(1)UNIVERSITE CADI AYYAD Faculté PolyDisciplinaire de Safi TD de calcul de Probabilités Variables aléatoires Département Mathématiques-Info

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UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD de calcul de Probabilit´es Variables al´eatoires

D´epartement Math´ematiques-Info.

Fili`ere SMA(S6) (A.U : 19-20)

Exercice 1. Soit (un)_n∈N une suite r´eelle born´ee. Pour toutn∈N, on pose A_n={um, m≥n}.

1. Pour toutn∈N, on poseV_n= inf(A_n) etW_n= sup(A_n). Montrer que la suite (V_n)_n∈_Nest croissante et la suite (W_n)_n∈_Nest d´ecroissante. En d´eduire qu’elles sont convergentes.

2. On note : lim

n→+∞V_n= lim inf

n→+∞u_n = sup

n≥0

m≥ninf u_met lim

n→+∞W_n= lim sup

n→+∞

u_n= inf

n≥0sup

m≥n

u_m. Calculer lim inf

n→+∞u_n et lim sup

n→+∞

u_n pour les suites (u_n)_n = ((−1)ⁿ)_n∈_N et (u_n)_n = (_n¹)_n∈_N^∗.

Exercice 2. Soientxun nombre r´eel et (u_n)_n la suite d´efinie par : ∀n∈N, u_n= h

10ⁿxi 10ⁿ , o`u [x]

représente la partie entière d’un réel x.

1. Montrer que la suite (un)n converge versx.

On posea0=u0= [x] et∀n∈N, an+1= 10ⁿ⁺¹(un+1−un).

2. Montrer que pour tout entiern∈Non a : 0≤an+1≤9 etun=

n

X

k=0

ak

10^k. 3. On pose pour tout entiern∈N,v_n=u_n+ 1

10ⁿ. Montrer que les deux suites (u_n)_n et (v_n)_n sont adjacentes qui convergent vers xavecun≤x≤vn pour toutn∈N.

unest appelée l’approximation décimale par défaut à10ⁿprès dexetvnl’approximation décimale par excès à 10ⁿ près.

Exercice 3. Soient (Ω,F) et (E,E) deux espaces probabilisables,Cune classe de parties deE et X une application de (Ω,F) `a valeurs dans (E,E).

1. Montrer que : σ(X⁻¹(C)) =X⁻¹(σ(C)).

2. On suppose que : σ(C) =E. Montrer que X est une variables al´eatoire si et seulement si X⁻¹(C)⊂ F.

3. On suppose que : (E,E) = (R,B_R). Déduire queX est une variable aléatoire réelle ssi pour tout t∈R,{X ≥t} ∈ F.

4. On suppose que E un espace topologique et E la tribu engendr´ee par la classe des ouverts deE. Montrer que toute fonction continuef : (E,E)→(R,B_R) est mesurable.

Exercice 4. Soient (Xn)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement dis- tribuées et F la fonction de répartition deX1. Pour toutk∈N^∗, on noteZk la variable aléatoire définie par

Zk= max(Xi: 1≤i≤k) = max(X1, X2, ..., Xk).

1. Pour k∈N, exprimer la fonction de r´epartitionHk deZk en fonction deF et k.

2. SoitN une variable aléatoire à valeurs dansN^∗ indépendante des (Xn)_n≥1. On considère la variable aléatoireZ définie parZ = max(Xi : 1≤i≤N)

(a) Justifier l’´egalit´e, pourx∈R,

{Z≤x}= [

k≥1

{Zk ≤x}\

{N =k}

.

(b) En déduire que la fonction de répartitionH deZ est donnée par

∀x∈R, H(x) =X

k≥1

(F(x))^k P(N =k).

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(c) DéterminerHdans le cas oùX1suit la loi uniforme sur [0,1] etNsuit la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[,i.e. P(N=k) =p(1−p)^k−1.

Exercice 5. 1. Soient X une variable aléatoire positive et a > 0. Démontrer l’inégalité de Markov

P(X ≥a)≤EX a .

