Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez D´epartement de Math´ematiques et Informatique Chapitre 2 Construction d’espaces topologiques

Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Chapitre 2

Construction d’espaces topologiques

Abdelaziz Kheldouni

0.0.1 § I.1.Sous espaces topologiques

Quelques propri´et´es

Soit (X, τ_X) un espace topologique, et A ⊂ X. Consid`erons l’application i_A : A ,→ X , a7→a appel´ee injection canonique.

La topologie initiale pour l’application iA sur A est appel´ee la topologie induite sur A par celle de X.

τi_A =τA={ i⁻¹_A (θ) : θ∈τX}={θ∩A : θ∈τX}

(A, τ_A) est appel´e sous-espace toplogique de X. Les ouverts de la topologie induite sur A sont les traces des ouverts de X surA.

Remarque :

1)θ ∈τ_X ,θ ⊂A⇒θ ∈τ_A ( car θ =θ∩A )

2) Si θ ∈τA on n’a pas n´ecessairement θ ∈τX ( sauf si A⊂ τX ). En fait si pour tout ω ∈τA

on a ω ∈τ_X alors A est un ouvert de (X, τ_X).

Proposition 1:

Soit (X, τ_X) un espace topologique, B ⊂A⊂X , alors τ_B = (τ_A)_B.

D´emonstration : Notons respectivement i₁ i₂ eti₃ les injections canoniques deA ,→X, B ,→ Aet B ,→X. La topologieτ_A est initiale pouri₁, commei₃ est continue, on d´eduit quei₂ est continue aussi d’o`u (τ_A)_B ⊂τ_B.

inversement, soit θ ∈ τ_B ∃ ω ∈ τ_X tel que θ = ω ∩ B = ω ∩ B ∩A et donc θ = ω∩(B∩A) = (ω∩A)∩B , mais commeω∩A∈τAon d´eduit que θ∈(τA)B i.e τB ⊂(τA)_B Proposition 2:

Si F est la famille des ferm´es de X celle du sous espace topologique A est

F_A ={F ⊂A / ∃ Φ∈ F ; F = Φ∩A}

de plus F_A⊂ F ⇔ A ∈ F.

D´emonstration : C’est imm´ediat Proposition 3:

1) Soient B ⊂A ⊂(X, τ_X). Si on d´esigne par B et B^A, l’adh´erence de B respectivement dans X et dans A, on a:

B^A=B∩A D´emonstration : B^A= ∩

B⊂F∈FA

F = ∩

B⊂F∈F(F ∩A) =A ∩

B⊂F∈FF =A∩B.

Remarque : Cette propri´et´e n’est plus vraie poue l’int´erieur et la fronti`ere. Par exemple, X =R , A=B =Q , on a

◦

Q

Q

=Q , alors que

◦

Q=∅ d’une part et d’autre part, si on prend A = B =]0,1] , nous avons F r(A) = {0,1} , et F r(A)^A =∅ ( car c’est un ouvert ferm´e dans (A, τ_A) ).

Proposition 4:

Soient x∈A ⊂(X, τ_X) , et v_A(x) l’ensemble des voisinages de x dans (A, τ_A) ; 1) v_A(x) = {V ∩A : V ∈v(x)}

2) vA(x)⊂v(x)⇔A∈v(x)

D´emonstration : 1) SiV ∈v(x) , il va existerθ ∈τ_X tel quex∈θ ⊂V . Doncx∈θ∩A⊂V∩A

; comme θ∩A∈τ_A, on conclue que V ∩A∈v_A(x).

Si maintenant V⁰ ∈ vA(x), ∃ θ⁰ ∈ τA tel que x ∈ θ⁰ ⊂ V⁰ ; or θ⁰ = θ∩A avec θ ∈ τX , x∈θ⁰ ⇒x∈θ et x∈A , θ ∈v(x) ; ainsi V :=V⁰∪θ est un voisinage dex qui v´erifie en plus V ∩A= (V⁰∪θ)∩A = (θ∩A)∪(V⁰ ∩A) =θ⁰∪(V⁰∩A) = V⁰

2)⇒) est triviale. ⇐) : Soit V⁰ ∈vA(x)∃ V ∈v(x) /V⁰ =V ∩A, or V ∈v(x) etA∈v(x) , donc V⁰ =V ∩A∈v(x).

