X – MAP
PC – mai – Fon ions cara ´eri iques, Monte-Carlo, convergence en loi Corrig´e des que ions non abord´ees en PC
Igor Kortchemski (doublage : Lucas Gerin)–[email protected]
Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.
Monte Carlo
E xercice 2. (Des calculs sans calculs) Soit f :R → R une fonion continue born´ee et α >. Calculer les limites suivantes :
nlim→∞
Z
[,]nf
x+· · ·+xn n
dx· · ·dxn et lim
n→∞
X
k≥
e−αn(αn)k k! f k
n
! .
Corrig´e :
– SoitXune variable al´eatoire de Poisson de param`etreαn. Alors X
k≥
e−αn(αn)k k! f k
n
!
=E[f(X)].
OrXa la mˆeme loi queV+V+· · ·+Vn, o `u (Vi)≤i≤nsont des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Poisson de param`etreα. Donc
X
k≥
e−αn(αn)k k! f k
n
!
=E
f
V+· · ·+Vn
n
.
D’apr`es la loi forte des grands nombres,V+···n+Vnconverge presque s ˆurement versE[V] =α. DoncfV
+···+Vn n
converge presque s ˆurement versf(α). De plus,|fV+···+Vn n
|emajor´ee par sup|f|. Donc X
k≥
e−αn(αn)k k! f k
n
!
−→
n→∞ f(α).
d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee.
Convergence en loi
E xercice 6. (Convergence en loi et fonions cara´eriiques)Soit θ > . On consid`ere une suite (Tn)n≥n de va- riables al´eatoires o `uTn suit une loi g´eom´etrique de param`etrepn= θn. Montrer que la suite (Tn/n)n≥nconverge en loi et d´eterminer sa limite.
Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
Corrig´e :On utilise les fonions cara´eriiques. Pour toutt∈R, φTn(t) =E
heitTni
=X
k≥
pn(−pn)k−eitk=pneitX
k≥
(−pn)eitk
= pneit
−(−pn)eit = pn
e−it−(−pn). Ainsi,
φTn n (t) =E
heintTni
=
θ n
−int +o(n)−(−θ
n)
−→
n→∞
θ θ−it.
On reconnaˆıt la fonion cara´eriique d’une variable exponentielle de param`etreθ.
E xercice 7. (Un exemple)Pour toutn≥, on consid`ere la fonionFnd´efinie parFn(x) =enxenx+pourx∈R. Montrer que, pour toutn≥, il exie une variable al´eatoireXndontFneune fonion de r´epartition. Montrer que la suite (Xn)n≥
converge en loi, et identifier la loi limite.
Corrig´e :La fonionFnecroissante, continue, de limite nulle en−∞et de limiteen +∞, donc il exie une variable al´eatoireXndontFneune fonion de r´epartition. De plus, pour toutx∈R,
Fn(x) −→
n→∞
six <
six=
six >.
Ainsi,Xnconverge en loi verscar la fonion de r´epartition deXnconverge vers la fonion de r´epartitionF de la variable al´eatoire conante ´egale `aen tout point o `uFecontinue (c’e-`a-direR∗). Alternativement, on voit que pour tout >, on aP(|Xn|> )→, doncXnconverge en probabilit´e et donc en loi vers.
E xercice 8. (Un autre exemple)Pour toutn≥, on consid`ere la fonionFnd´efinie parFn(x) =six < netFn(x) =si x≥n. Montrer que, pour toutn≥, exie une variable al´eatoireXndontFn eune fonion de r´epartition. E-ce que la suite (Xn)n≥converge en loi ?
Corrig´e :La fonionFnela fonion de r´epartition d’une variable al´eatoire conante ´egale `an. Pour toutx∈R, Fn(x)→. La suiteXnne converge donc pas en loi, car la fonion nulle n’epas ´egale `a une fonion de r´epartition,
sauf en un nombre d´enombrable de points.
Plus appliqu´e (hors PC)
E xercice 10. Cet exercice pr´esente un mod`ele pour la contamination au mercure.
() Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi. On suppose qu’il exie deux r´eels α, λ >tels queP(X> x)∼ α
xλlorsquex→ ∞. D´emontrer que la suite (Zn)n≥d´efinie parZn=n−λmax(X, . . . , Xn) converge en loi vers une variable al´eatoire dont la fonion de r´epartition ee−αy−λ1y> (loi de Fr´echet de pa- ram`etre (α, λ)).
