Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Convergence de variables al´eatoires — Corrig´e
Exercice `a pr´eparer du TD pr´ec´edent
E
xercice 0. Soit (Xn, n≥) une suite de v.a. i. i.d. de loi exponentielle de param`etre.. Montrer que lim supn→∞Xn/ln(n) =p.s.
. On poseZn= max(X, ..., Xn)/ln(n), montrer que lim infn→∞Zn≥p.s.
. Montrer que pour une suite (nk)k≥bien choisie, lim supk→∞Znk ≤p.s. En d´eduire que limn→∞Zn=
p.s.
Corrig´e :
. Soita≥, alors pour toutε >l’´ev`enement{lim supXn/ln(n)> a}eimbriqu´e entre deux limsup d’´ev`enements :
lim sup
n→∞
{Xn≥(a−ε) ln(n)} ⊂ {lim sup
n→∞
Xn/ln(n)> a} ⊂lim sup
n→∞
{Xn> aln(n)}.
P[Xn≥aln(n)] = na,
et les ´ev`enements sont ind´ependants, donc d’apr`es Borel-Cantelli en prenant desεapropri´es P
"
lim sup
n→∞
Xn ln(n) > a
#
=
( sia <
sia > , donc lim supln(n)Xn =p.s.
. Soit∈(,) et posonsAn={Zn≤−}. Montons queP
P(An) converge. On a P(An) = P(Xi≤(−) ln(n) pour≤i≤n) =P(X≤(−) ln(n))n=
−e−(−) ln(n)n
=
− n−
n
= exp
nln
− n−
≤exp
−n· n−
≤exp (−n). DoncP
P(An) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand on aZn≥−, ce qui conclut.
. PosonsBn={Zn≥+}. Un calcul proche de celui de la queion pr´ec´edente donne : P(Bn) =−
− n+
n
∼
n→∞
n.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a [email protected] , ou bien `a venir me voir au bureau V.
La s´erie de terme g´en´eral/n ne converge pas, il faut donc ruser un peu. Fixonsη >et posons nk = (+η)k. AlorsP
k P(Bnk) converge et d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutk suffisamment grand on aZnk ≤+. On encadre ensuiten≥: (+η)k≤n≤(+η)k+et on ´ecrit :
Zn=max(X, . . . , Xn)
ln(n) ≤max(X, . . . , Xnk+)
ln(n) ≤max(X, . . . , Xnk+) ln(nk+)
ln(nk+)
ln(nk) =Znk+·k+ k . Il s’ensuit que lim supn→∞Zn=p.s.
Compte tenu de la queion, il en d´ecoule que limn→∞Zn=p.s.
0 – Petites questions
E
xercice 1. Vrai ou faux ?. Soient (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles etX une variable al´eatoire r´eelle d´efinies sur (Ω,A,P). On suppose queXn→Xen loi. Montrer quef(Xn)→f(X) en loi pour toute fonion continuef :R→R.
. Soit (µn)n≥une suite de mesures de probabilit´e etµune mesure positive. Alors il y a convergence
´etroite desµnversµsi et seulement si, pour toute fonionf continue `a support compa, on a la convergence
Z
f dµn−→
Z f dµ.
. Si la suite de variables al´eatoires (Xn)n≥converge en loi versX, alorsE[Xn]−→E[X].
Corrig´e :
. Vrai : sig : R →R e continue born´ee, alorsg◦f e continue born´ee et doncE[g(f(Xn))]→ E[g(f(X))].
. L’implication evraie (elle implique queµeune mesure de probabilit´e, et on conclut par une propri´et´e du cours), mais la r´eciproque efausse (prendreµn=δn).
. Faux : on prend (Ω,F,P) = ([,],B(R), dx) etXn(t) la fonion tente telle queXn() =, Xn(/n) = n, Xn(/n) =. AlorsXnconverge p.s. versmaisE[Xn] =,E[].
Un autre exemple davantage probabilie : soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi telles que P(X =) = P(X = −) =/. On note Zn =X+X+· · ·+Xn et soit T = inf{n≥;Zn=}. On pose finalement :
Wn=Zmin(n,T).