Applications continues sur un sous-espace topologique

Soient (X, τ_X) , (X⁰, τ_X⁰) deux espaces topologiques, etf :X →X⁰ une application. On a f(X)⊂X⁰ et on suppose que X⁰ 6=f(X)

♦ Soit (A⁰, τ_A⁰) un sous-espace topologique de X⁰ telque f(x)⊂A⁰ . L’application f peut- ˆ

etre consid´er´ee comme une application g : X → (A⁰, τ_A⁰) et en vertue du th´eor`eme 2 , § I.4, f est continue en x◦ si et seulement si g est continue en x◦.

♦ Soit (A, τ_A) un sous-espace topologique de X, et f |_A:A→X⁰ la restricion de f `aA ; si f est continue en x◦ ∈A alors f |_Aest continue en x◦. Ici la r´eciproque est fausse; pour le voir il suffit de consid´erer X = X⁰ = R et la fonction f = χ_Q ; n´eanmoins nous avons le r´esultat suivant:

Proposition 5: Soit a ∈ A ,∫ i A est un voisinage de a , et f |_A continue en a, alors f est continue en a.

D´emonstration : SoitV⁰ ∈v(b) , o`ub=f(a) ; puisquef |_Aest continue enaon a (f |_A)⁻¹(V⁰)∈ v_A(a)⊂v(a) ; de plus (f |_A)⁻¹(V⁰) = (f◦i_A)⁻¹(V⁰) =i_A⁻¹◦f⁻¹(V⁰) =A∩f⁻¹(V⁰)⊂f⁻¹(V⁰).

Donc f⁻¹(V⁰) ∈v(a) ; f est alors continue.

Proposition 6: Soient (X, τ_X) , (X⁰, τ_X⁰) deux espaces topologiques, (A_i)i∈I un recouvrement quelconque de X , et f :X →X⁰ une application telle que pour tout i ∈I, f |_Ai:A_i → X⁰ si A est continue. Alors f est continue sur X dans les deux cas suivants:

1) Tous les A_i sont des ouverts de X

2) Tous les A_i sont des ferm´es de X et I un ensemble fini.

D´emonstration : 1) X = ∪

i∈IA_i .Soit θ⁰ ∈ τ_X⁰ ; f⁻¹(θ⁰) = ∪

i∈I(f⁻¹(θ⁰)∩A_i) = ∪

i∈If⁻¹ |_Ai (θ⁰) ; comme f⁻¹ |_Aiest continue pour tout i, on d´eduit que f⁻¹ |_Ai (θ⁰) ∈ τ_Ai ⊂ τ_X car A_i ∈ τ_X ainsi f⁻¹(θ⁰)∈τ_X ; f est alors continue.

2)X = ∪

i∈IA_i avrc les A_i ∈ F soit F⁰ ∈ F⁰, f⁻¹(F⁰) = ∪

i∈I(f⁻¹(F⁰)∩A_i) = ∪

i∈If⁻¹ |_Ai (F⁰) or pour tou i, f⁻¹ |_Ai (F⁰) ∈ FAi∈ F et comme I est fini,f⁻¹(F⁰)∈ F.

