1 – Lois de variables al´eatoires

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Variables aléatoires, fon ions cara éri iques Corrigé

0 – Petite question

. Calculer la fonion caraériique de la loi de probabilité de densité (− |x|)1^|x|<?

. Quelle ela fonion caraériique de la loi de probabilité de densité (−cos(x))/(πx^) ? Corrigé :

. On calcule, en int´egrant par parties pourt,: Z

R

(− |x|)1^|x|<e^itxdx= Z _

 (−x) cos(tx)dx=−cos(t) t^ . Pourt=, la première intégrale vaut(normal, c’eune densité de probabilité !).

. D’après le cours, siµeune mesure de probabilités dont la fonion caraériiquebµeintégrable par rapport à la mesure de Lebesgue λ, alors µ e absolument continue par rapport à λ, et sa densité edonnéeλ-p.p. par

x7→ 

π Z

R

bµ(t)e⁻^itxdt.

On en d´eduit que pour presque toutx∈R: (− |x|)1^|x|<= 

π Z

R

dt−cos(t) t^ e⁻^itx.

Les deux membres étant des fonions continues enx, on a l’égalité pour toutx∈R. En faisant le changement de variablex=−x, il s’ensuit que la fonion caraériique de la loi de probabilité de densité (−cos(x))/(πx^) ex7→(− |x|)1^|x|<.

1 – Lois de variables al´eatoires

E

^{xercice 1.} ^Soient^X,^Y êt^Zdes variables aléatoires réelles définies sur un espace de probabilité (Ω,A,P).

. On suppose queX =Y p.s. Montrer que X etY ont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e fausse.

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soitf :R→Rune fonion borélienne. Montrer que les variables aléatoiresf(X) etf(Y) ont la même loi.

(b) Montrer que les variables aléatoiresXZetY Zn’ont pas nécessairement la même loi.

Corrig´e :

. SiX=Y p.s. alors pour toute fonion bor´eliennef :R→R₊: E(f(X)) =

Z

Ω

f(X(ω))P(dω) = Z

Ω

f(X(ω))P(dω) =E(f(Y)).

Pour la deuxième égalité, on a utilisé le fait que l’intégrale de deux fonions presque partout

égales ela même. Ceci montre queXetY ont la même loi.

La réciproque efausse. Considérons une variable aléatoire X de loi normaleN(,) (c’e-à- dire de densité√

π⁻^e⁻^x^^/par rapport à la mesure de Lebesgue). PosonsY =−X. AlorsY eune variable aléatoireXde loi normaleN(,). En effet soitg:R→R₊une fonion borélienne. Alors

E(g(Y)) = Z+∞

−∞

g(−x)e⁻^x^^/dx= Z +∞

−∞

g(x)e⁻^x^^/dx.

DoncXetY ont la même loi mais ne sont pas égales p.s (en effetP(X=Y) =P(X=) =carXe une variable aléatoire à densité).

. (a) Pour toute fonion borélienneg:R→R₊, la foniong◦f eborélienne. CommeXetY ont la même loi, on a

E(g◦f(X)) =E(g◦f(Y)), ce qui montre quef(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

(b) On reprend les variablesXetY de la queion. SoitZ=X. AlorsXZ=X^etY Z=−X^. La loi deX^eune mesure de probabilité surR₊(différente de la mesure de Diracδ_) et la loi de−X^ eune mesure de probabilité surR₋doncXZetY Zn’ont pas la même loi.

E

^{xercice 2.} (Simulation de variables aléatoires.) Soient X une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité (Ω,A,P) etFsa fonion de répartition définie parF(t) =P(X≤t) pourt∈R.

. SiFecontinue etriement croissante, et siU eune variable uniforme sur [,], quelle ela loi de la variable al´eatoireF⁻^(U) ?

. Dans le cas général on définitF⁻^, l’inverse continu à droite deFpar, F⁻^(u) = inf{x∈R : F(x)> u}. Quelle ela loi de la variable aléatoireF⁻^(U) ?

. SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur [,], etX la variable aléatoire définie parX=

−^

pln(U). D´eterminer la loi deX.

Corrig´e :

. Soitt∈R. On a{F⁻^(U)≤t}={U ≤F(t)}. Donc

P(F⁻^(U)≤t) =P(U ≤F(t)) =F(t).

Or la fonion de répartition d’une variable aléatoire caraérise sa loi. AinsiF⁻^(U) a la même loi queX.



(3)

. Soitt∈R. On a{F⁻^(U)≤t}=T

n≥{U < F(t+/n)}. Donc P(F⁻^(U)≤t)

= P







\

n≥

U < F

t+

n







= lim

n→∞

P

U < F

t+ n

= lim

n→∞F

t+ n

=F(t), la dernière égalité étant une conséquence de la continuité à droite deF.

. La fonion de répartition d’une variable exponentielle de paramètre p eF(x) =−e⁻^px pour x ≥. Ainsi, F⁻^(u) =−ln(−u)/p. Ainsi, −ln(−U)/p suit la loi exponentielle de paramètre p.

CommeU et−U ont mˆeme loi, ceci permet de dire que−ln(−U)/psuit la loi exponentielle de param`etrep.

Remarque. Une autre possibilit´e ede calculerE hF(−^

pln(U))i

pour toute fonion mesurable F:R₊→R₊en utilisant la formule du changement de variable (cf TD pr´ec´edent).

E

^{xercice 3.} (Variables exponentielles)

. On dit qu’une variable aléatoire réelle positive vérifie la propriété d’absence de mémoire si pour touss, t >,

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s).

Trouver toutes les variables aléatoires réelle positives X qui vérifient la propriété d’absence de mémoire.

. Soit X une variable aléatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable aléatoire bXc, o ù bxc désigne la partie entière dex.

Corrig´e :

. SiXeexponentielle de param`etreλalorsP(X > t) =R∞

t λe⁻^λxdx=e⁻^λt, et la propriété d’absence de mémoire evérifiée. SiX=p.s. cette propriété eégalemen vérifiée.

Réciproquement, si P(X > s) =pour touts >, alorsX= p.s. On peut donc supposer qu’il exies >tel queP(X > s)>. La propriété d’absence de mémoire implique alors queP(X > t)> pour toutt >et que la fonionG:t 7→log(P(X > t)) eadditive. De plus,G= log(−F_X) e continue à droite, doncGelinéaire (on aurait pu aussi invoquer la décroissance entdeP(X > t).

EtG≤. Donc il exieλ≥tel queG(t) =−λt pour tout t >, et doncX eexponentielle de param`etreλ.

. On poseN =bXc. On a

P(N =k) =P(X∈[k, k+[) = Z k+

k

λe⁻^λxdx= (e⁻^λk−e⁻^λ(k+)) = (−e⁻^λ)e⁻^λk,

ce qui signifie queN suit la loi géométrique de paramètree⁻^λ.

2 – Fonctions caract´eristiques

Notation.SiXeune variable aléatoire réelle, on noteraφ_X sa fonion caraériique, définie par φ_X(t) =E

he^itXi

pourt∈R.

E

^{xercice 4.}



(4)

. Calculer les fonions génératrices des lois suivantes : (a) Bernoulli de paramètrep∈[,].

(b) Binomiale de param`etres (n, p), avecn∈N, p∈[,].

(c) Géométrique de paramètrep∈],[.

(d) Poisson de param`etreλ >.

. Calculer les fonions cara´eriiques des lois suivantes : (a) Exponentielle de param`etreθ >.

(b) Uniforme sur [,].

Corrig´e :

. Soits∈[,]. On a (a) G(s) =−p+ps, (b) G(s) = (−p+ps)ⁿ, (c) G(s) = −p

−sp,

(d) G(s) = exp(−λ(−s)).

. Soitt∈R. On a (a) φ(t) = θ

θ−it, (b) φ(t) = exp(it)−

it .