Ainsi, (Wn) ela marche al´eatoire issue dequi fait des sauts±qui ree enune fois qu’elle l’a atteint. Il epossible de v´erifier queT <∞p.s. de sorte que (Wn) converge presque s ˆurement vers. Or il efacile de v´erifier que pour toutn≥,E[Wn] =, de sorte queE[Wn] ne converge pas vers E[]. Avec le langage du second semere, cela fournit l’exemple d’une martingale qui converge p.s. mais pas dansL.
E
xercice 2. Quels sont les liens entre ces diff´erentes convergences : en loi, presque s ˆure, en probabilit´e, L,Lppourp >?Corrig´e :
- Convergencep.s.implique convergence en probabilit´e qui implique convergence en loi.
- ConvergenceLppourp≥implique convergence en probabilit´e.
- ConvergenceLqimplique convergenceLppourq > p.
- Vers une conante, convergence en loi et convergence en probabilit´e sont ´equivalentes.
Il etr`es fortement recommand´e de trouver des contre-exemples pour les r´eciproques qui ne sont pas vraies en g´en´eral. On a cependant les r´eciproques “partielles” suivantes :
- Convergence en probabilit´e implique la possibilit´e d’extraire une sous-suite qui converge p.s.
- En red´efinissant les variables sur un mˆeme espace de probabilit´e, il epossible de transformer convergence en loi vers converge p.s., c’e le th´eor`eme de repr´esentation de Skorokhod men- tionn´e en TD (Attention : c’e un r´esultat tr`es subtil, qui ne garde pas les d´ependences de conruion des variables al´eatoires, ni les corr´elations (en particulier pas l’ind´ependance !).
- Convergence p.s. avec ´equiint´egrabilit´e implique convergenceL(voir Exercice).
E
xercice 3. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. Montrer que presque s ˆurement la variable al´eatoire al´eatoire lim supn→∞Xneconante.Corrig´e :
Notons FN =σ(XN, XN+, . . .) et pous simplifier notons Y = lim supn→∞Xn. Alors Y eFN mesurable pour toutN ≥. En effet, pour touta∈R∪ {±∞},
Y ≥a ⇐⇒ lim sup
n→∞,n≥N
Xn≥a,
et clairement{lim supn→∞,n≥NXn≥a} ∈ FN. AinsiY emesurable par rapport `aF∞=∩N≥FN. D’apr`es la loi du−de Kolmogorov, on aP[A] =oupour toutA∈ F∞. D’apr`es l’exerciedu TD,Y e
conante presque s ˆurement.
1 – Convergences en loi
E
xercice 4. (Lemme de Slutsky) Soient (Xn)n≥, (Yn)n≥ deux suites de variables al´eatoires r´eelles, et X, Y deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P), telles queXn→Xen loi etYn→Y en loi.. On suppose que les variablesXn etYn sont ind´ependantes pour toutn≥et que les variablesX etY sont ind´ependantes. Montrer que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi.
. E-il toujours vrai que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi ?
. Lemme de SlutskyOn suppose queY econante p.s. Montrer que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi.
Corrig´e :
. D’apr`es le th´eor`eme de L´evy, il suffit de montrer queΦ(Xn,Yn)(t, t0)→Φ(X,Y)(t, t0) pour tout (t, t0)∈ R. Et l’on a par ind´ependance,
Φ(Xn,Yn)(t, t0) =ΦXn(t)ΦYn(t0)→ΦX(t)ΦY(t0) =Φ(X,Y)(t, t0).
. Il n’epas vrai en g´en´eral que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi. En effet, consid´erons les variables al´eatoires Xn = Z = Yn pour tout n ≥ , avec Z gaussienne centr´ee. La variable Z ´etant sym´etrique, on a Xn → −Z en loi. Si (Xn, Yn) →(−Z, Z) en loi, alors Xn+Yn → −Z+Z en loi (car la fonion (x, y)7→x+yecontinue), c’e`a direZ=en loi, ce qui n’epas.
