Université Mohammed V – Rabat Année Universitaire 2019 - 2020 Faculté des Sciences

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Travaux dirigés d'Electricité Filière SVT - Semestre 2 - Série n°1

Exercice 1 Champ électrostatique créé par des charges ponctuelles

1) Etablir l’expression du champ électrostatique créé par deux charges identiques placées en A et B, en tout point de la médiatrice de AB.

2) Trouver les points de la médiatrice où le champ atteint sa valeur maximale.

3) Donner la représentation graphique E_x(x).

Exercice 2 Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge.

Un fil AB de longueur 2l, d’épaisseur négligeable est uniformément chargé par une densité linéique de charge positive. Le fil est placé selon l’axe Oy, l’axe Ox ne passe pas par son milieu.

a) Etablir, par la méthode directe, l’expression du champ électrostatique créé par ce fil en un point M de l’axe Ox.

b) En déduire le champ lorsque le point M appartient au plan médiateur du fil AB.

b) Que devient si la longueur du fil devient infinie.

Exercice 3 Application du théorème de Gauss.

En utilisant le théorème de Gauss, retrouver le champ électrostatique créé par un fil de longueur supposée infinie.

Exercice 4

Soit une distribution de charges de densité volumique ρ positive à l’intérieur d’une sphère de rayon R. Etablir l’expression du champ électrostatique créé par cette distribution en tout point de l’espace.

Exercice 5

1) Calculer le champ électrostatique créé par un cylindre de hauteur supposée infinie, de rayon R, à la distance r de son axe (



). Le cylindre porte une densité surfacique



positive et constante.

2) Déduire le potentiel électrostatique, créé par ce cylindre en tout point M de l’espace.

UNIVERSITE MOHAMMED V - RABAT Année universitaire 2019 - 2020 FACULTE DES SCIENCES

Dr ESSALHI Hajar

Travaux dirigés d'Electricité

Filière SVT- Semestre 2 – Corrigé Série n°1 EXERCICE 1: Champ électrostatique crée par des charges ponctuelles

1- Champ crée, en un point M, par deux charges ponctuelles identiques placées en A et B

La charge q placée en A crée en M, le champ

La charge q placée en B crée en M, le champ

Le champ total en M est alors : = +

=

+

=

( + )

(1)

Dans le repère MXY, on a: = cos α + sin α , = cos α - sin α Donc: + = cos α + sin α + cos α - sin α

= 2 cos α En remplaçant dans (1) :

=

(2 cos α ) =

(2)

Le champ électrostatique est porté par OX.

Schant que : Cos α = (3)

et dans le triangle rectangle AMm on a : (4) Remplaçant (3) et (4) dans (2) :

=

=

, D’où : =

2- Les points de la médiatrice où le champ atteint sa valeur maximale : Le champ est porté par OX. Sa composante E_x est : =

admet un extrémum si

= 0.

A

B

Y

X x r

α

α

m M

a a

On dérive le champ

par rapport à x, en appliquant la dérivation du quotient de deux fonctions,

=

, à l’équation ci-dessus, on obtiendra:

=

(

) =

(

) =

(

) Avec : = n ;

( ) = . . .2

=

(

)

= 0

(

) = 0

- . . .2 = 0 - 3 . = 0 ( - 3 ) = 0 ( - 2 ) = 0

puisque est strictement positif : - 2 = 0 = x = 3- La représentation graphique Ex(x) :

La partie négative de E_x signifie que est opposé au sens de OX.

Ex

X Emax

Emax

a - a

EXERCICE 2 : Champ électrostatique crée par une distribution linéique de charge

a) L’expression du champ électrostatique crée par le fil en un point M de l’axe OX par la méthode directe :

On considère une charge élémentaire dq = λ dl. Elle crée en M un champ électrostatique élémentaire d :

d =

=

Avec : tan θ =

dy = x (1+tan²θ) dθ =

dθ Et cos θ =

Donc : d =

=

d =

Avec : = cos θ - sin θ

Pour avoir le champ total crée par tout le fil, il faut intégrer d entre les angles θ1 et θ2, on trouve : = =

=

En module : = = =

=

=

b) Le champ lorsque le point M appartient au plan médiateur du fil AB : - Si M appartient à l’axe de symétrie de AB : = - = θ

=

=

=

=

M dl

x

θ1

θ2

θ A

B + + + + + +

Avec : sin θ =

, l

e champ devient : =

C) Si la longueur du fil devient infini : alors θ , et sin θ =1 Donc : =

EXERCICE 3 : Application du théorème de Gauss

- Le champ électrostatique crée par un fil de longueur supposée infinie par la méthode de Gauss.

Pour calculer le champ par le théorème de Gauss, il faut suivre 4 étapes: étude de la symétrie, le choix de la surface de Gauss, le calcul du flux et enfin l'application du théorème de Gauss.

