Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez D´epartement de Math´ematiques et Informatique Chapitre 1 Langage de topologie

Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Chapitre 1

Langage de topologie

Abdelaziz Kheldouni

November 15, 2005

Introduction

Cette br`eve introduction est extraite en grande partie du livre Cours de topologie de Gustave Choquet ( Masson 1984 )

La topologie g´en´erale ne constitue un ensemble coh´erent de concepts que depuis le d´ebut du 20 `eme si`ecle, malgr´es le fait qu’elle soit l’aboutissement de tout un mouvement d’id´ees qui re- monte `a l’antiquit´e. Les notions de limite et de continuit´e s’impos`erent d´eja aus math´ematiciens grecs d`es qu’ils tent`erent de pr´eciser la notion de nombre. Ce n’est qu’avec Cauchy (1821) et Abel (1829) que les concepts de suite et de s´erie convergentes, et celui de fonction continue ne devinrent claires. En 1873 Cantor cr´ea un langage `a la fois g´en´eral et pr´ecis pour une meilleure connaissance de la droite r´eelle; ce qui ouvrit le chemin `a un monde nouveau. Les d´ecouvertes se succ´ed`erent particuli`erement en France (Poincar´e, Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue) et en Allemagne (Klein, Mittag-Leffler). On en vient rapidement `a l’´etude de l’analyse fonctionnelle (Ascoli, Voltera, Hilbert) qui ´etait un d´ebut de r´ealisation du programme de Riemann qui concistait en ” l’´etude de la notion g´en´erale de grandeur plusieurs fois ´etendue ”, entendant par l`a non seulement les vari´et´es `a un nombre quelconque de dimension, mais aussi les espaces de fonctions et d’ensembles. Les progr`es de l’analyse, dans l’´etude locale des fonctions, leurs limites en un point (fini ou non) leur continuit´e et leur d´erivabilit´e, l’existence d’extremums ..., demandaient une d´efinition rigoureuse de l’id´ee intuitive de proximit´e. Il fut ainsi d´efini le concept de voisinage dans des ensembles math´ematiques abstraits (nombres, points du plan ou de l’espace, vecteurs, fonctions) conduisant `a la notion d’espace topologique. La notion de distance devait aussi ˆetre pr´ecis´ee en g´en´eralisant ce concept intuitif `a des espaces abstraits : il s’agit des espace m´etriques d´efinis par Fr´echet. Ces espaces fournissent alors un outilessentiel pour l’´etude de la continuit´e uniforme et de la convergence uniforme,et commode aussi pour l’´etude des structures topologiques. Hausdorffparvient `a d´egager d’une jungle d’axiomes, un syst`eme axiomatique simplequi est la pierre angulaire de la topologie g´en´erale actuelle.

§

I.

L’exemple des espaces m´etriques

D´efinitions et exemples

Un espace m´etrique est un ensemble E sur lequel est d´efinie une distance, c’est `a dire une application d:E×E →R⁺ qui v´erifie pour tout x, y , z dans E :

1) d(x, y) =d(y, x)

2) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) 3) d(x, y) = 0⇔x=y

On note (E, d) l’espace m´etrique E pour la distanced.

Exemples:

a) (R , d(x, y) =|x−y| ) et (C , d(z, z⁰) =|z−z⁰ | ) sont des espaces m´etriques b) Pour x= (x₁, x₂, . . . , x_n) et y= (y₁, y₂, . . . , y_n) dansRⁿ ,d₁(x, y) =

n

P

k=1

|x_k−y_k | ,

d₂(x, y) = s n

P

k=1

(x_k−y_k)² , et d∞(x, y) = Sup

1≤k≤n

|x_k−y_k | sont des distances surRⁿ. L’in´egalit´e triangulaire pour d₂ d´ecoule de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz

n

X

i=1

λ_iµ_i

!2

≤

n

X

i=1

(λ_i)²

n

X(

i=1

µ_i)²

qui r´esulte par la simple observation que le trinˆome du second degr´e t 7−→ Pⁿ

i=1

(λ_i +tµ_i)² est positif ou nul). En effet

d₂(x, z)² = (

n

P

k=1

|x_k−z_k|²)≤ Pⁿ

k=1

(|x_k−y_k|+|y_k−z_k|)²

≤

n

P

k=1

|x_k−y_k|²+|y_k−z_k|²+

n

2P

k=1

|x_k−y_k| |y_k−z_k|

≤d2(x, y)²+d2(y, z)²+

n

2P

k=1

|xk−yk| |yk−zk|

≤d2(x, y)²+d2(y, z)²+ 2d2(x, y)d2(y, z)≤(d2(x, y) +d2(y, z))² c) d:E×E →R⁺ , (x, y)→

0 si x=y

1 si x6=y d´efinit une distance sur E , (E, d) est appel´e espace m´etrique discret.

d) Soit (E, d) un espace m´etrique,

d⁰(x, y) =arctg(d(x, y)) d⁰⁰(x, y) = inf(d(x, y),1) d⁰⁰⁰(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y)

sont des exemples de distances sur E. On remarquera que ces distances sont born´ees, car elles prennent leurs valeurs respectivement dans [−^π₂,^π₂] et [0,1].

e) Si (E, d) est un espace m´etrique etE⁰ un ensemble tel qu’il existe une bijection f :E →E⁰ alors on peut d´efinir sur E⁰ une distance en posant pour tout (x⁰, y⁰)∈E⁰

d⁰(x⁰, y⁰) := d(f⁻¹(x⁰), f⁻¹(y⁰)) elle est dite obtenue en transporant d par f.

f) Sous-espace m´etrique : Soient (E, d) un espace m´etrique etF une partie non vide deE. La restriction de d`a F ×F d´efinit une distance surF dite distance induite sur F. L’espace (F, d) est appel´e un sous-espace m´etrique deE.

g) Sur un espace vectoriel r´eel ou complexeE, on appelle norme toute applicationN :E −→R⁺ qui v´erifie les trois propri´et´es suivantes

1. N(x) = 0⇐⇒x= 0

2. N(λx) =|λ|N(x) ∀x∈E , ∀λ∈C 3. N(x+y)≤N(x) +N(y) ∀x, y ∈E

Si N est une norme sur E alors, pour toutx ∈E on a

|N(x)−N(y)|≤N(x−y) en effet, N(x) =N(x−y+y)≤N(x−y) +N(y) donc,

N(x)−N(y) ≤ N(x−y), et N(y) = N(y−x+x) ≤ N(x−y) +N(x), donc −N(x−y) ≤ N(x)−N(y)..

Cette in´egalit´e traduit le fait que l’applicationx7→N(x) est lipschitzienne de (E, N) dansR⁺. Un espace vectoriel norm´e est un espace vectoriel muni d’une norme

Si (E, N) est un espace vectoriel norm´e, en posant pour tout (x, y)∈E×E d(x, y) :=N(y−x)

On v´erifie facilement que l’on a ainsi d´efini une distance sur E qui se trouve donc muni d’une structure d’espace m´etrique; notons que la distance d(., .) ainsi d´efinie v´erifie en plus

d(x+z, y+z) = d(x, y) d(λx, λy) =|λ |d(x, y)

h) Un espace euclidien est un couple (E, ϕ) o`uE est unR-espace vectoriel etϕ une application bilin´eaire symetrique d´efinie positive de E × E → R, qu’on appelle produit scalaire sur E.

L’application

d: E×E → R⁺ (x, y) → p

ϕ(x−y, x−y) d´efinit une distance sur E.