. Il suffit de montrer queE(F(Xn, Yn))→E(F(X, Y)) pour une fonionF continue `a support com- pa. Soit a∈Rtel queY =ap.s. On a alors Yn →aen probabilit´e (r´esultat important `a savoir prouver). Et
|E(F(Xn, Yn))−E(F(X, a))|
≤ |E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))|+|E(F(Xn, a))−E(F(X, a))|.
La fonionx∈R7→F(x, a) econtinue et born´ee donc|E(F(Xn, a))−E(F(X, a))| →. De plus, la fonionFeuniform´ement continue. Pourε >, on peut trouverδtel que|F(x, y)−F(x0, y0)| ≤ε pour|x−x0|+|y−y0| ≤δ. Alors, en notantM un majorant deF, on a
|E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))|
≤ E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|)
≤ E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|≥δ}) +E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|<δ})
≤ MP(|Yn−a| ≥δ) +ε.
Ainsi, lim sup|E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))| ≤ ε et ceci ´etant vrai pour tout ε, on en d´eduit que
|E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))| →, puis le r´esultat.
E
xercice 5. Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P) ind´ependantes et de mˆeme loiµ. On poseMn= max(X, . . . , Xn).. On suppose queµ ela loi uniforme sur [,]. Montrer que la suite (n(−Mn))n≥converge en loi quandn→ ∞et expliciter la loi limite.
. On suppose queµela loi de Cauchyandard c’e-`a-dire queµ(dx) = (π(+x))−dx. Montrer que la suite (nMn−)n≥converge en loi et expliciter la loi limite.Rappel :aran(x) = π−
x+o(x) quandx→+∞.
Corrig´e :
. Pour toutn≥, la variable al´eatoiren(−Mn) e`a valeurs dans [, n]. On a donc, pour toutt <, P(n(−Mn)≤t) =. Soitt≥fix´e. Pour toutn≥t, on a
P(n(−Mn)≤t) =P
Mn≥− t n
=−P
Mn<− t n
=− − t
n n
.
DoncP(n(−Mn)≤t)→(−e−t)1{t≥}, et la foniont7→(−e−t)1{t≥}ela fonion de r´epartition de la loi exponentielle de param`etre . Ainsi, la suite (n(−Mn))n≥ converge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle de param`etre.
. Soitt≤. On a
P n Mn ≤t
!
≤P n Mn ≤
!
=P(Mn≤) =
n, doncP(nMn−≤t)→quandn→ ∞. Soit maintenantt >. On a
P(nMn−≤t) =P(nMn−≤t, Mn>) +P(nMn−≤t, Mn≤).
D’apr`es ce qui a ´et´e fait pr´ec´edemment,P(nMn−≤t, Mn≤)→. Et P n
Mn ≤t, Mn>
!
= P
Mn≥n t
= −
Z t
n
−∞
dx π(+x)
n
= − πn
π
+ aran n
t n
−→
n→∞ −exp
−t π
,
car aran(x) = π −
x +o(x) quand x → ∞. Ainsi, la suite (nMn−)n≥ converge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle de param`etre π.
2 – Convergences en probabilit´e
E
xercice 6.. Montrer qu’une suite de variables al´eatoires r´eellesXnconverge en probabilit´e vers une variable al´eatoireX si et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous- suite qui converge ps versX.
. Montrer que si une suite de variables al´eatoires r´eellesXn converge en probabilit´e vers une va- riable al´eatoireXet sif :R→Recontinue, alorsf(Xn) converge en probabilit´e versf(X).
. Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge en probabilit´e versX. On sup- pose qu’il exie une variable al´eatoire positiveY telle queE[Y]<∞et|Xn| ≤Y pour toutn≥. Montrer queE[Xn]→E[Y] lorsquen→ ∞.
Corrig´e :
. L’implication eclaire, car d’apr`es un r´esultat du cours on peut extraire une sous-suite conver- geante p.s. versXpour toute suite de variables al´eatoires convergeant en probabilit´e versX.
Pour la r´eciproque, raisonnons par l’absurde en supposant qu’il exie >et une extrarice φtelle queP(|Xφ(n)−X|< )> pour toutn≥. Par hypoth`ese, il exie une extraiceψtelle que Xφ(ψ(n))converge en probabilit´e versXquandn→ ∞. Ceci contredit le fait queP(|Xφ(ψ(n))−X|<
)> pour toutn≥.