 Etude de la symétrie : Le fil infini présente une symétrie cylindrique,

En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z), ne dépend que de ρ. = E(ρ)

 Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface d'un cylindre, entourant le fil passant par M (point où on calcule le champ ) de rayon ρ et de hauteur h.

 Calcul du flux :

Φ ( ) = = + +

Base 1 :

= = 0

- est perpendiculaire à : donc : . = : . = . .cos ( )

= . .cos (90°) = 0 Base 2 :

= ) = 0

- est perpendiculaire à : donc : . = : . = . .cos ( )

= . .cos (90°) = 0 Surface latérale :

- est parallèle à : . = : . = . .cos ( ) = . .cos (0°) =1 = = E = E . = 2 π ρ h E

 Théorème de Gauss: Φ ( ) =

: Sommes des charges contenues à l’intérieur du cylindre. C’est les charges sur le fil.

⇒

= λ . h

Donc : Φ ( ) =

2 π ρ h E

=

⇒

E =

Base 1

ρ M

h

Surface latérale Base 2

Base 1

Surface latérale Base 2

=

, le résultat obtenue par la méthode du théorème de Gauss est le même obtenue dans l’exercice 2 par la méthode directe.

EXERCICE 4 :

L’expression du champ électrostatique crée , crée en un point M, par une distribution de charges de densité volumique ρ positive à l’intérieur d’une sphère de rayon R :

 Etude de la symétrie : La sphère chargée présente une symétrie sphérique, est radial et ne dépend que de r. = Er(r)

 Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface d'une sphère de centre O et de rayon r = OM, (M est le point où on calcule le champ ).

 Calcul du flux :

est parallèle à : . = : . = . .cos ( ) = . .cos (0°) =1 Φ ( ) = = = =

Comme E est constant sur la surface de Gauss:

Φ ( = E(r) = E(r).4πr²

 Théorème de Gauss: Φ ( ) =

1^er cas: Si M est à l’intérieur de la sphère chargée, r < R : Sommes des charges contenues dans la sphère de rayon r.

= = ρ = ρ π r³

⇒

E(r).4 π r² = ρ π r³

⇒

^{E(r) =}

2^éme cas : Si M est à l’extérieur de la sphère chargée, r ˃ R : Sommes des charges contenues dans la sphère de rayon R.

= = ρ = ρ π R³

⇒

^{E(r).4 π r2 = ρ π R3}

⇒

^{E(r) =}

Représentation graphique:

E

r

R r

O R

E dS

S M

EXERCICE 5 :

1) Champ électrostatique crée, en un point M, par un cylindre chargé sur sa surface et de hauteur supposée infini

 Etude de la symétrie : Le cylindre présente une symétrie cylindrique, est radial et ne dépend que de ρ. = Eρ (ρ)

Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface d'un cylindre de rayon r = ρ = OM et de hauteur h.

 Calcul du flux :

Φs ( ) = = + +

Base1:

= = 0

- est perpendiculaire à : donc : . = : . = . .cos ( )

= . .cos (90°) = 0 Base 2 :

= ) = 0

- est perpendiculaire à : donc : . = : . = . .cos ( )

= . .cos (90°) = 0 Surface latérale :

- est parallèle à : . = : . = . .cos ( ) = . .cos (0°) =1 = = E = E . = 2 π ρ h E

⇒

Φ_s ( ) = E 2 π ρ h

 Théorème de Gauss: Φ ( ) =

1^er cas: Si M est à l’intérieur du cylindre chargé, ρ < R

les charges sont sur la surface du cylindre, il n'y'a pas de charges à l'intérieur , donc: = 0

⇒

^{E = 0}

2^éme cas : Si M est à l’extérieur du cylindre chargé, ρ ˃ R = = σ = σ S = σ 2 π R h

On a: E 2 π ρ h =

⇒

E = Base 1 Base 2 Surface

latérale R

ρ M S1

S

3

S2

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + +

Représentation graphique:

2) Potentiel électrostatique crée par le cylindre

On a : = - V ; V est le potentiel électrostatique crée par le cylindre ne dépend que de ρ

⇒

V ne dépend que de ρ

= - V E = -

E = -

dV = - E dρ

⇒

^{V =} = -

 Si ρ < R : E = 0

⇒

V = cte

 Si ρ ˃ R : V = -

= -

ln ρ + cte

Puisque le cylindre est infini

⇒

il y a des charges à l’infini

⇒

0 Donc on ne pas déterminer la cte.

 Cependant on peut calculer la différence de potentiel électrique (d.d.p) entre deux points M1 et M2 :

V(M₂) - V(M₁) = -

lnρ₂ +

lnρ₁ =

ln

E

R ρ