Remarque 1:

1) Sid est une distance alors on a : |d(x, z)−d(z, y)|≤d(x, y) en effet, nous avons d’une part d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) , doncd(x, z)−d(z, y)≤d(x, y) , et d’autre part

d(z, y)≤d(x, y) +d(x, y) , qui donne −d(x, y)≤d(x, z)−d(z, y).

2) Soient x1, x2, . . . , xn des ´el´ements d’un espace m´etrique (E, d). On a par r´ecurrence sur n d(x₁, x_n)≤d(x₁, x₂) +d(x₂, x₃) +· · ·+d(xn−1, x_n)

Dans les espaces m´etriques, les boules jouent un rˆole tr´es important. Soient (E, d) un espace m´etrique, a∈E etr un nombre r´eel strictement positif

♦ On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r , et on noteB(a, r) l’ensemble des x de E qui v´erifient d(a, x)< r.

♦ On appelle boule ferm´ee de centrea et de rayon r , et on note B_f(a, r) l’ensemble des x de E qui v´erifient d(a, x)≤r.

Exemple :

- dans R, B(a, r) =]a−r, a+r[

- dans Rⁿ, muni de la distance d_∞, B(a, r) =

n

Q

i=1

]x_i−r, x_i+r[

D´efinition 2: Une partie A d’un espace m´etrique (E, d) est dite born´ee s’il existe une boule de E contenant A.

Proposition 3: La r´eunion de deux parties born´ees est une partie born´ee.

D´emonstration : A=A1∪A2 commeA1 et A2 sont born´ees, il existea1 ∈E , a2 ∈E, r1 >0 et r₂ >0 tels que

A₁ ⊂B(a₁, r₁) et A₂ ⊂B(a₂, r₂)

Soit r=M ax(r₁, d(a₁, a₂) +r₂) , A est alors inclus dansB(a₁, r). En effet, pour toutx∈A= A₁∪A₂

si x∈A1 on a d(a1, x)< r1 ≤r donc x∈B(a1, r)

si x∈A₂ on a d(a₁, x)≤d(a₁, a₂) +d(a₂, x)< d(a₁, a₂) +r₂ ≤r donc x∈B(a₁, r).

On appelle diam`etre d’une partie A de (E, d), et on note diam(A) ou bien δ(A) le nombre sup

x,y∈A

(d(x, y))∈R . On montre sans difficult´e qu’une partie non vide de (E, d) est born´ee si et seulement si son diam`etre est fini.

Ouverts d’un espace m´etrique

La notion d’ouvert est la notion de base de la topologie, elle fournit un langage pour traiter des questions locales.

D´efinition 4: Soit U une partie d’un espace m´etrique E. On dit que U est un ouvert de E si pour tout x ∈ U il existe une boule de centre x contenue dans U.

Exemples:

a) Toute boule ouverte B(a, r) de E est un ouvert de E. En effet, pour tout x ∈ B(a, r) on consid`ere r<sub>x</sub> =r−d(a, x)>0. La boule B(x, r<sub>x</sub>) r´epond `a la question car ∀y ∈B(x, r_x), d(y, a)≤d(y, x) +d(x, a)< r_x+d(x, a) = r i.ey ∈B(a, r).

b) Les intervalles ouverts de R sont des ouverts de R.

Propopsition 5: L’ensemble U_d des ouverts d’un espace m´etrique (E, d) satisfait aux pro- pri´et´es suivantes:

τ1) Si (Uλ)λ∈∆ est une famille quelconque d’´el´ements de Ud alors ∪

λ∈∆Uλ est dans Ud. τ₂) Si (U_i)ⁿ_i=1 est une famille finie d’´el´ements de U_d alors ∩ⁿ

i=1U_i est dans U_d. τ₃) E et ∅ sont dans U_d.

D´emonstration :τ₁) et τ₂) sont faciles, pour τ₃) il est ´evident queE ∈ U_d , quant `a ∅il est bien dans U_d car la propri´et´e est v´erifi´ee vue qu’il n’y a pas d’´el´ements.

Notons que dans τ₂) la finitude de la famille (U_i)ⁿ_i=1 est n´ecessaire. Il suffit pour le voir, de penser `a la famille des ouverts (U_n =]− _n¹,_n¹[)n∈N^∗ de R, on a ^∞∩

i=1U_i ={0} qui n’est pas un ouvert (voir exemple 2 ci-dessous).

Notons aussi que dans un espace m´etrique E une partie U est un ouvert si et seulement si c⁰est une r´eunion de boules ouvertes; en effet, siU est un ouvert de E alors pour tout x∈U ,

∃ rx > 0 tel que B(x, rx) ⊂ U ; on a alors U = ∪

x∈UB(x, rx) . L’implication dans l’autre sens est imm´ediate, c’estτ₁)

D´efinition 6: Soit F une partie d’un espace m´etrique E. On dit que F est un ferm´e de E si son compl´ementaire dans E , {^FE :=E-F est un ouvert de E.

Exemples:

1) Toute boule ferm´ee est un ferm´e. Soit x∈ {^Bf(a,r), la boule B(x, r_x) o`u r_x =d(a, x)−r ne rencontre pas B_f(a, r) car pour tout y∈B_f(a, r) , d(x, y)≥d(x, a)−d(a, y)≥d(x, a)−r ; donc y /∈B(x, r_x)

2) Le singleton{a}est un ferm´e, six6=a, on ad(a, x)>0 , soitr_x =d(a, x) ,a /∈B(x, r_x), c’est `a dire B(x, r_x)⊂{^{a} , {^{a} est donc ouvert.

Remarques:

1) Il existe des ensembles qui ne sont ni ouverts ni ferm´es, comme ]a, b] dans (R, d₂).

2) Par passage aux compl´ementaires dans la proposition 5, on obtient : F₁) Une r´eunion finie de ferm´es de E est un ferm´e

F₂) Une intersection quelconque de ferm´es de E est un ferm´e F₃) L’ensemble vide et E sont des ferm´es de E .

Voisinages

Soit E un espace m´etrique, et a un point de E. Une partie V de E est un voisinage de a si V contient un ouvert contenant a. Notons qu’un voisinage de a n’est jamais vide, puisqu’il contient a. On notera souventv(a) l’ensemble des voisinages de a.

D´efinition 7: Soit A une partie d’un espace m´etrique E.

1) Un point a de E est dit int´erieur `a A,si A est voisinage de a.On note

◦

A l’ensemble des points int´erieurs `a A.

2) Un point a de E est dit adh´erent `a A, si tout voisinage de a rencontre A. L’ensemble des points adh´erents `a A est not´e A

Tout point int´erieur `a Aappartient `aA (

◦

A ⊂A ), et

◦

A est un ouvert de E; en effet, pour tout a ∈ A^◦ il existe un ouvert contenant a , U_a ⊂ A . Comme a ∈ U_a qui est ouvert, il va exister une boule de centre a contenue dans U_a donc dans

◦

A , car U_a est ´evidement contenu

dans

◦

A (∀ y ∈ Ua., Ua ⊂ A donc Ua ∈ v(y) , et Ua ⊂

◦

A ). Ceci nous permet de dire que l’int´erieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A

Il est ´evident que tout point deA est adh´erent `aA (A⊂A ). Notons aussi que l’adh´erence A de A est un ferm´e de E, car pour tout x ∈ {^A il va exister un voisinage V_x de x tel que V_x∩A=∅; notons alors que V_x⊂{^A ( car sinon; il existe y∈V_x et y∈Ace qui est contraire

`

a V_x∩A=∅, puisque tout voisinage dey rencontreA ). Ainsi {^A est un ouvert. A est donc le plus petit ferm´e de E contenant A.

