Si l’on suppose donc par l’absurde que F (b

Universit´e Mohammed V de Rabat Ann´ee universitaire 2019/2020 Facult´e des Sciences SMIA - S2

D´epartement de Math´ematiques Module: Analyse 2

Un corrig´e de la s´erie 2 des TD (troisi`eme partie) N. Machrafi

Dans toute cette partie de correction, pour a, b2R aveca < betf : [a, b]!Rune fonction int´egrable, on poseF : [a, b]!R la fonction d´efinie par F (x) =

Rx a

f(t)dt.

Exercice 6:

1. M´ethode 1: Remarquons d’abord que la question est de montrer que F (b)>0.Comme f est continue, la fonction F est une primitive de f, i.e.

F⁰(x) =f(x) 8x2[a, b]. Commef est positive, F est croissante. Donc

0 =F (a)F (x)F (b) 8x2[a, b].

Si l’on suppose donc par l’absurde que F (b) = 0, alors F (x) = 0 8x2[a, b].Ce qui donne F⁰(x) =f(x) = 0 8x2[a, b].

Ceci est une contradiction avec l’hypoth`ese qu’il existe c 2 [a, b] tel que f(c) > 0. D’o`u F (b) =

Rb a

f(x)dx >0.

M´ethode 2: La continuit´e def encetf(c)>0 montrent qu’il existe >0 et un intervalle [u, v]⇢[a, b] tels que u < v, c2[u, v] et f(x) pour tout x2[u, v].

D

c

u v

f(c)

Figure 1: f(x) >0 sur un intervalle [u, v] voisinage dec (le cas c2]a, b[)

Question: Montrer l’assertion pr´ec´edente en distinguant les casc2]a, b[ etc2{a, b}et en ´ecrivant la d´efinition de la continuit´e def enc.

D’o`u, en int´egrant, on a Zb

a

f(x)dx = Zu

a

f(x)dx+ Zv u

f(x)dx+ Zb v

f(x)dx Zv

u

f(x)dx (car f est positive) Zv

u

dx = (v u)>0.

2. C’est exactement l’implication contrapos´ee de l’assertion d´emontr´ee en 1.

Exercice 7:

D’abord, notons que dans tout l’exercice la fonctionf gest bien int´egrable.

Question: justifier l’int´egrablilit´e de f g dans chaque question.

1. Comme f est continue, elle est born´ee sur [a, b] et atteint ses bornes. Soient donc m, M 2R, u, v 2[a, b] tels que

m= inf

x2[a,b]f(x) =f(u) et M = sup

x2[a,b]

f(x) = f(v). Commeg est positive, alors

mg(x)f(x)g(x)M g(x) 8x2[a, b]. D’o`u

m Zb a

g(x)dx Zb

a

f(x)g(x)dxM Zb

a

g(x)dx. (1)

Deux cas se pr´esentent:

- Rb a

g(x)dx= 0 : donc d’apr`es (1), Rb a

f(x)g(x)dx=f(c) Rb a

g(x)dx= 0 pour toutc2[a, b]. -

Rb a

g(x)dx >0 : donc (1) devient

m Rb a

f(x)g(x)dx Rb

g(x)dx

M.

Par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (TVI) appliqu´e `a f, il existe c 2 [a, b] tel que

Rb a

f(x)g(x)dx Rb

a

g(x)dx

=f(c) soit

Zb a

f(x)g(x)dx=f(c) Zb

a

g(x)dx.

2. Notons dans toute la suite, pour toute fonction d´ecroissante h : [a, b] ! R, h(a⁺) :=

lim_x!a⁺h(x).Pourn2N^⇤,soient S={x0 =a, x1, ..., xn 1, xn=b}une subdivision de [a, b]

et (ck)ⁿ_k=1 une suite finie de r´eels telles que

g(x) = ck, x2]xk 1, xk[, k 2{1,2, ..., n}. On a par la relation de Chasles,

Zb a

f(x)g(x)dx = Xn k=1

xk

Z

xk 1

f(x)g(x)dx= Xn

k=1

ck xk

Z

xk 1

f(x)dx

= Xn k=1

ck(F(xk) F(xk 1))

= Xn k=1

ckF (xk) Xn k=1

ckF (xk 1)

= Xn k=1

ckF (xk)

n 1

X

k=0

ck+1F (xk)

= cnF(b) c1F (a) +

n 1

X

k=1

(ck ck+1)F(xk)

=c_nF (b) +

n 1

X

k=1

(c_k c_k+1)F (x_k) (car F (a) = 0). (2) Maintenant, comme f est int´egrable F est continue, donc born´ee sur [a, b] et atteint ses bornes. Soient donc m, M 2R, u, v 2[a, b] tels que

m = inf

x2[a,b]F (x) = F (u) et M = sup

x2[a,b]

F (x) =F (v).