() Le mercure, m´etal lourd, e pr´esent dans peu d’aliments. On le trouve essentiellement dans les produits de la mer. L’Organisation Mondiale de la Sant´e fixe la dose journali`ere admissible en mercure `a.µgpar jour et par
kilo de poids corporel. Des ´etudes atiiques donnent la forme de la queue de diribution empirique de la contamination globale annuelle en gramme de mercure pour un individu dekg :P(X > x) = α
xλ pourxassez grand avecα =.·− etλ=.. Seriez-vous ´etonn´e–e qu’au moins une personne soit expos´ee `a ce risque sanitaire en France ? `A Palaiseau (Recensement : personnes ) ? Dans une promotion de cinq cents
´etudiants ? `A partir de quelle valeur denpouvez-vous affirmer, avec seulement% de chances de vous tromper :
Parmi ces n personnes, au moins une a un niveau de mercure trop ´elev´e?
Corrig´e : (Corrig´e d’apr`es le livreIntroduion aux probabilit´es et auxatiiquesde Jean-Franc¸ois Delmas.) () On utilise les fonions de r´epartitions. Pour touty∈R, on a
P(Zn≤y) =P
X≤n/λyn
. Siy≤,P
X≤n/λy
≤P(X≤)n→carP(X≤)<. DoncP(Zn≤y)→. Siy≥, on a P(Zn≤y) =
(−P
X> n/λyn
. Comme P
X> n/λy
∼ αy
−λ
n , un d´eveloppement limit´e montre que P(Zn≤y) → e−αy
−λ
. La fonion de r´epartition de Zn converge donc en tout point vers celle d’une loi de Fr´echet de param`etre (α, λ), d’o `u le r´esultat.
() On consid`erenindividus et on noteXkle niveau annuel d’exposition au mercure de l’individuk. On suppose les variables al´eatoiresXk ind´ependantes et de mˆeme loi queX. Pour un individu dekg, la dose annuelle admissible fix´ee par l’OMS es =.·−g. La probabilit´e qu’un individu au moins ait un niveau de mercure trop ´elev´e e
pn=P(max(X, . . . , Xn)> s) = −P(max(X, . . . , Xn)≤s)
= −e−nln(−αs
−λ
' −exp(−αs−λn).
Sin=·on apn', sin=on apn'.; sin=on apn'.. Enfin,−exp(−αs−λn)≥
.si et seulement sin≥ln(.)
αs−λ , c’e-`a-diren≥.
E xercice 11. On casse un bˆaton de longueurennendroits choisis uniform´ement et ind´ependamment au hasard. On noteLnla longueur du plus long desn+bouts obtenus.Quel ele comportement deLnlorsquen→ ∞? Le but de cet exercice ede montrer que (n+)Ln−ln(n+) converge en loi vers une loi de Gumbel (dont la fonion de r´epartition ex7→ee−x).
Pour cela, soit (Xi)≤i≤n+des variables al´eatoires i.i.d. exponentielles de param`etre. On pose, pour≤i≤n+, Si=X+· · ·+Xi, Yi= Xi
Sn+.
() D´eterminer la loi jointe de (X, . . . , Xn, Sn+) et en d´eduire celle de (Y, . . . , Yn).
() En notant (∆, . . . ,∆n+) la longueur des bouts successifs obtenus, montrer que (∆, . . . ,∆n) et (Y, . . . , Yn) ont la mˆeme loi (on pourra utiliser le r´esultat de la queion () de l’exercicede la PC). En d´eduire que max(Y, . . . , Yn+) a la mˆeme loi queLn.
P. Bertail. Evaluation des risques d’exposition `a un contaminant alimentaire : quelques outilsatiiques.www.crest.fr/doctravail/document/
-.pdf().
() Montrer que pourx∈R, (x+ ln(n+))S
n+n+ −
converge en probabilit´e vers.
() En d´eduire le r´esultat d´esir´e.