M´etriques ´equivalentes

Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces m´etriques, et f :E →F une application. On dira que f est continue au point a ∈ E si pour tout r´eel ε > 0, il existe un nombre r´eel η > 0 tel que pour tout x∈E v´erifiant d(x, a)≤η, on aitδ(f(x), f(a))≤ε.

Proposition 8: Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces m´etriques, f :E →F une application.et a∈E . f est continue en a si et seulement si pour tout V ∈v(f(a)) , on a f⁻¹(V)∈v(a).

D´emonstration :Supposons que l’image r´eciproque de tout voisinage de f(a) parf est un voisi- nage de a; comme la boule B(f(a), ε) est un voisinage de f(a), alors f⁻¹(B(f(a), ε)) est un voisinage dea donc contient une boule B(a, η) de centre a; ainsi, pour tout ε >0 et pour tout x∈E v´erifiant d(x, a)≤η on a δ(f(x), f(a))≤ε.

R´eciproquement, si f est continue en a, et si V ∈v(f(a)), alors V contient une boule ouverte de centre f(a) ,B(f(a), ε), comme f est continue en a il va exister unη > 0 telque pour tout x∈B(a, η) on a f(x)∈B(f(a), ε)⊂V donc f(B(a, η))⊂V; et donc f⁻¹(V)⊃B(a, η).

L’application f est dite continue sur E si elle est continue en tout point de E.

Proposition 9: Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces m´etriques; une application f : E → F est continue sur E si et seulement pour tout ouvert U dans F , f⁻¹(U) est un ouvert de E.

D´emonstration :Supposons que l’image r´eciproque d’un ouvert de F est un ouvert de E , soit a ∈ E, et V ∈ v(f(a), comme

◦

V est un voisinage ouvert dans F, f⁻¹(

◦

V) est un ouvert de E contenant a c’est `a dire un voisinage de a etf⁻¹(V) un voisinage de a : f est donc continue.

Si maintenant f est continue et si U est un ouvert deF, comme U est un voisinage de chacun de ses points alors f⁻¹(U) est un voisinage de chacun de ses points; c’est donc un ouvert de E.

D´efinition 10: Un hom´eomorphisme d’un espace m´etrique (E,d) sur un autre espace m´etrique (F,δ) est une application continue, bijective f : E → F, dont l’inverse f⁻¹ : F → E est continue. On dit dans ce cas que E etF sont hom´eomorphes.

Exemples :

1) R est hom´eomorphe `a ]− ^π₂,^π₂[, en effet f(x) = arctg(x) est un hom´eomorphisme de R

sur ]− ^π₂,^π₂[. Il faudrait faire attention qu’une bijection continue n’est pas n´ecessairement un hom´eomorphisme; pour s’en convaincre il suffit de penser `a la fonctionf : [0,1]∪]2,3]→ [0,2]

d´efinie par f(x) =

x si x∈[0,1]

x−1 si x∈]2,3[ .

2) Une application f : (E, d) → (F, δ) est une isom´etrie si pour tout (x, y) ∈ E ×E , nous avons

δ(f(x), f(y)) =d(x, y)

une isom´etrie est ´evidement injective et continue, si de plus elle est surjective alors c’est un hom´eomorphisme et son inverse est aussi une isom´etrie.

D´efinition 11: Soit E un ensemble muni de deux distances d et δ . On dira que d et δ sont topologiquement ´equivalentes si tout partie de E ouverte pour l’une est aussi ouverte pour l’autre.

En d’autres termes les familles U_d et U_δ qu’elles d´efinissent sont les mˆemes.

Proposition 12: Soient d₁ et d₂ deux distances sur E sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si l’identit´e est un hom´eomorphisme de (E, d₁)sur (E, d₂).

D´emonstration:Si d₁ et d₂ sont topologiquement ´equivalentes alors τ_d1 =τ_d2 et donc pour tout U ∈ τ_d2, Id⁻¹(U) =U est un ouvert de τ_d2 donc de τ_d1; c’est `a dire que Id: (E, d₁)→(E, d₂) est continue.

En ´echangeant les rˆoles ded₁ et d₂ , on obtient la continuit´e de Id: (E, d₂)→(E, d₁).

R´eciproquement, si Id : (E, d₁) → (E, d₂) est un hom´eomorphisme, alors tout ouvert U de (E, d₁) est un ouvert de (E, d₂) car U = Id⁻¹(U). De mˆeme, tout ouvert de (E, d₂) est un ouvert de (E, d₁).

Exemples :

(E, d) un espace m´etrique. les distances

d₁(x, y) := inf(1, d(xy)) et d₂(x, y) := d(x, y) 1 +d(x, y) sont topologiquement ´equivalentes.

D´efinition 13: On dira que deux distances d₁ et d₂ sur E sont uniform´ement ´equivalentes si il existe deux nombres r´eels strictement positifs α et β tels que pour tout (x, y)∈E×E

αd₁(x, y)≤d₂(x, y)≤βd₁(x, y) Exemple:

Dans Rⁿ les distances d₁ , d₂ etd∞ d´efinies pr´ec´edement, sont uniform´em´ent ´equivalentes.

Notons que deux distances uniform´em´ent ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes. En effet, si d₁ et d₂ sont uniform´ement ´equivalentes alors il existe α etβ >0 tels que :

αd₁(x, y)≤d₂(x, y)≤βd₁(x, y) ;

si on consid`ere l’identit´e de E , Id: (E, d₂)→(E, d₁), on voit bien qu’elle est continue car

∀ε >0 , ∃η >0 (η=αε) / d₂(x, y)≤η⇒αd₁(x, y)≤η ⇒d₁(x, y)≤ηα⁻¹ =ε Un raisonnement analogue pour Id : (E, d1) → (E, d2) montre que l’identit´e de E est un hom´eomorphisme de (E, d₁) sur (E, d₂)

Notons que la r´eciproque de ce r´esultat n’est pas vraie. Deux distances topologiquement

´

equivalentes ne sont pas n´ecessairement uniform´ement ´equivalentes, pour le voir il suffit de consid´erer sur , les distances d₁(x, y) = inf(1,|x−y|) , et d(x, y) =|x−y| , sont topologique- ment ´equivalentes mais non uniform´em´e´ent ´equivalentes, la distance d₁ est born´ee alors que d ne l’est pas, donc on ne peut pas avoir d≤αd1

On peut d´ej`a remarquer `a ce niveau que les quelques notions pr´ec´edement introduites, comme celle de la continuit´e d’une application peut-ˆetre formul´ee en faisant appel uniquement

`

a la familleτ des ouverts des espaces consid´er´es. Toutes ces notions peuvent en fait ˆetre d´efinies dans des espaces plus g´en´eraux que les espaces m´etriques : les espaces topologiques.

§

I.

Les espaces topologiques

D´efinition et exemples

Soit X un ensemble quelconque de points D´efinition 1:

On appelle topologie sur X, un ensemble τ_X de parties deX qui v´erifie τ₁ Une r´eunion quelconque d’´el´ements deτ_X appartient `a τ_X

τ₂ Une intersection finie d’´el´ements deτ_X appartient `a τ_X τ₃ L’ensemble vide etX sont dans τ_X.

Les ´el´ements de τ_X sont appel´es les ouverts de X .X est appel´e un espace topologique. Il sera not´e (X, τX) ou tout simplementX s’il n y a pas de risque de confusion.

Exemples:

1) La topologie grossi`ere: τ_X ={∅ , X}

2) La topologie discr`ete: τ_X =P(X) , l’ensemble des parties de X.

3) Si X =∅, τ_X =P(X) = {∅}est la seule topologie sur X.

si X ={x} , τ_X =P(X) ={∅ , {x}} est la seule topologie sur X.