. D’apr`es la premi`ere queion, il suffit de montrer que siφeune extrarice, il exie une extrac- triceψ telle quef(Xφ(ψ(n))) converge p.s. versf(X). D’apr`es la premi`ere queion, il exie une extrariceψtelle queXφ(ψ(n))converge p.s. versX. La conclusion en d´ecoule par continuit´e def.
. Il suffit de montrer que pour toute extraionφ, il exie une autre extraionψtelle queE
hXφ◦ψ(n)
i→
E[Y] lorsque n → ∞. Soit donc φ une extraion. D’apr`es la premi`ere queion, il exie une extraion ψ telle que Xφ◦ψ(n) converge presque s ˆurement vers X lorsque n → ∞. Le fait que E
hXφ◦ψ(n)
i→E[Y] lorsquen→ ∞ealors une simple cons´equence du th´eor`eme de convergence domin´ee.
E
xercice 7. (Probl`eme du colleionneur) Soit (Xk, k≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. SoitTn= inf{m≥:{X, . . . , Xm}={,, . . . , n}}
le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.
. Soitτkn= inf{m≥:|{X, . . . , Xm}|=k}. Montrer que les variables (τkn−τkn−)≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.
. En d´eduire queTn/(nlogn)→en probabilit´e.
Corrig´e :
. On aτn=. Soit (t, . . . , tn)∈(N∗)n−. On veut calculerP(τn−τn=t, . . . , τnn−τnn−=tn). En posant t=on a
P(τn−τn=t, . . . , τnn−τnn−=tn)
= X
σ∈Sn
P
n−
\
k=
Xt+...+tk =σ(k), Xt+...+tk+∈ {σ(), . . . , σ(k)}, . . . ,
Xt+...+tk+tk+−∈ {σ(), . . . , σ(k)}
∩ {Xt+...+tn=σ(n)}
= X
σ∈Sn
nn
Yn k=
k− n
!tk−
= n!
nn Yn k=
k− n
!tk−
= Yn k=
n+−k n
! k− n
!tk−
Donc les variables al´eatoires (τkn−τkn−)≤k≤nsont ind´ependantes, et ont respeivement pour loi X
i≥
n+−k n
! k− n
!i−
δi.
Cette loi ela loi deGk+o `uGk suit la loi g´eom´etrique de param`etre (k−)/n.
. On aTn=τ+Pn
k=(τk−τk−) et donc E(Tn) =+
Xn k=
n
n+−k =+nHn−, o `uHnela s´erie harmonique et
Var(Tn) =
n
X
k=
Var(τk−τk−) =
n
X
k=
(k−)/n
((n+−k)/n) ≤Cn. Donc pour toutε >,
P(|Tn−E(Tn)| ≥εnlog(n))≤ Var(Tn)
εnlog(n) ≤ C εlog(n).
Donc (Tn−E(Tn))/(nlog(n))→en probabilit´e. OrE(Tn)∼nlog(n) quandn→ ∞. Donc pour tout ε >on a {|Tn−nlog(n)| ≥εnlog(n)} ⊂ {|Tn−E(Tn)| ≥εnlog(n)} pourn assez grand. On obtient ainsi le r´esultat.
E
xercice 8. Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles etXune v.a. r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P).On suppose queXn→Xen probabilit´e sousP. Montrer que siQeune mesure de probabilit´e sur (Ω,A) absolument continue par rapport `aP, alorsXn→Xen probabilit´e sousQ.
Corrig´e :
La fao¸n la plus rapide de faire cette exercice ed’utiliser ce qu’on connait d´ej`a : d’apr`es Radon-Nikodym on peut trouver une fonionf mesurable positive qui v´erifie
∀A∈ A, Q(A) = Z
f1AdP,
et de plusR
f dP=<∞, doncf eint´egrable. Ensuite, par l’absolue continuit´e de l’int´egrale,
∀ε >, ∃δ >, ∀A∈ A, P(A)< δ⇒Q(A)< ε.