Comme g est positive et d´ecroissante, tous les coefficients des images par F dans l’´egalit´e (2) sont positifs. On a donc d’apr`es cette ´egalit´e l’encadrement

mc1 = (cn+

n 1

X

k=1

(ck ck+1))m  Zb a

f(x)g(x)dx(cn+

n 1

X

k=1

(ck ck+1))M =M c1. D’o`u comme c₁ =g(a⁺), on a

mg a⁺  Zb a

f(x)g(x)dxM g a⁺ . (3)

Deux cas se pr´esentent:

- g(a⁺) = 0 : donc Rb a

f(x)g(x)dx=g(a⁺) Rc a

f(x)dx = 0 pour toutc2[a, b]. - g(a⁺)>0 : donc (3) devient

m Rb a

f(x)g(x)dx g(a⁺) M.

Par le TVI appliqu´e `a F, il existec2[a, b] tel que

Rb a

f(x)g(x)dx

g(a⁺) =F (c) soit Zb

a

f(x)g(x)dx=g a⁺ Zc

a

f(x)dx.

3. La strat´egie consiste `a encadrer g par deux fonctions en escalier convenables 'n, n 2 E[a, b], pour tout n 2 N^⇤, de telle sorte que l’int´egrale

Rb a

f(x)g(x)dx soit approch´ee par Rb

a

n(x)f(x)dx quand n est assez grand, et revenir par la suite au cas des fonctions en escalier trait´e dans la question 2.

Pour n2N^⇤, consid´erons la subdivision r´eguli`ere de [a, b] d´efinie par x_k=a+kb a

n , k 2{0,1, ..., n}, et d´efinissons les fonctions en escalier 'n, n par

8<

:

n(x) =g(a⁺), x2]x0, x1[,

n(x) =g(xk 1), x2[xk 1, xk[, k 2{2,3, ..., n},

n(a) =g(a), n(b) =g(xn 1),

et ⇢

'n(x) =g(xk), x2[xk 1, xk[, k 2{1,2, ..., n}, 'n(b) =g(b).

Pour tout n 2 N^⇤, on a facilement 'n  g  ⁿ et n est positive et d´ecroissante, ceci d´ecoule de la d´ecroissance et la positivit´e de g.D’apr`es (3) de la preuve de la question 2, et si l’on garde la mˆeme d´efinition des r´eels m, M, on a bien

mg a⁺ =m n a⁺  Zb a

n(x)f(x)dxM n a⁺ =M g a⁺ (4) pour tout n2N^⇤. Pour conclure, il suffit de montrer que

Zb

n(x)f(x)dx !

n!1

Zb

f(x)g(x)dx, (5)

et donc en passant `a la limite quand n! 1 dans (4) on a bien

mg a⁺  Zb a

f(x)g(x)dxM g a⁺ .

Le reste de la preuve est donc similaire `a celui de la preuve de la question pr´ec´edente.

Montrons donc (5) : commef est born´ee, soit C >0 tel que |f(x)|C pour toutx2[a, b]. On a pour n 2N^⇤,

| Zb a

n(x)f(x)dx Zb

a

f(x)g(x)dx|  Zb

a

( n(x) g(x))|f(x)|dx

 C Zb

a

( n(x) g(x))dx

 C Zb

a

( n(x) 'n(x))dx (car 'ng  ⁿ)

= Cb a

n g a⁺ + Xn

k=2

g(x_{k 1}) Xn k=1

g(x_k)

!

= C g a⁺ g(b) b a n _n!

!10.

Par suite, Rb a

n(x)f(x)dx _n!

!1

Rb a

f(x)g(x)dx.