4) Posons .R = R∪ {±∞} sur lequel on a une relation d’ordre obtenue par prolongement de celle dansRen posant pour toutx∈R,−∞< x <+∞. Rest appel´ee la droite r´eelle achev´ee.

C’est un espace topologique; τ_.

R est l’ensemble des parties U de.R d´efinies par si x∈U ∩Ralors il existe un intervalle ]a, b[ contenant x et contenu dans U

si x= +∞ il existe un intervalle ]x,+∞] dans Rqui contient x et qui est contenu dans U. si x=−∞il existe un intervalle [−∞,x[ dans R qui contient x et qui est contenu dans U. 5) La topologie m´etrique: un espace m´etrique (E, d) est un espace topologique (E, τ_d) ; U ∈τ_d si et seulement si U est une r´eunion de boules ouvertes.

6) Sicard(X)≥2 alors pour toute partie A deX ,τ_X ={∅, A , X}est une topologie surX.

7) La topologie cofinie: Soient X un ensemble et F in(X) l’ensemble des parties finies de X.

On obtient une topologie surX en posant τ_X ={∅ , {{^AX}_{A∈F in(X)}} .

8) Sous espaces topologiques: soit (E, τ_E) un espace topologique, et X une partie de E. On consid`ere

τ_X ={X∩U , U ∈τ_E}

τ_X est une topologie surX appel´ee topologie induite surX par celle de E

Notons ici que dans le cas o`uXn’est pas un ouvert deE, un ouvert deXn’est pas n´ecessairement un ouvert deE. Par exemple [0, 1[ est un ouvert de [0 ,+∞[ muni de la topologie induite par celle deR , mais ce n’est pas un ouvert de R.

Ensembles ferm´es - Int´erieur -Adh´erence

Soit F une partie d’un espace topologique (X, τ_X). On dira queF est un ferm´e deX si son compl´ementaire dansX est un ouvert de X. En utilisant les propri´et´es du compl´ementaire on v´erifie facilement que

1) une r´eunion finie de ferm´es de X est un ferm´e de X.

2) une intersection de ferm´es de X est un ferm´e de X.

3) l’ensemble vide et X sont des ferm´es de X.

Il existe aussi des ensembles `a la fois ouverts et ferm´es, comme par exemple ∅ et X , et des ensembles qui ne sont ni des ouverts ni des ferm´es comme par exemple, dansR muni de la topologie euclidienne, A= [a, b[ n’est ni ouvert ni ferm´e dans R.

Soit (X, τ_X) un espace topologique, et A une partie de X.

♦ On appelle int´erieur de A , et on note

◦

A , le plus grand ouvert contenu dans A (ou bien l’union de tous les ouverts contenus dans A). Un point x de

◦

A est dit point int´erieur de A.

Propri´et´e 2:

1)

◦

A ⊂A ,

◦

◦

A=

◦

A 2)

◦

A=A⇔ A est ouvert.

3) A⊂B ⇒ A^◦ ⊂ B^◦ 4)

◦

A\∩B =

◦

A∩ B^◦ 5)

◦

A∪ B^◦ ⊂

◦

A\∪B

D´emonstration :1) et 2) r´esultent de la d´efinition;

3)

◦

A ⊂A ⊂B , comme

◦

A est un ouvert inclus dans B, alors

◦

A⊂

◦

B.

4)

◦

A∩ B^◦ ⊂ A∩B , comme

◦

A∩ B^◦ est un ouvert,

◦

A∩ B^◦ ⊂

◦

A\∩B. Inversement, A∩B ⊂A donc d’apr´es 3),

◦

A\∩B ⊂

◦

A; de mˆeme,A∩B ⊂B donc d’apr´es 3),

◦

A\∩B ⊂

◦

B d’o`u le r´esultat.

5) A ⊂ A ∪B donc

◦

A ⊂

◦

A\∪B d’autre part, B ⊂ A∪B donc

◦

B ⊂

◦

A\∪B ce qui donne

◦

A∪

◦

B ⊂

◦

A\∪B

♦On appelle adh´erence ou bien fermeture deA, et on ´ecritA , le plus petit ferm´e contenantA;

( ou bien l’intersection de tous les ferm´es contenant A). Un pointx∈Aest dit point adh´erent deA.

Propri´et´e 3:

1) A⊂A , A=A 2) A=A⇔ A ferm´e 3) A⊂B ⇒ A⊂ B 4) A∩B ⊂ A∩B 5) A∪B =A∪B 6) {^A =

◦

{^A et {

◦

A={^A

D´emonstration :1) et 2) r´esultent de la d´efinition;

3) A⊂B donc A⊂B , comme B est un ferm´e contenantA , alors A⊂ B

4)A∩B ⊂Adonc A∩B ⊂A , etA∩B ⊂B doncA∩B ⊂B le r´esultat est alors imm´ediat 5) A ⊂ B ∪A ⇒ A ⊂ A∪B , de mˆeme B ⊂ A∪B ⇒ B ⊂ A∪B d’o`u A∪B ⊂ A∪B or A∪B est un ferm´e contenantA∪B donc A∪B ⊂A∪B ; d’o`u 5).

6) A = u

F⊃AF donc {^A est l’union des ouverts contenus dans {^A; c’est `a dire

◦

{^A; mˆeme raisonnement pour l’autre ´egalit´e.

Soit A une partie de X On dira que A est partout dense dans X si A =X (⇔{

o

A

Notons que SiA est partout dense dansX etA⊂B alorsB est partout dense dansX. et que l’intersection de deux ouverts partout denses dans X est patout dense dans X.

♦ On appelle fronti`ere de A qu’on notera F r(A) ou A^∗ , l’intersection de A et de {^A Propri´et´e 4:

1) F r(A) est un ferm´e 2) F r(A) = F r {^A 3) A=

◦

A∪F r(A)

4) F r(A) =∅ ⇔A est un ouvert ferm´e.

D´emonstration :(1) par d´efinition , (2) F r {^A

= {^A∩{^{A = {^A∩A = F r(A) , (3) l’espace

topologiqueX =

◦

A∪{

◦

A=

◦

A∪{^A , doncA=A∩X =A∩ _◦

A∪{^A

=

A∩A^◦

∪F r(A) =

◦

A∪F r(A). (4) Nous avonsA=

◦

A∪F r(A) donc siF r(A) = ∅,A=

◦

Aet alorsA est un ouvert ferm´e. R´eciproquement, F r(A) = A∩ {^A=A∩{^Aˆ =A∩{^A=∅.

Voisinages

Soient (X, τ_X) un espace topologique, et x∈X

♦On appellevoisinage de x, toute partieV deX contenant un ouvert contenantx. On notera souvent v(x) l’ensemble des voisinages de x : V ∈v(x)⇔ ∃ θ ∈τX tel que x∈θ ⊂V.

Exemples :

- Tout ouvert contenant x est un voisinage dex

-Pour la topologie grossi`ere, X est le seul voisinage de x, alors que pour la topologie discr`ete, toute partie de X est un voisinage dex.

Proposition 5:

v₁) Si V ∈v(x) , etV ⊂A⇒A∈v(x) v₂) Si V ∈v(x) , alorsx∈V

v₃) L’intersection d’une famille finie de voisinages de x est un voisinage dex

v₄) ∀ V ∈ v(x) , ∃ V⁰ ∈ v(x) / ∀y ∈ V⁰ , V ∈ v(y) (V est voisinage de tous les points voisins de x)

D´emonstration: (v₁) V ∈v(x) donc∃ θ ∈τ_X tel que x∈θ ⊂V ⊂A et doncA∈v(x).