Et enfin, soitη >, pournassez grandP[|Xn−X|> η]< δ, donc pournassez grandQ[|Xn−X|> η]< ε.
3 – Convergences L
pE
xercice 9. (Uniforme int´egrabilit´e) Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles sur (Ω,A,P).On dit que la suite (Xn) euniform´ement int´egrable (ou equiint´egraable ou u.i.) si
Mlim→∞sup
n≥
E[|Xn|1{|Xn|>M}] =.
. Montrer que si (Xn)n≥edomin´ee par une v.a.Y int´egrable, alors (Xn)n≥eu.i.
. Montrer que si (Xn)n≥eu.i. alors
sup
n≥
E[|Xn|]<∞, mais que la r´eciproque efausse.
. On suppose que (Xn)n≥eu.i. Montrer que
∀ε >, ∃δ >, ∀A∈ A, P(A)< δ⇒sup
n≥
E[|Xn|1A]< ε.
Montrer que la r´eciproque evraie `a condition de supposer supE[|Xn|]<∞.
. Soitp >, montrer que si (Xn)n≥eborn´ee dansLp(iesupE[|Xn|p]<∞), alors (Xn)n≥eu.i.
. On suppose queXn→Xp.s.
(a) On suppose queXn→XdansL, montrer que (Xn)n≥eu.i.
(b) R´eciproquement, on suppose que (Xn)n≥eu.i.
i. Montrer queXeint´egrable.
ii. Montrer que la suite (Xn−X)n≥eu.i.
iii. En d´eduire queXn→XdansL. Corrig´e :
Ceci ebiens ˆur r´eminscent de l’exercicedu TD.
. Pour toutn,|Xn| ≤Y, donc pour toutn
E[|Xn|1{|Xn|>M}]≤E[|Y|1{|Y|>M}]→ par convergence domin´ee.
. Si (Xn)n≥eu.i. alors limM→∞supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}] =, on peut ainsi trouverMtel qu’on ait supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}] =K<∞. On a alors
sup
n≥
E[|Xn|]≥K+M<∞.
Pour un contre-exemple `a la r´eciproque, il suffit de prendre des approximations de la mesure de dirac, ou en terme de v.a.P[Xn=n] =netP[Xn=] =−
n.
. Soitε >, comme (Xn) eu.i., on peut trouverMtel que supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}]< ε/. Ensuite, siA∈ A,
E[|Xn|1A] = E[|Xn|1A∩{|Xn|>M}] +E[|Xn|1A∩{|Xn|≤M}]
≤ ε
+MP(A).
Donc avec δ = Mε
on a le r´esultat souhait´e. Pour la r´eciproque, si M > supEδ[|Xn|], alors par l’in´egalit´e MarkovP[Xn> M]< δet par l’hypoth`ese
E[|Xn|1{|Xn|>M}]< ε ∀n≥∀M > supE[|Xn|]
δ .
. On suppose que supnkXnkp<∞, et on va essayer d’appliquer le crit`ere pr´ec´edent. Par H¨older ou JensenE[|Xn|]≤ kXnkp, donc la premi`ere hypoth`ese ev´erifi´ee. Maintenant par H¨older :
E[|Xn|1A]≤ kXnk
pP(A)/q, avecq <∞puisqu’on a prisp >, et avecδ=
ε supkXnkp
q
on a la relation voulue.
. On suppose queXn→Xp.s.
(a) On suppose queXn→XdansL, on va `a nouveau utiliser le crit`ere de la queion. Comme E[|Xn|]→E[|X|], la suite eborn´ee et on a la premi`ere hypoth`ese. Prenonsε >, et soitN > tq∀n > N,E[|Xn−X|]< ε/. On peut trouverδetδtels que
P(A)< δ ⇒ max
≤i≤N
E[|Xi|1A]< ε, P(A)< δ ⇒ E[|X|1A]< ε
. Ensuite sin > N, on a
E[|Xn|1A]≤E[|Xn−X|] +E[|X|1A]≤ε.