0.0.2 § II.2.Espace topologique produit

Quelques propri´et´es

Soit ((X_i, τ_i))_i∈I une famille d’espaces topologiques. Posons X := Π

i∈IX_i et pr_i◦ :X → X_i◦ la projection sur le facteur i◦ ((x_i)i∈I 7→x_i◦)

Rappelons que la topologie produit surXde la famille des espaces topologiques ((X_i, τ_i))_i∈I.est la topologie initiale pour les applications (pr_i)_i∈I

C’est la topologie τ engendr´ee par : ∪

i∈I pr⁻¹_i (τ_i) . Une base de cette topologie estB d´efinie par

ϑ ∈ B ⇔ ∃ J (fini)⊂I et ∃ (θ_i)i∈J avec θ_i ⊂τ_i tels que ϑ= ∩

i∈Jpr_i⁻¹(θ_i) ϑ ∈ B ⇔ϑ = Π

i∈Ipr⁻¹_i (θ_i) avec I fini et θ_i ⊂ τ_i autrement dit, ϑ= Π

i∈IU_i avec U_i =θ_i si i∈J et U_i =X_i si i /∈J

Proposition 1 : Soit (X, τ) := Π

i∈I(X_i, τ_i) et pour tout i ∈ I une base B_i de τ_i ; l’ensemble B⁰ des ouverts ´el´ementaires ω⁰ = Π

i∈Iθ⁰_i o`u les θ_i⁰ ∈ B_i pour tout i∈ {i∈I / θ_i⁰ 6=X_i} est une base de τ.

D´emonstration : Soit ϑ 6=∅ ∈τ et x= (x_i)∈ϑ ; B´etant une base deτ il va existerω = Π

i∈Iiθ_i dans B tel que x∈ω ⊂ϑ

Soit J ={i∈I / θ_i 6=X_i}. Pour tout i∈J , x_i ∈θ_i ∈ τ_i et comme B_i est une base de τi , il existeθ_i⁰ ∈ Bi tel que xi ∈θ_i⁰ ⊂θi. Soit ω⁰ = Π

i∈Iθ_i⁰ avecθ_i⁰ =Xi sii /∈J on a alors x∈ω⁰ ⊂ω ⊂ϑ

B est donc bien une base de τ Exemple :

SiI ={1,2,3, ..., n}et pour touti,Xi =R, une baseB deRest l’ensemble des intervalles ouverts, donc une base de Rⁿ est l’ensemble des pav´es ouverts. La topologie produit est alors la topologie euclidienne

Les ouverts quelconques de X := Π

i∈IXi sont les r´eunions de familles quelconques d’ouverts

´

el´ementaires. Notons qu’un produit d’ouvert n’est pas toujours un ouvert; par exemple:

Soit I un ensemble infini et pour tout i ∈ I , θ_i 6= ∅ , et diff´erent de X_i , alors Π

i∈Iθ_i n’est pas un ouvert car sinon il contiendrait un ouvert ´el´ementaire Π

i∈Iθ_i⁰ est alors pour une infinit´e d’indices i on aurait X_i = θ⁰_i ⊂ θ_i ⇒ θ_i = X_i . Par contre si I est un ensemble fini tout produit d’ouverts, mˆeme ´el´ementaires est ouvert; mais tout ouvert n’est pas forc´ement un produit d’ouverts (par exemple le disque D² deR².

Proposition 2 : Soit (X, τ) := Π

i∈I(Xi, τi) .Pour tout i∈I , la i^eme projection pri :X →Xi

est une application ouverte

D´emonstration : Soit ω un ouvert ´el´ementaire non vide, ω = Π

i∈Iθ_i avec {i∈ I / θ_i 6=X_i} fini. Nous avons pri(ω) =θi ⊂τi.

De fa¸con plus g´en´erale, pour toute partie finie J de I , pr_J est une application ouverte de X danx Π

j∈JX_j.

Notons que pr_i n’est pas toujours ferm´ee. Pour le voir on pourra prendre

X = R² et A = {(x, y) ∈ R² / xy = 1} . A est un ferm´e de R² mais pr₁(A) =] −

∞,0[∪]0,+∞[ n’est pas un ferm´e.

Voisinages adh´erence, int´erieur :

Soit x= (x_i)i∈I ∈ X , V ∈ v(x)⇔ ∃ Ω∈ τ /x ∈Ω⊂ V ⇔ ∃ ω un ouvert ´el´ementaire tel que x∈ω⊂Ω⊂V

Donc l’ensemble des ouverts ´el´ementaires contenant x forme un syst`eme fondamental de voisinagzes dex.