(v₂) Si V ∈v(x) alors ∃ θ ∈τ_X tel que x∈θ ⊂V donc x∈V.

(v₃) Si V₁ et V₂ ∈v(x) alors ∃θ₁ ∈ τ_X tel que x∈ θ₁ ⊂V₁ et ∃θ₂ ∈τ_X tel que x∈θ₂ ⊂V₂. Si on consid`ere l’ouvert θ₁∩θ₂ , on a bien x∈θ₁∩θ₂ ⊂V₁∩V₂ ; ce qui veut dire que V₁∩V₂ est un voisinage de x.

(v₄) V ∈v(x)⇔ ∃ θ∈τ_X tel que x∈θ⊂V , on prend alors V⁰ =θ. On a bien ∀y∈ V⁰ =θ , y∈θ ⊂V c’est `a dire queV ∈v(y).

Soient (X, τ_X) un espace topologique et A ⊂ X. On dit que V est un voisinage de A si

∃ θ ∈τ_X tel que A⊂θ ⊂V; autrement dit, si pour toutx∈A, V ∈v(x).

Proposition 6:

Soit (X, τ_X) un espace topologique etA ⊂X.

1) A∈τX ⇔ ∀ x∈A , A∈v(x) 2)

◦

A={x∈A / A∈v(x)}

3) x∈A ⇔ ∀V ∈v(x) , V ∩A6=∅

4) x∈F r(A)⇔ ∀ V ∈v(x) , V ∩A6=∅ et V ∩{^A6=∅

D´emonstration: Si Aest un ouvert alors c’est un voisinage deA. R´eciproquement, si∀x∈A, A ∈ v(x) , alors A est un voisinage de A et donc il existe un ouvert contenant A et contenu dans A c’est `a dire qui coincide avec A.

Soit x ∈ A tel que A ∈ v(x) donc ∃ θ ∈ τ_X tel que x ∈ θ ⊂ A , mais θ est un ouvert contenu dans Adonc il est contenu dans

◦

A et alors x∈A; r´^◦ eciproquement, six∈A, comme^◦

◦

A est un ouvert contenu dans A , alors A ∈v(x).

x /∈ A.⇔x /∈ ∩

F⊃AF ⇔ ∃ F◦ ⊃ A tel que x /∈F◦ ⇔ ∃F◦ ⊃A tel que x∈{^F◦ ⇔ ∃F◦ tel que {^F◦ ⊂{^A etx∈{^F◦, mais comme{^F◦ est ouvert, ceci ´equivaut `a∃ V ∈v(x) tel que V ∩A=∅ .

x∈F r(A)⇔x∈A∩{^A.⇔ ∀ V ∈v(x) , V ∩A6=∅ et V ∩{^A6=∅.

Espaces S´epar´es

Un espace topologique X est dit s´epar´e s’il v´erifie la propri´et´e suivante appel´ee axiome de Hausdorff:

∀(x, y)∈X×X , x6=y , ∃Vx ∈v(x) et ∃Vy ∈v(y) tels que Vx∩v(y) =∅

par exemple les espaces m´etriques sont s´epar´es. En effet, soientxetydeux points distincts d’un espace m´etrique (E, d) comme d(x, y) >0 alors les boulesB(x,^d(x,y)₂ ) et B(y,^d(x,y)₂ ) sont des voisinages distincts de x et y respectivement.

Tout sous espace d’un espace topologique s´epar´e et s´epar´e.

Un espace topologique est m´etrisable, si sa topologie est induite par une distance. Notons que tout espace topologique m´etrisable est s´epar´e. On remarque alors qu’il y a des topologies non m´etrisable, comme par exemple la topologie cofinie.

D´efinition 7:

Soient (X, τ_X) un espace topologique, et A⊂X.

♦ Un point x de X est un point d’accumulation de A si x∈A\{x}

♦Un point xdeAest un point isol´e dans As’il existe un voisinageV de xtel queV ∩A={x}.

On notera acc(A) l’ensemble des points d’accumulations de A, et Is(A) celui des points isol´es dansA

Suites dans un espace topologique

Soit (X, τ_X) un espace topologique, une suite d’´el´ements de X est une application de N dans X , n → x_n. elle est souvent not´ee (x_n)n∈N. On dit qu’une suite (y_k)k∈N d’´el´ements de X est extraite de (x_n)_n∈N s’il existe une application strictement croissante p:N→N telle que pour chaque entier k on ay_k =x_p(k). Lorsque X est un espace topologique, on peut introduire la notion de suite convergente.

D´efinition 8:

On dit que la suite (x_n)n∈N converge vers le point xde X si

∀ W ∈v(x) ,∃ n_W ∈N tel que ∀n ≥n_W on a x_n∈W

Un tel x est appel´e limite de la suite (x_n)_n∈N. On ´ecrit limx_n =x

Par exemple, lorsque X est muni de la topologie grissi`ere, toute suite est convergente vers n’importe quel point deX. Si par contreX est muni de la topologie discr`ete, une suite (x_n)n∈N

deX.est convergente vers un point a∈X, si et seulement si il existe un entierN tel quex_n=a pour tout n≥N.

Les deux exemples pr´ec´edents montrent que la convergence d’une suite d´epend de la topologie surX.

D´efinition 9:

On appelle valeur d’adh´erence de (x_n)n∈N , tout point adh´erent `a l’ensemble {x_n/n∈N}.

Exemple:

1 est une valeur d’adh´erence de la suite ((−1)ⁿ)n∈N.

Un point de la suite (xn)n∈N en est une valeur d’adh´erence.

On appelle point d’accumulation de (x_n)n∈N , toute valeur d’adh´erence de (x_n)n∈N , qui n’est pas un point de (x_n)n∈N.

Remarque:

Si limx_n=x alors x est une valeur d’adh´erence de (x_n)n∈N. D´efinition 10:

Soit ϕ : N→N une application strictement croissante. La suite d´efinie par (x_ϕ(n))n∈N est appel´ee sous-suite ou suite extraite de la suite (xn)n∈N.

on a l’inclusion {x_ϕ(n)/n∈N} ⊂{x_n/n ∈N}.

Proposition 11:

Soit F un ferm´e de (X, τ_X); soit (x_n)_n∈N une suite dans X qui converge vers x dans.X Alors x est un ´el´ement de F .

D´emonstration : {x_n/n∈N} ⊂F, donc x∈ {x_n/n∈N}⊂F =F.

Notons que la r´eciproque de ce r´esultat n’est pas vraie en g´en´erale; mais dans certaines situations elle est v´erifi´ee, comme par exemple lorsque l’espaceXposs`ede une base d´enombrable d’ouverts.

C’est le cas des espaces m´etriques.

Base de topologie - syst`eme fondamental de voisinages

Pour construire la topologie usuelle deR, on commence par d´efinir la familleBdes intervalles ouverts, et `a partir de B on a tous les ouverts de R. La mˆeme m´ethode marche pour d’autres situations.

D´efinition 12:

Soient (X, τ_X) un espace topologique et B ⊂ P(X). Nous dirons que B est une base de τ_X si, B ⊂τ_X et pour tout θ ∈τ_X il existe une famille (B_i)_i∈I dans B telle que θ = ∪

i∈IB_i. Exemples:

1) τ_X est une base de τ_X.

2) {{x}, x∈X} est une base de la topologie discr`ete sur X.

3) L’ensemble des intervalles ouverts de R est une base de la topologie euclidienne sur R. 4) Si (X, d), est un espace m´etrique, alors {B(x,_n+1¹ ) :x∈X , n∈N} est une base d’ouverts.