E

^{xercice 5.} ^Soit^Xune variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. Montrer queφ_X ede classeCⁿet que pour tout entier≤k≤n, on a

∀t∈R, φ^(k)_X (t) =i^kE

hX^kexp(itX)i . En particulier :

φ_X^(k)() =i^kE hX^ki

()

. On suppose queφ_X efois d´erivable en. Montrer queX admet un moment d’ordre et que E[X^] =−φ^()_X ().

Indication.On pourra consid´erer ^φ^X^(t)+φ_t^X⁽⁻^t)⁻^.

. Soitk≥entier. On suppose queφ_X ekfois dérivable en. Montrer queXadmet des moments jusqu’à l’ordrebk/c(icibxcela partie entière dex) donnés par ().

. Faire l’exercice.

Corrig´e :

. Ceci provient immédiatement du théorème de dérivation sous le signe intégral en utilisant la do- mination

i^kX^kexp(itX)

≤ |X|^k∈L^pour≤k≤n.



(5)

. La fonionφ_X étant deux fois dérivable en, la formule de Taylor-Young garantit un développement limité à l’ordre:

φ_X(t) =+φ⁰_X()t+φ⁰⁰_X()t^

 +o(t^).

On en d´eduit que :

limt→

φ_X(t) +φ_X(−t)−

t^ =φ⁰⁰(). ()

Orφ_X(t) +φ_X(−t) =Re(φX(t)) =E[cos(tX)]. Il s’ensuit par () que limt→E

"

−cos(tX) t^

#

=−

φ_X⁰⁰().

Or ^⁻^cos(tX)_t ≥. Le lemme de Fatou fournit donc : E[X^] =E

"

lim inf

t→

−cos(tX) t^

!#

≤lim inf

t→ E

"

−cos(tX) t^

#

=−φ⁰⁰_X()<∞. La queion. permet de conclure queE[X^] =−φ_X^()().

. Raisonner par récurrence en adaptant la preuve de la queion précédente.

. L’exercicemontre qu’en g´en´eral il n’epas vrai queX admet un moment d’ordrelorsqueφ_X

ed´erivable en.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} ^Soit^F la fonion de répartition d’une mesure de probablitié µ telle queF(x)∈ {,} pour toutx∈D, o ùDeun ensemble dense deR. Montrer queµeune mesure de Dirac.

Corrig´e :

Par continuit´e `a droite deFon aF(x)∈ {,}pour toutt∈R. On pose a= inf{x∈R:F(x) =}.

Comme F(x) → quand x →+∞ on a a <+∞. De même a >−∞. Par continuité à droite deF, on a F(x) =1[a,+∞[,et doncF ela fonion de répartition deδ_a.

E

^{xercice 8.} ^Soit^X une variable al´eatoire r´eelle de loiP_X =P

k∈Za_kδ_k sym´etrique (c`ada_k =a−k) et telle que P

k≥ka_k =∞. Le moment d’ordre  de X e-il fini ? Trouver une suite (ak)_k≥ telle que φ_X soit d´erivable en. Comparer avec l’exercice.

Corrig´e :

On calcule ais´ementE[|X|] =X

k>

ka_k= +∞. D’autre part :

φ_X(t) =a_+

∞

X

k=

a_kcos(kt).



(6)

Choisissonsa_=a_=a−=et pourk≥: a_k=a−k= c

k^lnk, o `uc=









∞

X

k=

 k^lnk







−

,

de sorte que :

≤−φ_X(t) t =c

t

∞

X

k=



k^lnk(−cos(tk)).

On vérifie ensuite que cette quantité tend verslorsquet→en décomposant cette dernière somme suivant quek≥/touk </t. Tout d’abord :

X

k≥/t

 k^lnk

(−cos(tk))

t ≤ − 

tln(t) X

k≥/t



k^ ≤ −  tln(t)

Z

b/tc−



x^dx=− 

t(b/tc −) ln(t) −→

t→ . Ensuite, en utilisant l’in´egalit´e−cos(x)≤ ^x^

 pourx∈R:

 t

X

≤k</t

 k^lnk

(−cos(tk))

t ≤t X

≤k</t



ln(k) ≤ t ln()+t

Z_/t



 ln(x)dx.