(b) R´eciproquement, on suppose que (Xn)n≥eu.i.
i. Par Fatou,
E[|X|]≤lim infE[|Xn|]≤supE[|Xn|]<∞
ii. On utilise `a nouveau le crit`ere de la queion ., mais je n’ai pas envie de le faire une troisi`eme fois.
iii. Soitε >etM>tel que supn≥E[|Xn−X|1{|Xn−X|>M}]< ε. La suite de v.a.|Xn−X|1{|Xn−X|≤M}
converge versp.s. et edomin´ee parM, donc par convergence domin´ee E[|Xn−X|] =E[|Xn−X|1{|Xn−X|>M}] +E[|Xn−X|1{|Xn−X|≤M}]≤ε+o(), ce qui ach`eve la d´emonration.
4 – Pour pr´eparer l’examen
R´eviser le cours et ce qui a ´et´e fait en TD. Chercher des exercices examens des ann´ees pr´ec´edents (les
´enonc´es sont disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement – partieArchives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 10.. Soitmune mesure de probabilit´e sur (R,B(R)). Pour toutn≥, on d´efinit une mesure de proba- bilit´emnsur (R,B(R)) par :
mn=X
k∈Z
m([k/n,(k+)/n[)δk/n. Montrer que (mn, n≥) converge ´etroitement versm.
. En d´eduire que si (Xn)n≥eune suite de variables al´eatoires, chaqueXn´etant de loi g´eom´etrique de param`etree−/n, alors la suite (Xn/n)n≥converge en loi vers une variable al´eatoire exponen- tielle de param`etre.
Corrig´e :
. SoitXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur un espace (Ω,A,P) de loim. Alors on voit que pour toutn≥, la variable al´eatoireYn=bnXc/n(bxcd´esigne la partie enti`ere dex) suit la loimn. Et Yn→Xp.s. DoncYn→Xen loi, ce qui signifie quemn→m´etroitement.
. On posem(dx) =e−x1{x>} dx. Alors on v´erifie que pour tout n ≥,mn ela loi de la variable al´eatoireXn/n. En effet,
P(Xn=k) =e−k/n−e−(k+)/n=
Z (k+)/n
k/n
e−xdx=mn({k/n}).
E
xercice 11. Soient (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires conantes, respeivement ´egales p.s. `a xn∈R, etXune variable al´eatoire r´eelle. Montrer queXn→Xen loi si et seulement si il exiex∈Rtel queXede loiδx etxn→xquandn→ ∞.Corrig´e :
Sixn→xet siXede loiδxalors pour toute fonion continueg:R→Ron aE(g(Xn)) =g(xn)→g(x) = E(g(X)), ce qui signifie queXn→Xen loi.
SiXn→Xen loi alorsFXn(t)→FX(t) pour toutt∈D o `uDel’ensemble des points de continuit´e deF(Dedense car le compl´ementaire d’un ensemble d´enombrable). Pour toutt∈R, on aFXn(t)∈ {,} et doncFX(t)∈ {,}pour toutt∈D. CommeFX ecroissante, il exiex∈Rtel queXede loiδx. Soit Oun ouvert contenantx. Alors
lim inf
n→∞
P(Xn∈O)≥P(X∈O) =.
Ainsi lim infn→∞P(Xn ∈ O) = ce qui signifie que xn ∈O `a partir d’un certain rang. On a donc bien
xn→xquandn→ ∞.
E
xercice 12. Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e. On suppose que Ω ed´enombrable et que la tribu F eP(Ω). Montrer que les convergences ”presque-s ˆur” et ”en probabilit´e” sont ´equivalentes sur cet espace (pour des variables al´eatoires `a valeur dans un espace m´etrique (E, d)).Corrig´e :
On ´enum`ereΩ={ωi}i≥. SoitXet (Xn) des variables al´eatoires d´efinies sur (Ω,F,P) telles que Xn−→(P) X.
Pour montrer queXnconverge p.s. versX, il suffit de montrer que pour toutk > P({ω,lim sup
n→∞
d(Xn(ω), X(ω))≥/k}) =.
Soitωi∈Ωtel queP({ωi})>. D’apr`es la convergence en probabilit´e deXnversX, on a P({ω, d(Xn(ω), X(ω))≥/k}) −→
n→∞ .
