D- Convergence de variables al´eatoires

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D- Convergence de variables al´ eatoires

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D-1 Notations

I On considère (X_n)_n∈_N(éventuellement (Y_n)_n∈_N) une suite de variables aléatoires définies sur l’espace probabilisé (Ω,A,P) etX (éventuellementY) une variable aléatoire définie sur le même espace.

I On note (Fn)_n∈Nla suite des fonctions de r´epartitions de (Xn)_n∈Net F celle deX.

I On note (φn)n∈N la suite des fonctions caract´eristiques de (Xn)n∈N

etφcelle de X : φ_n(t) =E e^itXⁿ .

Rq: Les résultats de ce cours s’appliquent aussi à des vecteurs aléatoires.

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D-2 Convergence en loi

I D´efinitions D´efinition 1

X_n→^L X ⇐⇒lim_n→+∞F_n(x) =F(x) en tout point de continuit´ex deF.

Définition 2 : Théorème de Paul Levy Xn

→L X ⇐⇒ ∀x ∈R,lim_n→+∞φn(x) =φ(x).

D´efinition 3 : Lemme de Portmanteau Xn

→L X ⇐⇒ ∀g continue et born´ee,lim_n→+∞E(g(Xn)) =E(g(X)).

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D-2 Convergence en loi

I Th´eor`eme

∀c∈R,Xn

→L X etYn

→L c=⇒(Xn,Yn)→^L (X,c).

I Th´eor`eme de Slutsky

∀c∈R,Xn

→L X etYn

→L c=⇒

1 Xn+Yn

→L X+c

2 XnYn

→L Xc

3 Xn/Yn

→L X/c,c6= 0

Xn

→L X etYn

→L Y n’implique pasXn+Yn

→L X +Y

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D-2 Convergence en loi

I Exemple

1 SoitXnune suite de v.a. de loiB(n, λ/n). Alors, lorsquentend vers l’infini,Xn

→L X, o`uX suit une loiP(λ).

pn(x) =P(Xn=x) =C_n^x λ

n x

1−λ n

n−x

=n(n−1)...(n−x+ 1) x!

λ n

x 1−^λ_nn

1−^λ_nx

= λ^x x!

1−1

n

....

1−x−1 n

1−^λ_nn

1−^λ_nx n→+∞lim pn(x) =λ^x

x! lim

n→+∞

1−λ

n n

=λ^x x!e^−λ. Donc,Fn(x) =Px

k=0pn(k) =P(X ≤x) o`u X suit une loi de poisson de param`etreλ.

2 SoitXN une suite de v.a. de loiH(N,n,p). Alors, lorsqueN tend vers l’infiniXN

→L X, o`uX suit une loiB(n,p).

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D-3 Convergence en probabilit´ e

I D´efinition

Xn

→P X ⇐⇒ ∀ >0,lim_n→+∞P(|Xn−X|> ) = 0.

I Condition suffisante de convergence en probabilit´e

limn→+∞E(Xn) =cet limn→+∞V(Xn) = 0 =⇒Xn

→P c

Preuve :

P(|Xn−c|> )≤P(|Xn−E(Xn)|> /2) +P(|E(Xn)−c|> /2)≤4V(Xn)

2 + 1|E(Xn)−c|>/2→0.

I Propri´et´es

Xn

→P X etYn

→P Y =⇒Xn+Yn

→P X+Y

Preuve :P(|Xn+Yn−X−Y|> )≤P(|Xn−X|> /2) +P(|Yn−Y|> /2).

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D-3 Convergence en probabilit´ e

I Exemple

1 SoitZnune suite de variable al´eatoire de loi du Chi2 `anddl. SoitXn

une suite de v.a. de loiT(n). Montrer queZn/nconverge en probabilit´e vers 1. En d´eduire que lorsque ntend vers l’infini Xn

→L X, o`uX suit une loiN(0,1).On note Xn

→ NL (0,1)

Rq: On utilisera le résultat énoncé plus loin :

∀c∈R,Xn

→L c⇐⇒Xn

→P c

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D-4 Convergence presque-sˆ ure

D´efinition

1 Xn

p.s.→ X ⇐⇒P(lim_n→+∞Xn=X) = 1.

2 Xn

p.s.→ X ⇐⇒P({ω∈Ω,lim_n→+∞Xn(ω) =X(ω)}) = 1.

3 Xn

p.s.→ X ⇐⇒ {ω∈Ω,lim_n→+∞Xn(ω)6=X(ω)}=∅.presque partout.