2. Soient (X_n)_n≥1, une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi exponentielleE(1) de paramètre 1, etr >0. On poseSn =

n

X

k=1

Xk

(a) Montrer, en utilisant l’in´egalit´e de Markov, que pour tout 0< λ <1, P

hSn

n ≥1 +ri

≤P h

e^λSⁿ ≥e^nλ(1+r)i

≤

Ee^λX¹ e^λ(1+r)

n

.

(b) En d´eduire queP hSn

n ≥1 +ri

≤(1 +r)ⁿe^−nr.

Exercice 6. 1. Soit X une variables al´eatoire de loi exponentielle E(λ) de param`etre λ >0.

Déterminer la loiPZ de la variable aléatoireZ = [X] + 1 où [x] désigne la partie entière de x. Identifier la loi trouvée avec une loi usuelle.

2. SoitU une variable aléatoire de loi uniformeU([−1,1]). Déterminer la loi PV de la variable aléatoireV = arcsin(U).

3. Soit X une variables aléatoire de loi normale N(0,1). Déterminer la loi PR de la variable aléatoireR=|X|.

4. SoitX, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi normaleN(0,1).

(a) Déterminer la loiPZ de la variable aléatoitreZ= ^X_Y. Identifier la loi trouvée avec une loi usuelle.

(b) D´eterminer la loiPH de la variable al´eatoitreH =_Z¹.

Exercice 7. SoientU une variable aléatoire de loi uniforme sur [−1,1] etX la variable aléatoire définie parX =1 +U

1−U.

1. Déterminer la densité de la variable aléatoireX.

2. Calculer la fonction de r´epartition deX.

3. Déterminer la loi de la variable aléatoireZ= [X] où [x] désigne la partie entière dex.

Exercice 8. SoitX une variable aléatoire à valeurs dansRde loi de densité x7→f(x) = 1

π(1 +x²). Montrer _X¹ est de mˆeme loi queX.

Exercice 9. Soit X₁, ..., X_n des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle E(λ) de paramètreλ >0.

1. Calculer la loi de la variable al´eatoireY = max

1≤i≤nXi. 2. Calculer la loi de la variable al´eatoireZ= min

1≤i≤nXi. 2

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Exercice 10. 1. SoitXune variable aléatoire qui suit une loi binomialeB(n, p) de paramètres n∈N^∗ et p∈[0,1]. Calculer la fonction caractéristique ϕX deX.

2. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[. On poseS₀=T₀= 0 et, pour toutn≥1,

S_n =

n

X

k=1

X_k, T_n=n−S_n. (a) Pourn≥1, pr´eciser la loi des variables al´eatoiresS_n etT_n.

(b) Pourn≥1, calculer P(S_n= 0, T_n= 0). S_n et T_n sont-elles ind´ependantes?

3. SoitN une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires (X_n)_n≥1suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0. On pose

∀ω∈Ω, U(ω) =S_N_(ω)(ω), V(ω) =T_N_(ω)(ω) =N(ω)−U(ω).

(a) Justifier l’´egalit´e, pour toutk∈N, P(U =k) =X

n≥k

P(Sn=k, N=n).

(b) En d´eduire queU suit la loi de Poisson de param`etreλp.

(c) D´eterminer la loi de 1−X1 puis, pr´eciser la loi deV .

(d) Montrer que, pour (k, l)∈N², P(U =k, V =l) =P(N =k+l)P(Sk+l=k).

(e) En déduire que les variables aléatoiresU etV sont indépendantes.

Exercice 11. Soit (X_n)_n∈_N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de PoissonP(λ),λ >0. On rappelle que,P[X =k] =e^−λλ^k

k!, pour toutk∈N. 1. Calculer la fonction caract´eristiqueϕX₁ deX1.

2. En d´eduire la loi de la sommeS=X₁+X₂+...+X_n.

Exercice 12. Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement dis- tribuées suivant la loi normaleN(0,1) etN une variable aléatoire à valeurs dansN^∗indépendante des variables aléatoires (X_n)_n≥1. On note, pourn≥1,

Y_n= 1

√n

n

X

k=1

X_k, Y = 1

√N

N

X

k=1

X_k.

1. Calculer, pour toutn≥1, la fonction caract´eristique deY_n et pr´eciser sa loi.

2. D´eterminer la fonction caract´eristique de Y ainsi que sa loi.

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