Ainsi, `a partir d’un certain rang,ωi <{ω, d(Xn(ω), X(ω))≥ε}. On en d´eduit que pour toutωi de proba- bilit´eriement positive, lim supd(Xn(ωi), X(ωi))≤/k. La d´enombrabilit´e deΩ permet de conclure.
E
xercice 13. ( ) Soit (Yn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles suivant respeivement une loi gaussienne N(mn, σn) avecmn∈R etσn>. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´eelleY si et seulement si les deux suites (mn)n≥et (σn)n≥ convergent vers respeivementm etσ, et identifier la loi limite.Corrig´e :
On rappelle que la fonion cara´eriique d’une gaussienne N(m, σ) de moyenne m et de variance σ eΦm,σ(t) = exp(imt−σt/). La r´eciproque d´ecoule ainsi imm´ediatement du th´eor`eme de L´evy (petite remarque : lorsqueσ =, la gaussienneN(m, σ) epar convention conante ´egale `am).
Pour l’implication, supposons queYn converge en loi vers Y. Le th´eor`eme de L´evy garantit que exp(imnt−σnt/) converge pour tout r´eel t lorsque n → ∞, et donc que exp(−σnt/) converge (en prenant le module). Il s’ensuit que σn converge vers σ ∈ R∪ {∞}. Or |E[exp(itYn)]| converge vers
|E[exp(itY)]|qui eune fonion continue ent, ce qui exclut le casσ=∞(car alors|E[exp(itYn)]| → 1t=).
Il s’ensuit que exp(imnt) converge pour tout r´eeltlorsquen→ ∞. Montrons que cela entraˆıne la convergence de la suite (mn). Si on sait a priori que la suite (mn) eborn´ee, c’efacile : simetm0 sont deux valeurs d’adh´erence on a exp(imt) = exp(im0t) pour toutt∈R, ce qui entraˆınem=m0. Supposons la suite (mn) non born´ee et montrons qu’on arrive `a une contradiion. On extrait une sous-suite (mnk) qui converge vers +∞(on fait le mˆeme raisonnement pour−∞). Alors pour toutA >, d’apr`es le th´eor`eme de Portmanteau :
P(Y ≥A)≥lim sup
k→∞
P(Ynk ≥A)≥/
puisque pour k suffisamment grand on aP(Ynk ≥A) ≥P(Ynk ≥mnk) =/. La contradiion souhait´ee
arrive en faisant tendreA→ ∞.
E
xercice 14. ( ) Soitλ > fix´e et soit (Xt)t≥ une famille de variables al´eatoires telle que, pour tout t≥,Xt suit une loi g´eom´etrique de param`etre−e−t, c’e-`a-dire queP[Xt=k] =e−t(−e−t)k−, k≥.
Soit (Un)n≥une suite de variables al´eatoires telle que λUn−ln(n) converge en probabilit´e vers−ln(E) lorsquen→ ∞, o `uEeune variable al´eatoire exponentielle de param`etre. On suppose de plus que les deux familles (Xt)t≥et (Un)n≥sont ind´ependantes.
Montrer que, lorsquen→ ∞,XUn/n/λconverge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle, dont le param`etre eal´eatoire et vautE/λ.
Corrig´e :
On va utiliser les fonions cara´eriiques. Pour cela, calculons d’abord la fonion cara´eriique deXt :
E heiuXti
=
−et(−e−iu), u∈R.
Par ind´ependence de (Xt)t≥etUn, on a donc E
eiuXUn/n/λ
=E
−eUn(−e−iu/n/λ)
. En faisant un d´eveloppant limit´e, on voit que, presque s ˆurment,
−eUn(−e−iu/n/λ)
−→
n→∞
E/λ E/λ−iu. Or
∀s≥, ∀t∈R,
−es(−e−it)
≤.
D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´e, on en d´eduit que E
eiuXUn/n/λ
−→
n→∞
E
"
E/λ E/λ−iu
# . Le r´esultat en d´ecoule car, on ax/(x−iu) =E
heiuExp(x)i
, o `uExp(x) eune variable al´eatoire exponentielle
de param`etrex.
Fin