D´efinition 3 : On appelle voisinage ´el´ementaire de x tout ensemble de la forme Π

i∈IV_i avec {i∈I / V_i 6=X_i} fini

SiV est un voisinage queconque dex, il contiendra un ouvert contenantxdonc il contiendra aussi un ouvert ´el´ementaire contenant x; c’est `a dire un voisinage ´el´ementaire de x. Ainsi l’ensemble des voisinages ´el´ementaires dex est un syst`eme fondamental de voisinages de x.

Proposition 4 : 1) Π

i∈IA_i = Π

i∈IA_i 2)

◦

[Π

i∈IA_i ⊂ Π

i∈I

◦

A_i

3) Π

i∈IF r(A_i)⊂F r( Π

i∈IA_i) D´emonstration :

1) Soit x∈ Π

i∈IA_i , ∀ i ∈I , pr_i est continue, donc pour tout i , x_i =pr_i(x)∈ pr_i( Π

i∈IA_i) = pr_i( Π

i∈IA_i) = A_i d’o`u x∈ Π

i∈IA_i . Inversement, soient x= (xi)∈ Π

i∈IAi , etω un ouvert ´el´ementaire contenant x. Nous avons ω = Π

i∈Iθ_i avecJ ={i∈I / θ_i 6=A_i} fini et ω∩ Π

i∈IA_i = Π

i∈Iθ_i∩A_i 6=∅ , car Si i /∈J ,θ_i =A_i et θ_i∩A_i =A_i 6=∅

Si i∈J ,θ_i∩A_i 6=∅ car x_i ∈A_i ainsi on d´eduit quex∈ Π

i∈IA_i.

2) Pour tout i ,pr_iest une application ouverte donc pr_i (

◦

[Π

i∈IA_i ) est un ouvert contenu dans A_i, donc pr_i(

◦

[Π

i∈IA_i)⊂

◦

A_i ce qui donne

◦

[Π

i∈IA_i ⊂ Π

i∈I

◦

A_i. 3) Πi∈IF r(A_i) = Π

i∈I

A_i∩{^Ai

=⊂ Π

i∈IA_i∩Π

i∈I{^Ai = Π

i∈IA_i∩Π

i∈I{^Ai ⊂ Π

i∈IA_i∩{^i∈IΠAi =F r( Π

i∈IA_i) Remarques :

1) En g´en´eral l’int´erieur d’un produit est diff´erent du produit des int´erieurs; mais si I est fini, nous avons l’´egalit´e.

2) Dans le cas de la fronti`ere, mˆeme si I est fini on n’a pas forc´em´ent l’´egalit´e. Prendre par exemple

A = R² , A1 = A2 =]0,1[ ; on a, F r(A1)×F r(A2) = {0,1} × {0,1} et F r(A1 ×A2) = {0} ×[0,1]∪ {1} ×[0,1]∪[0,1]× {0} ∪[0,1]× {1}.

Proposition 5 : Soit (X, τ) := Π

i∈I(X_i, τ_i) muni de la topologie produit. Soit a = (a_i) ∈ X.

l’ensemble A={x= (x_i)∈X / x_i =a_i pour presque tout i} est partout dense dans X.

D´emonstration : Il suffit de montrer que toutr ouvert ´el´ementaire non videω = Π

i∈Iθ_i rencontre A.

Soit J ={i ∈I / θ_i 6= X_i} ; J est fini. Consid´erons x = (x_i) telque x_i =a_i pour i /∈J et x_i ∈θ_i sinon. Nous avons alorsx∈ω∩A.

Cette proposition nous assure que l’ensemble des points obtenus en modifiant un nombre fini de coordonn´ees d’un point donn´e a est partout dense dans X. Par exemple l’ensemble des suites x= (x_n) de nombres r´eels nulles `a partir d’un certain rang (qui peut d´ependre de x) est partout dense dansR^N.