Il y a une caract´erisation plus simple d’une base de topologie, souvent utilis´ee comme d´efinition Proposition 13:

Soient (X, τ_X) un espace topologique. Une famille B de parties de X est une base de τ_X si et seulement si

∀ θ∈τ_X ,∀ x∈θ , ∃ ω_x ∈ B / x∈ω_x ⊂θ

D´emonstration: Supposons que B est une base de τ_X donc ∀ θ ∈ τ_X , θ = ∪

i∈I

B_i avec les B_i dans B, et ∀x∈θ , xappartient `a un B_i ⊂θ

inversement, soit B une famille de τ_X telle que ∀ θ ∈ τ_X , ∀ x∈θ , ∃ ω_x ∈ B / x∈ ω_x ⊂θ , et soit U un ouvert de X. Pour tout x ∈ U , il existe ω_x ∈ B tel que x ∈ ω_x ⊂ U, on a alors U = ∪

x∈Uω_x.

Nous avons l`a une m´ethode assez commode pour construire une topologie sur un ensemble E.

Soit E un ensemble quelconque.pour toute partie P

de P(E), il existe une unique topologie (la plus petite pour l’inclusion) contenantP

. C’est l’ensembleτΣ(E) des unions d^’intersections finies d’´el´ements de P

. C’est l’interection de toutes les topologies contenant P

. En effet:

Il est clair que toute topologie contenantP

contientτ_Σ(E) , il suffit donc de montrer queτ_Σ(E) est une topologie. Ceci d´ecoule de la distributivit´e

i∈I∪θ_i

∩

j∈J∪ω_j

= ∪

i∈I,j∈Jθ_i∩ω_j On dit que τ_Σ(E) est la topologie engendr´ee par P

, et que P

est une pr´ebase de τ_Σ(E) Remarque :

E = {0,1,2} et A = {0,1}, B = {1,2}. Consid´erons P

= {∅, A, B, E}; P

ne peut pas ˆetre une base pour une topologie sur E. En effet si elle ´etait une base de topologie, cette topologie pourrait bien ˆetre P

elle mˆeme. Ceci est impossible car A∩B /∈P Th´eor`eme 14:

Soit E un ensemble, et B une famille de parties deE.telleque

i) ∀ ϑ₁ , ϑ₂ ∈ B , et ∀ x∈ϑ₁ ∩ϑ₂ , ∃ϑ₃ ∈ B tel que x∈ϑ₃ ⊂ϑ₁∩ϑ₂ ii) E = ∪

ϑ∈Bϑ

alors l’ensemble τ_Σ(E) des unions d’´el´ements de B est la topologie engendr´ee par B. En particulier B est une base d’ouverts de sa topologie engendr´ee.

D´emonstration: Supposons queB est une base d’une certaine topologieτ_E surE alors ∀ ϑ₁ , ϑ2 ∈ B , ϑ1 ∩ϑ2 ∈τE , donc il existe une famille (ωi) dans B telle queϑ1∩ϑ2 = ∪

i∈I

ωi d’o`u (i) . CommeE ∈ τ_E on a E = ∪

ϑ∈Bϑ.

R´eciproque: Soit B une famille de parties de E v´erifiant (i) et (ii) et soit τ = {A ∈ P(E) /∃ (ω_i)_i∈I ⊂ B : A = ∪

i∈I

ω_i}.

τ d´efinit une topologie sur E; en effet

τ₁) (θ_i)⊂τ , pour tout i, ∃ (ω_jⁱ)_j∈J ⊂ B : θ_i = ∪

j∈J

ωⁱ_j et alors ∪

i∈I

θ_i = ∪

i∈I

∪

j∈J

ω_jⁱ ∈τ τ₂) Siθ₁ etθ₂ appartiennent `aτ, on auraθ₁ = ∪

j∈J

ω_j¹ et θ₂ = ∪

j∈J

ω²_j donc θ₁∩θ₂ =∪

i,j

ω_j¹∩ω²_j ∈τ τ3)∅ ∈τ etE ∈τ d’apr´es (ii).

Remarques:

1) Comme cons´equence imm´ediate, on peut dire qu’une familleB de parties deX. est une base de topologie surX si et seulement si:

X = ∪

ϑ∈Bϑ , et ∀ ϑ₁, ϑ₂ ∈ B on a ϑ₁ ∩ϑ₂ ∈ B

D´efinition 15: Soit (X, τ)un espace topologique, W ∈ P(X) , et x∈X . On dit que W est une base de voisinage de x ou bien un syst`eme fondamental de voisinages de x, si W ∈ v(x) et si ∀ V ∈v(x), ∃ $∈W tel que $⊂V.

Exemples :

- v(x) est un syst`eme de voisinages de x.

- l’ensemble de tous les ouverts contenants x est un syst`eme de voisinages de x.

- Tout sur ensemble d’un syst`eme de voisinages de x est un syst`eme de voisinages de x - DansR euclidien, W(x) = {]x− _n¹, x+ _n¹[ : n∈N^∗ } est un syst`eme de voisinages de x.

- DansXmuni de la topologie discrete,W(x) = {{x}}est un syst`eme fondamental de voisinages dex.

Soit X un ensemble; on peut d´efinir sur l’ensemble T(X) des topologies de X une relation d’ordre de la fa¸con suivante : Soit τ₁ et τ₂ deux topologies sur X , nous dirons que τ₁ est moins fine que τ₂ (τ₁ ⊂ τ₂) si tout ´el´ement de τ₁ appartient `a τ₂. C’est une relation d’ordre qui n’est pas totale (si par exemple card(X)≥ 2, et si a et b sont deux ´el´ements distincts de X alors τ₁ ={∅ , {a} , X}et τ₂ ={∅ , {b} , X} sont deux topologies sur X qui ne sont pas comparables.

Notons aussi qu’il n’est pas difficile de voir que si τ₁ et τ₂ sont deux topologies sur X , les assertions suivantes sont ´equivalentes

i )τ₁ ⊂ τ₂

ii) Tout ferm´e de (X, τ₁) est un ferm´e de (X, τ₂) iii) ∀ x∈X, v_τ1(x)⊂v_τ2(x)

iv) Pour tout A⊂X , (A)_τ1 ⊃(A)_τ2

Soient (X, τ) un espace topologique etf :X→Y une application. L’ensemble{f(U)/ U ∈ τ} ⊂ P(Y) n’est en g´en´eral pas une topologie surY. Dans certains cas c’en est une par exemple si f est une bijection de X sur Y alors f(τ) := {f(U) / U ∈ τ} est une topologie sur Y , en effet

τ₁)∅=f(∅)∈f(τ) et Y =f(X)∈f(τ) car f est surjective

τ2) soit (f(Ui))i∈I une famille dans f(τ) on a∪f(Ui) =f(∪Ui)∈f(τ) τ₃)f(U₁)∩f(U₂) = f(U₁∩U₂) ∈f(τ) l’´egalit´e est vraie car f est injective.

Si maintenant X est un ensemble quelconque, (Y, τ_Y) un espace topologique et f :X →Y une application, alors la familleτ⁰ ={f⁻¹(O) / O∈τY} d´efinit une topologie sur X.

D´efinition 16: Une application f : (X, τ_X) → (Y, τ_Y) est un hom´eomorphisme si f est bijective, et f(τX) =τY

Une propri´et´e dans un espace topologique est dite propri´et´e topologique si elle est conserv´ee par hom´eomorphisme. Par exemple l’interieur d’une partie : si f est un hom´eomorphisme, f(

◦

A) =

◦

f[(A), en effet, f(

◦

A) ⊂

◦

f[(A) car f(

◦

A) est un ouvert inclus dans f(A); par ailleurs, si on pose B =f(A), on a f⁻¹(

◦

B)⊂

◦

f\⁻¹(B) =

◦

A doncf⁻¹( f(

◦

A))⊂ ^◦A⇒

◦

f(A)[ ⊂f(

◦

A).