Condition suffisante de convergence presque-sˆure

∀ >0,P∞

n=1P(|Xn−X|> ) converge =⇒(Xn p.s.→X)

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D-5 Convergences en moyennes d’ordre

I Convergence dans L¹ (en moyenne)

Xn L¹

→X ⇐⇒lim_n→+∞E(|Xn−X|) = 0.

I Convergence dans L²(en moyenne quadratique)

X_n ^L

2

→X ⇐⇒lim_n→+∞E |X_n−X|²

= 0.

I Convergence dans L^p

X_n→^L^p X ⇐⇒lim_n→+∞E(|Xn−X|^p) = 0.

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D-6 Hi´ erarchie des convergences

X_n−→^p.s. X =⇒ X_n−→^P X =⇒ X_n−→^L X

⇑ X_n−→^L^p X

⇑ Xn

L^q

−→X q>p

La convergence en loi est la convergence la plus faible.

El´ements de preuve :

I p.s.⇒P: Si il est vérifié, on utilise critère de convergence p.s., sinon plus compliqué.

I P⇒L: en utilisant l’in´egalit´e∀Z,Yv.a.,x>0,

P(Y≤x)≤P(Z≤x+) +P(|Y−Z|> ) et en l’appliquant d’une part `aY=Xn,Z=X, d’autre part `aY=X,Z=Xn. On obtient

F(a−)−P(|Xn−X|> )≤Fn(x)≤F(a+) +P(|Xn−X|> ).

On obtient le r´esultat en prenant la limite enn, puis la limite quandtend vers 0 et la continuit´e deF.

I L1⇒P: par Markov

I L2⇒L1 : par Cauchy-Schwarz

I Lq⇒Lp: par Holder

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D-7 Quelques r´ esultats compl´ ementaires

Convergence vers une constante

∀c∈R,Xn

→L c⇐⇒Xn

→P c

Preuve : Ici,F(x) =P(c≤x) = 1c≤x.On a

0≤P(|Xn−c|> ) =P(Xn> +couXn<c−)≤1−Fn(c+) +Fn(c−)

En prenant la limite le terme de droite tend vers 1−1c≤c++ 1c≤c−= 0.

Xn

→L X et|Xn−Yn|→^P 0 =⇒Yn

→L X

∀g continue

1 Xn

→L X =⇒g(Xn)→^L g(X)

2 Xn

→P X =⇒g(Xn)→^P g(X)

3 Xn

p.s.→ X =⇒g(Xn)^p.s.→ g(X)

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D-8 Deux lois fondamentales de la statistique

Soit (X_i)_1≤i≤n une suite de variables al´eatoires i.i.d. d’esp´erancemet de varianceσ². Soit

X¯n= 1 n

n

X

i=1

Xi.

I Lois des grands nombres

Lorsque l’on fait un sondage aléatoire dans une population, plus on augmente la taille de l’échantillon, plus la moyenne de l’échantillon se rapproche de celle de la population.

Loi faible des grands nombres X¯n

→P m

Preuve :E( ¯Xn) =m,V( ¯Xn) =σ2/net on applique la condition suffisante de convergence en probabilit´e.

Loi forte des grands nombres

X¯_n^p.s.→ m

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D-8 Deux lois fondamentales de la statistique

I Exemples

1 SoitFnla fonction de r´epartition empirique de (X1, ...,Xn),

∀x∈R,Fⁿ(x) =1 n

n

X

i=1

1X_i≤x.

Alors, lorsquentend vers l’infini

Fⁿ(x)^p.s.→F(x) et Fⁿ(x)→^P F(x), en tout pointx deR.

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D-8 Deux lois fondamentales de la statistique

I Th´eor`eme central limite (TCL)

X¯_n−m σ/√

n

→ NL (0,1).

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D-8 Deux lois fondamentales de la statistique

I Exemple 1: Loi de la somme de n variables al´eatoires i.i.d. Soit S_n=nX¯_n=Pn

i=1X_i.Alors, Sn−nm

√nσ

→ NL (0,1).

Preuve : On multiplie en haut et en bas parndans le TCL.

I Exemple 2: Th´eor`eme de Moivre-Laplace SoitXn une suite de v.a. de loiB(n,p). ALors,

Xn−np pnp(1−p)

→ NL (0,1)

Preuve :Xna mˆeme loi que la somme denvariables i.i.d. de loi de bernouilliB(p)

I Exemple 3: Convergence en loi d’une suite Zn de loiχ²(n).

Zn−n

√2n

→ NL (0,1).

Preuve :Zna mˆeme loi queSn=P

ZiavecZii.i.d. de loi duχ2 (1).