Une int´egration par parties donne Z _y



 ln(x)dx=

"

x ln(x)

#y



+ Z _y



 (ln(x))^dx.

Mais lorsquex→ ∞,/(lnx)^=o(/ln(x)) et donc lorsquey→ ∞: Z_y



 ln(x)dx=

"

x ln(x)

#y



+o Z y



 ln(x)dx

!

de sorte que

Z _/t





ln(x)dx ∼

t→ − 

tln(t) Il s’ensuit que

t Z _/t





ln(x)dx −→

t→ .

Ceci ach`eve de d´emontrer que (−φ_X(t))/t→lorsquet→.

E

^{xercice 9.} (Probl`eme des moments)On consid`ere la fonionf :R^∗₊→R: f(x) = sin(πlnx) 

x√

πexp −lnx^



! . CalculerR

R+x^kf(x)dxpour toutk∈N.Que peut-on dire des v.a.XetY de densit´e respeives

 x√

πexp −lnx^



!

et (+ sin(πlnx))  x√

πexp −lnx^



!

?

Corrig´e :



(7)

Soitn≥. La fonionx7→xⁿsin(πln(x))_x^√^__πexp−ln(x)^



eint´egrable surR₊, et le changement de variableu= ln(x) aboutit `a

I= Z ∞

 sin(πln(x))  x√

πexp −ln(x)^



! dx=

Z ₊∞

−∞

exp −u^

 +nu

!

sin(πu) 

√πdu.

En remarquant que−u^/+nu=−/(u−n/)^+n^/, le changement de variablev=u−n/donne I=Cste.

Z ₊∞

−∞

sin(πv) exp −v^



!

dv=.

Ainsi pourα∈[−;] les moments des loisK(+αsin(πln(x))) ^

x

√πexp₋_ln(x)



avec

K⁻^= Z ∞

  

x√

πexp −ln(x)^



! dx

sont ´egaux sans que ces lois ne soient ´egales.

E

xercice 10. (Pouvoir paranormal moyen)On considère l’expérience de divination suivante. On dispose d’un jeu de cartes diines, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut à aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle ela carte se trouvant sur le dessus du paquet.

Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes après les autres jusqu’à tomber sur la carte annoncée par le devin. Après quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi lesreantes, et le manipulateur continue de retourner les cartes à partir de l’endroit o ù il s’était arrêté. Ainsi de suite jusqu’à ce que tout le paquet soit retourné.

. Donner un espace de probabilité correspondant à cette expérience.

. Montrer que siXeune variable al´eatoire `a valeurs dansNalors E(X) =X

k≥

P(X≥k).

. Combien de cartes en moyenne le devin trouvera-t-il ?

Corrig´e :

. Supposons que les cartes dans le paquet soient numérotées de à. Le devin annonce les cartes dans un autre ordre, c’eà dire qu’il annonce une permutation de{, . . . ,}. On se place donc sur (S_,P(S_),P= #/!).

. Cette formule el’´equivalent discret du r´esultat de l’exercicequeion) duTd. On a E(X) = X

k≥

kP(X=k) = X

k≥

k(P(X≥k)−P(X≥k+))

= lim

N→∞





 XN k=

kP(X≥k)−

N+

X

k=

(k−)P(K ≥k)







= X

k≥

P(X≥k).



(8)

. Le nombre de cartes que le devin trouvera e

X= max{k:ω()< ω()< . . . < ω(k)}. Et l’on a pour≤k≤

P(X≥k) = X

≤j_<...<j_k≤

P({ω:ω() =j_, . . . , ω(k) =j_k}) = X

≤j_<...<j_k≤

(−k)!

! =  k!.

Ainsi, il trouvera en moyenne

E(X) = X

k=



k! ≈ e−

cartes.

Fin