§

I.

Les applications continues

Propri´et´es g´en´erales

Soient (X, τX) et (Y, τY) deux espaces topologiques, f :X →Y une application, et x◦ ∈X . On dit que f est continue en x◦ si

∀ W ∈v(f(x◦)) , ∃ V ∈v(x◦) tel que f(V)⊂W ce qui est ´equivalent `a

∀ W ∈v(f(x◦)) on a f⁻¹(W)∈v(x◦)

Soit en effet W ∈ v(f(x◦)) , il va exister V ∈ v(x◦) tel que f(V) ⊂ W donc V ⊂ f⁻¹(f(V))⊂f⁻¹(W) donc f⁻¹(W)∈v(x◦).

R´eciproquement, Pour W ∈v(f(x◦)) , f⁻¹(W)∈v(x◦) et f(f⁻¹(W))⊂W

Proposition 1: Soient S(x_◦) un syst`eme de voisinages de x<sub>◦</sub>, et S(f(x<sub>◦</sub>)) un syst`eme de voisinages de f(x◦), alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:

1) f est continue en x◦

2) ∀ W ∈ S(f(x_◦)) , ∃ V ∈ S(x_◦) tel que f(V)⊂W 3) ∀ W ∈ S(f(x◦)) on a f⁻¹(W)∈v(x◦)

D´emonstration: 1) ⇒ 2) : ∀ W ∈ S(f(x◦)), ∃ U ∈ v(x◦) /f(U) ⊂W ; mais pour U ∈v(x◦) il va exister V ∈ S(x◦) tel que V ⊂U et on a, f(V)⊂f(U)⊂W.

2)⇒3)∀W ∈ S(f(x◦)) ,∃ V ∈ S(x◦) tel quef(V)⊂W , et on aV ⊂f⁻¹(f(V))⊂f⁻¹(W) donc f⁻¹(W)∈v(x◦).

3) ⇒1) Pour tout voisinage V⁰ de f(x◦) , il existe W ∈ S(f(x◦)) tel que W ⊂ V⁰ on a donc f⁻¹(W) ⊂ f⁻¹(V⁰) mais f⁻¹(W)∈ v(x◦) donc f⁻¹(V⁰) ∈ v(x◦) c’est `a dire f est continue en x_◦.

Soient (X, τ_X) , (Y, τ_Y) et (Z, τ_Z) trois espaces topologiques, etX →^f Y →^g Z; Soientx_◦ ∈X ,y◦ =f(x◦) etz◦ =g(y◦) . Sif est continue enx◦ etg est continue eny◦ alorsg◦f est continue enx◦. En effet:

∀ V”∈ v(z_◦) , g⁻¹(V”)∈ v(y_◦) et comme f est continue en x_◦ ,f⁻¹(g⁻¹(V”))∈ v(x_◦) ; i.e (g◦f )⁻¹ ∈v(x◦).

D´efinition 2: f : (X, τX) → (Y, τY) est dite continue sur X si elle est continue en tout point de X.

On notera que f est continue sur X si et seulementsi∀ ϑ ∈τY , f⁻¹(ϑ)∈τX. En effet,

⇒) Soit ϑ ∈ τ_Y alors ou bien f⁻¹(ϑ) = ∅ et alors il est dans τ_X , ou bien f⁻¹(ϑ) 6= ∅ ; dans ce cas, ∀ x∈ f⁻¹(ϑ) , ϑ ∈ v(f(x)) commef est continue en x alors f⁻¹(ϑ) ∈ v(x) donc f⁻¹(ϑ)∈τX.

⇐) Soit x∈X etW ∈v(f(x)) donc ∃ϑ ∈τ_Y tel que f(x)∈ϑ⊂W et alors x∈f⁻¹(ϑ)⊂ f⁻¹(W) or f⁻¹(ϑ)∈τ_X donc f⁻¹(W)∈v(x) et f est continue.

Exemples :

1) Toute application constante est continue

2) Si X est muni de la topologie discrete, toute application f : X → (Y, τ_Y) est continue;

∀ θ ∈τ_Y , f⁻¹(θ)∈ P(X) = τ_X.

3) Si cette fois Y est muni de la topologie grossi`ere, toute application f : (X, τ_X) → Y est continue car f⁻¹(∅) =∅ ∈τ_X , et f⁻¹(Y) =X ∈τ_X.

Proposition 3: Soient (X, τ_X) , (Y, τ_Y) deux espaces topologiques, etX →^f Y une application.

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

a) L’application f est continue

b) Pour toute partie A de X,f(A)⊂f(A)

c) Pour tout ferm´e F deY, f⁻¹(F) est un ferm´e de X.

D´emonstration: (a)⇒(b) car si f est continue enx∈A, etW ∈v(f(x)) alorsf⁻¹(W)∈v(x) donc f⁻¹(W)∩A 6= ∅ et alors ∅ = f(f⁻¹(W)∩A) ⊂ f(f⁻¹(W))∩f(A) ⊂ W∩ f(A) d’o`u f(x)∈f(A).

(b) ⇒ (c) Soit x ∈ f⁻¹(F), on a f(x) ∈ f(f⁻¹(F)) ⊂ f(f⁻¹(F)) = F = F , donc x∈f⁻¹(F).

(c) ⇒(a) Pour tout ouvertU deY, {^f−1(U)=f⁻¹({^U) qui est un ferm´e de X. Doncf⁻¹(U) est un ouvert

Il faudrait faire attention que l’image directe d’un ouvert ”resp. un ferm´e” par une appli- cation mˆeme continue n’est pas n´ecessairement un ouvert ”resp. un ferm´e”. Dans le cas o`u c’est vrai on dit que c’est une application ouverte ”resp. ferm´ee”; les propri´et´es f continue, f ouverte, f ferm´ee, sont des propri´et´es ind´ependantes

Exemples :

1-X =Y =Retf(x) = _1+x¹ 2 est continue surRmais elle n’est ni ouverte ni ferm´eef(R) =]0,1]

2- La fonction caract´eristiqueχ]0,+∞[ est ferm´ee non ouverte et non continue. Pour tout ferm´e F deR, χ]0,+∞[(F) ={0,1}, ou {0} ou{1} ou bien∅ et c’est toujours un ferm´e.

3- Si f est une bijection continue, alors f⁻¹ continue ⇔f ouverte⇔ f ferm´ee.

Remarque 4 :

Une application continue f : (X, τX) → (Y, τY) reste continue si on remplace τX par une topologie plus fine ou / et τ_Y par une topologie moins fine.

§

I.

Construction de topologies

Topologie initiale

Soient X un ensemble, (Y, τ_Y) un espace topologique, et f : X → Y une application. On se propose de chercher les topologies surX qui font def une application continue.On sait d´ej`a qu’il en existe aumoins une : c’est la topologie discr`ete sur X.

Maintenant, si τ est une solution du probl`eme, alors f⁻¹(τ_Y) ⊂ τ ; et comme f⁻¹(τ_Y) est une topologie sur X, c’est alors la moins fine des solutions.

D´efinition 1 : Soit f : X → (Y, τ_Y) une application. On appelle topologie initiale sur X pour f, la moins fine des topologies sur X rendant f continues. On la notera souvent τ_f. (τf :=f⁻¹(τY))

De fa¸con encore plus g´en´erale, soient X un ensemble, et ((Y_i, τ_{Y i}))_i∈I une famille d’espaces topologiques. On suppose que pour tout i∈I on a une application f_i :X →Y_i

On appelle topologie initiale sur X pour les f_i la moins fine des topologies sur X rendant toutes les applications f_i continues.

