x 7→ x

n

est impaire. La fonction inverse est impaire.

2.6 Fonctions circulaires

Définition 26. Le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle centré en l’ori- gine (point de coordonnées (0, 0)) et de rayon 1 dans un repère orthonormé.

Définition 27. Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la manière suivante. Etant donné un nombre réel x, on construit le point M du cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) à partir du point (1, 0) sur une distance x si x ≥ 0, et dans le sens inverse sur une distance |x| si x < 0. La valeur cos(x) est alors l’abscisse de M, et sin(x) est son ordonnée.

Les graphes de ces fonctions sont :

x y

1

π

2

π

−2π −π 0

1

−1

y = cos(x)

y = sin(x)

Remarque 23. Grâce au théorème de Pythagore on trouve que pour tout réel x on a

cos(x)

2

+ sin(x)

2

= 1

(2)

et on peut ainsi calculer les valeurs suivantes : cos

π 6

=

√ 3 2 ; sin

π 6

= 1

2 ; cos

π 4

= sin

π 4

=

√ 2 2 ; cos

π 3

= 1 2 ; sin

π 3

=

√ 3 2 ;

A noter que

π6

correspond à 30 degrés (radians),

π4

correspond à 45 degrés et

π3

correspond à 60 degrés.

Remarque 24. Grâce au théorème de Thales, si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient :

cos BAC [ = AB

AC = côté adjacent hypoténuse sin BAC [ = BC

AC = côté opposé hypoténuse

A partir de la définition sur le cercle trigonométrique on obtient aussi le formulaire suivant.

2.15. Propriété – Formulaire trigonométrique.

Pour tous réels x et y on a les identités suivantes :

cos(π − x) = − cos(x); sin(π − x) = sin(x);

cos(π + x) = − cos(x); sin(π + x) = − sin(x);

cos

π 2 − x

= sin(x); sin

π 2 − x

= cos(x);

cos

π 2 + x

= − sin(x); sin

π 2 + x

= cos(x);

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y);

et en particulier :

cos(2x) = 2 cos(x)

2

− 1; sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Définition 28. La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \ n

π2

+ : k ∈ Z

o (c’est-à-dire les réels x qui ne sont pas de la forme

π2

+ avec k entier relatif) par la formule

tan(x) = sin(x)

cos(x)

Le graphe de la fonction tangente est :

(3)

x y

2

−π −

π2

0

π2

π

3π 2

y = tan(x)

Remarque 25. On déduit des formules de la remarque 24 que si le triangle ABC est rectangle en B alors :

tan BAC [ = BC

AB = côté opposé côté adjacent

Définition 29. La fonction arcsinus, notée arcsin, est définie sur [−1, 1] et est la réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle h

π2

,

π2

i :

∀x ∈

π 2 , π

2

, arcsin(sin(x)) = x et ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x)) = x . Le graphe de la fonction arcsinus est :

x y

1

π 2

π

1

2

y = arcsin(x)

y = sin(x) y = x

Définition 30. La fonction arccossinus, notée arccos, est définie sur [−1, 1] et est la réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle [0, π] :

∀x ∈ [0, π] , arccos(cos(x)) = x et ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x .

Le graphe de la fonction arccosinus est :

(4)

x y

1 π

1 y = arccos(x)

y = cos(x) y = x

Remarque 26. Puisque cos

2

(x) = 1 − sin

2

(x) (et vice versa), on a aussi les formules :

∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin(x)) = √

1 − x

2

et sin(arccos(x)) = √

1 − x

2

.

Remarque 27. Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, l’ensemble des solutions de l’équation sin(x) = α (où l’inconnue est x) est l’ensemble

{arcsin(α) + 2kπ : k ∈ Z } et l’ensemble des solutions de l’équation cos(x) = β est l’ensemble

{arccos(β) + 2kπ : k ∈ Z } .

Définition 31. La fonction arctangente, notée arctan, est définie sur R et est la réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalle h

π2

,

π2

i :

∀x ∈

π 2 , π

2

, arctan(tan(x)) = x et ∀x ∈ R , tan(arctan(x)) = x . Le graphe de la fonction arctangente est :

x y

π2 π2

y = tan(x)

y = x

y = arctan(x)

π 2

(5)

3 Suites numériques

3.1 Introduction

Définition 32. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’en- semble des entiers naturels.

Notation 10. La suite (x

n

)

n∈N

, qu’on peut aussi écrire (x

n

)

n≥0

, est la suite dont le premier terme est x

0

, le deuxième terme est x

1

, et cetera...

La notation (y

n

)

n≥1

désigne la suite (x

n

)

n≥0

dont le terme de rang n est x

n

= y

n+1

.

Remarque 28. Mathématiquement, on peut considérer qu’une suite (x

n

)

n∈N

est la fonction numérique f définie sur N qui associe à l’entier n le nombre x

n

, c’est-à-dire f :

(

N → R n 7→ x

n

.

Exemple 36.suite constante : soit b un nombre réel fixé, la suite (x

n

)

n∈N

= (b)

n∈N

dont tous les termes sont égaux à b est désignée comme étant la suite constante égale à b. On a donc : ∀n ∈ N , x

n

= b.

suite arithmétique : soit a un réel non nul et b un réel fixé, la suite (x

n

)

n∈N

= (a n + b)

n∈N

est la suite arithmétique de raison a et de premier terme b.

suite géométrique : soit q un réel différent de 0 et de 1, et soit c un réel non nul, alors la suite (x

n

)

n∈N

= (c q

n

)

n∈N

est la suite géométrique de raison q et de premier terme c.

suite harmonique : la suite harmonique est la suite (x

n

)

n≥1

dont le terme de rang n est donné par la formule

x

n

= 1 + 1 2 + 1

3 + . . . + 1 n =

n

X

k=1

1 k .

3.1. Propriété– Suites arithmétiques.

Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

n

= a n + b

( x

0

= b,

∀n ∈ N , x

n+1

= x

n

+ a,

autrement dit la suite arithmétique de raison a et de premier terme b est

caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x

n+1

de rang n + 1

s’obtient à partir du terme x

n

de rang n en lui additionnant la constante

a.

(6)

Exemple 37. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 100 individus. Combien compte- t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

3.2. Propriété– Suites géométriques.

Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

n

= c q

n

( x

0

= c,

∀n ∈ N , x

n+1

= q x

n

,

autrement dit la suite géométrique de raison q et de premier terme c est caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x

n+1

de rang n + 1 s’obtient à partir du terme x

n

de rang n en le multipliant par la constante q.

Remarque 29. La raison q de la suite géométrique (x

n

)

n∈N

= (c q

n

)

n≥0

est donc égal au quotient

xxn+1

n

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple 38. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus

à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 2%. Combien compte-t-elle

d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

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