Application sur des espaces produits

Soit (X, τ) un espace topologique, et Y = Π

i∈IY_i l’espace topologique produit des espaces (Y_i, τ_i). On consid`ere une application f :X → Π

i∈IY_i

Proposition 6 : L’application f est continue en x◦ si et seulement si pour tout i ∈ I , fi :=pri◦f est continue

D´emonstration : C’est imm´ediat du fait que Y est muni de la topologie initiale pour les pr_i Soit a = (a_i)∈X = Π

i∈IX_i . Pour tout j ∈I , la section s_j,a de X en a est l’application s_j,a: X_j → X

x_j 7→ (x_i) avec x_i = a_i si i 6= j On a : s_j,a(X_j) = A = Π

i∈IA_i , avec A_j = X_j et A_i = {a_i} pouri6=j .

Il n’est pas difficile de voir que s_j,a est un hom´eomorphisme de X_j sur s_j,a(X_j).

Soient maintenant X = Π

i∈IX_i un espace topologique produit et f une application de X dans un espace topologique (Y, τ_Y). Soit a= (a_i)∈X ; pour tout j ∈I , l’application

fj,a : Xj → Y t 7→ f◦s_j,a(t) est appel´ee la j`eme application partielle def au point a.

Proposition 7 : Si l’application f est continue en a alors pour tout i ∈ I , f_j,a est continue en a_j

Attention : la r´eciproque est fausse; il y a des applications dont toutes les applications partielles sont continues sans pour autant ˆetre continues, comme par exemple la fonction d´efinie par

g : R² → R

(x₁, x₂) 7→

x1x2

x²₁+x²₂ si (x1, x2)6= (0,0) 0 si (x₁, x₂) = (0,0)

ses deux fonctions partielles sont continues en 0, mais g n’est pas continue en (0,0).

0.0.3 § I.3.Espace topologique quotient

Quelques propri´et´es

Soit (X, τ_X) un espace topologique, et R une relation d’´equivalence sur X. Soit π : X → X/R la surjection canonique. On rappelle que la topologie quotient sur X/R est la topologie finale pour π, θ est un ouvert de X/R si et seulement si π⁻¹(θ)∈τ_X

Si f : (X, τ_X)→(Y, τ_Y) est une application compatible avec R ( i.e.xRy⇒ f(x) =f(y) ), alors f se factorise de mani`ere unique enf =g◦π ; de plus f est continue si et seulement si g est continue.

Proposition 1 : Soit b∈X/R ,si V est un voisinage de b alors π⁻¹(V)∈v(π⁻¹(b)).

D´emonstration : V ∈v(b)X/R⇔ ∃ θ∈τX/R tel que b∈θ ⊂V . En appliquant π⁻¹ on obtient

π⁻¹ (b)∈π⁻¹(θ)⊂π⁻¹(V) et comme π⁻¹(θ)∈τ_X , on d´eduit que π⁻¹(V)∈v(π⁻¹(b)).

Remarque 2 : Il faudrait faire attention `a la r´eciproque elle n’est pas vraie : le fait que pour V ⊂X/R on a π⁻¹(V)∈v(π⁻¹(b)) ne suffit pas pour affirmer que V est un voisinage de b. Si la surjection canonique π est ouverte la r´eciproque est vraie on a dans ce cas, V ∈v(b)X/R ⇔ π⁻¹(V) ∈ v(π⁻¹(b)) . En effet, soit V ⊂ X/R tel que π⁻¹(V) ∈ v(π⁻¹(b)) , et

◦

π\⁻¹(V) 6= ∅.

Puisque π est ouverte on a π(

◦

π\⁻¹(V))⊂

◦

z }| {

π(π⁻¹(V)) , mais comme π est surjective

◦

z }| { π(π⁻¹(V))

=

◦

V . D’o`u

◦

π\⁻¹(V))⊂

◦

V ⊂ V ainsi π(

◦

π\⁻¹(V)) est un ouvert contenant b et contenu dansV ; ce qui signifie que V ∈v(b)_X/R