Si τ est une solution du probl`eme, alors pour tout i ∈ I, nous avons f_i⁻¹(τ_i) ⊂τ et donc

i∈I∪f_i⁻¹(τ_i)⊂τ. Posons alors T := ∪

i∈If_i⁻¹(τ_i) . T est la topologie cherch´ee. Une base de T est B ={ A⊂X / ∃ J fini inclus dans I et (θ_i)_i∈J avec θ_i ∈τ_i :A = ∩

i∈Jf_i⁻¹(θ_i)}

Application :

1) Topologie induite

Soit (X, τX) un espace topologique, et A ⊂ X. Consid`erons l’application iA : A ,→ X , a7→a appel´ee injection canonique.

La topologie initiale pour l’application i_A sur A est appel´ee la topologie induite sur A par celle de X.

τ_iA =τ_A={ i⁻¹_A (θ) : θ∈τ_X}={θ∩A : θ∈τ_X}

les ouverts de la topologie induite sur A sont les traces des ouverts de X surA.

2) Topologie produit

Soit ((X_i, τ_i))_i∈I une famille d’espaces topologiques. Posons X := Π

i∈IX_i et pr_i◦ :X → X_i◦ la projection sur le facteur i◦ ((x_i)i∈I 7→x_i◦)

La topologie initiale pour les applications (pr_i)i∈I sur X est appel´ee la topologie produit sur X. de la famille des espaces topologiques ((X_i, τ_i))_i∈I.

C’est la topologie τ d´efinie par : ∪

i∈I pr_i⁻¹(τ_i) . Une base de cette topologie est B d´efinie comme l’ensemble des intersections finies d’´el´ements de ∪

i∈I pr_i⁻¹(τ_i). Autrement dit ϑ ∈ B ⇔ ∃ J (fini)⊂I et ∃ (θ_i)i∈J avec θ_i ⊂τ_i tels que ϑ= ∩

i∈Jpr_i⁻¹(θ_i) Un ´el´ementϑdeBpeut donc s’´ecrire sous la forme ϑ= Π

i∈IU_i avecU_i =θ_i sii∈J et U_i =X_i si i /∈J Les ´el´ements de B sont appel´es ouverts ´el´ementaires.

Th´eor`eme 2 : Soient ((X_i, τ_i))_i∈I une famille d’espaces topologiques et pour chaque i une application f_i : X → (X_i, τ_i). On suppose que l’ensemble X est muni de la topologie initiale pour les f_i Soient (Z,) un espace topologique, et g : Z → X une application. Alors g est continue en z ∈Z si et seulement si pour tout i∈I, f_i◦g est continue en z.

D´emonstration : Les f_i ´etant toutes continues, la coninuit´e de g entraine ´evidement celle des f_i◦g.

R´eciproquement, soit x = g(z) , et V ∈ v(x) , le probl`eme est de prouver que g⁻¹(V) ∈ v(z) . Comme V ∈ v(x) , il va exister un ω ∈ B tel que x ∈ ω ⊂ V de plus, on sait que ω est de la forme ω = ∩

i∈Jf_i⁻¹(θ_i) avec J fini et θ_i ∈ τ_i pour tout i ∈ J. Nous avons, g⁻¹(ω) =

i∈J∩g⁻¹(f_i⁻¹(θ_i)) = ∩

i∈J(f_i ◦g)⁻¹(θ_i) ∈ τ_Z car θ_i ∈ τ_i et f_i ◦g continues et J fini. Mais alors x=g(z)∈ω donc z ∈g⁻¹(ω). Ainsi

z ∈g⁻¹(ω)⊂g⁻¹(V) et g⁻¹(ω)∈τZ donc g⁻¹(V)∈v(z)

Corollaire 3 : L’application g est continue sur Z si et seulement si pour tout i, f_i ◦g est continue sur Z.

Remarque : Il n’est pas difficile de voir que la toplogie initiale pour le (f_i) est l’unique toplogie surX qui a la propri´et´e du corollaire 3 ci-dessus.

Topologie finale

Soient (X, τ_X) un espace topologique, etf :X→Y une application de X dans un ensemble Y. On se propose de chercher les topologies sur Y qui font de f une application continue.On sait d´ej`a qu’il en existe aumoins une : c’est la topologie grossi`ere surY.

Maintenant, si τ est une solution du probl`eme, alors f⁻¹(τ)⊂τ_X ; ce qui veut dire que

∀ θ∈τ , f⁻¹(θ)∈τ_X

donc τ ⊂ {B ⊂ Y / f⁻¹(B) ∈ τ_X} =: τ^f , mais comme τ_X est une topologie sur X, on v´erifie sans peine que τ^f est une toplogie sur Y ; en effet

τ₁) f⁻¹(∅) = ∅ ∈τ_X donc ∅ ∈τ^f et f⁻¹(Y) = X ∈τ_X donc Y ∈τ^f

τ₂) f⁻¹(A∩B) = f⁻¹(A)∩f⁻¹(B) siAetB ∈τ^f on auraf⁻¹(A∩B)∈τ_X doncA∩B ∈τ^f. τ₃) f⁻¹(∪

iU_i) = ∪

i f⁻¹(U_i) si U_i ∈ τ^f pour tout i ∈ I on aura f⁻¹(U_i) ∈ τ_X donc

∪i f⁻¹(U_i)∈τ^f.

ainsi τ^f est la plus fine des topologies sur Y qui font de f une application continue. τ^f est appel´ee toplogie finale pour f.

On peut poser le probl`eme de fa¸con plus g´en´erale de la man`ere suivante:

Soient (X_i, τ_i)i∈I une famille d’espaces topologiques, et pour tout i ∈ I , f_i : X_i → Y des applications de Xi dans un ensembleY. Parmi les toplogies sur Y qui rendent les applications f_i continues il en existe une plus fine appel´ee toplogie finale pour les f_i.

si τ est une solution du probl`eme, alors pour touti∈I ,

f_i continue sur X_i ⇔τ ⊂τ_i^f :={B ⊂Y / f_i⁻¹(B)∈τ_Xi} donc τ^f = ∩

i∈Iτ_i^f qui est bien une topologie sur Y;

Th´eor`eme 4: La topologie finale pour lesf_i ,τ^f est l’unique topologie surY ayant la propri´et´e universelle suivante : pour tout espace topologique (Z, τ_Z) , une application g : Y → Z est continue si et seulement si chaque application g◦fi , i∈I est continue.

D´emonstration : Les f_i ´etant toutes continues, la coninuit´e de g entraine ´evidement celle des g◦f_i.

R´eciproquement, si toutes les applications g ◦fi sont continues, et si W est un ouvert de Z, (g◦f_i)⁻¹ est un ouvert de X_i pour tout i; c’est `a dire que f_i⁻¹(g⁻¹(W)) est un ouvert deX_i et donc g⁻¹(W) est un ouvert deY g est donc continue. L’unicit´e est imm´ediate.

Exemple : Si les f_i : X_i → Y sont les constantes, la topologie finale sur Y pour les f_i est la topologie discr`ete.

Cas particulier : Topologie quotient

Soient (X, τ_X) un espace topologique, R une relation d’´equivalence sur l’ensemble X , et π : X → X/R la surjection canonique de X dans l’ensemble quotient X/R ( x 7→cl(x) ). La topologie finale sur X/R pour π est applel´ee la topologie quotient. muni de cette topologie, X/R est appel´e espace quotient.