Corrig´e :
() On commence par d´eterminer la loi jointe (X, . . . , Xn, Sn+) en utilisant la m´ethode de la fonion muette Soit f :Rn+→Rune fonion continue born´ee. On a d’apr`es la formule de transfert
E[f(X, . . . , Xn, Sn+)] = Z
],∞[n+
f(x, x, . . . , x+· · ·+xn+)e−(x+···+xn+)dx· · ·dxn+. En faisant le changement de variableu=x, . . . , un=xn, un+=x+· · ·+xn+de jacobien, on obtient
E[f(X, . . . , Xn, Sn+)] = Z
],∞[n+
f(u, u, . . . , un+)e−un+1un+≥u+···+undu· · ·dun+
ce qui d´etermine la loi jointe (X, . . . , Xn, Sn+).
On d´etermine maintenant la loi jointe (Y, . . . , Yn, Sn+). Soitf :Rn+→Rune fonion continue born´ee. On a d’apr`es la formule de transfert appliqu´ee `a (X, . . . , Xn, Sn+) :
E[f(Y, . . . , Yn, Sn+)] = Z
],∞[n+
f x
xn+, . . . xn
xn+, xn+
!
1xn+≥x+···+xne−xn+dx· · ·dxn+.
En faisant le changement de variable u= x
xn+, u= x
xn+, . . . , un= xn
xn+, un+=xn+, avec≤u+· · ·+un≤etxi=uiun+, de jacobienun+n on obtient
E[f(Y, . . . , Yn, Sn+)] = Z
],∞[n+
f(u, u, . . . , un+)un+n e−un+1u+···+un<du· · ·dun+. On en d´eduit que pour toute fonionf :Rn→Rcontinue born´ee on a
E[f(Y, . . . , Yn)] =n!
Z
],∞[n
f(u, u, . . . , un)1u+···+un<du· · ·dun, () ce qui d´etermine la loi de (Y, . . . , Yn).
() NotonsZ, Z, . . . , Znles endroits o `u le bˆaton a ´et´e cass´e, rang´es dans l’ordre croissant. L’exercicede la PC
donne une densit´e de (Z, Z, . . . , Zn) : pour toute fonionf :Rn→Rcontinue born´ee, on a E[f(Z, . . . , Zn)] =n!
Z
{≤x<...<xn≤}
f(x, . . . , xn)dx. . . dxn.
On remarque que∆=Zet∆i=Zi−Zi−pour≤i≤n. On en d´eduit par changement de variable que E[f(∆,∆, . . . ,∆n)] =n!
Z
],∞[n
f(u, u, . . . , un)1u+···+un<du· · ·dun.
Compte tenu de (), on en d´eduit que (Y, . . . , Yn) et (∆, . . . ,∆n) ont la mˆeme loi. CommeYn+=−Y− · · · − Yn et ∆n+ =−∆− · · · −∆n, on en conclut que (Y, . . . , Yn+) et (∆, . . . ,∆n+) ont la mˆeme loi. Le fait que max(Y, . . . , Yn+) a la mˆeme loi queLnen d´ecoule imm´ediatement carLn= max(∆, . . . ,∆n+).
() SoitWn= (x+ln(n+))X+···+Xn+
n+ −
. On aE[W] =etVar(W)∼ln(n)
n →. D’apr`es l’in´egalit´e de Bienaym´e- Tchebychev, on en d´eduit queWn→en probabilit´e.
() PosonsZn= max(X, . . . , Xn+)−log(n+). D’apr`es la queion (), on a P((n+)Ln−ln(n+)≤x) =P(Zn+Wn≤x).
Or un petit calcul montre queP(max(X, . . . , Xn+)−log(n+)≤x)→ee−xpour toutx∈R. DoncZnconverge en loi versG, o `uGela loi de Gumbel de fonion de r´epartitionx7→ee
−x
. OrWn→en probabilit´e, donc Zn+Wnconverge en loi versGd’apr`es le lemme de Slutsky. DoncP(Zn+Wn≤x)→ee
−x
. On conclut que pour toutx∈Ron a
P((n+)Ln−ln(n+)≤x) −→
n→∞ ee
−x
, ce qui ´etait le r´esultat voulu.
Pour aller plus loin (hors PC)
E xercice 12. (Convergences jointes) Soient (Xn)n≥, (Yn)n≥ deux suites de variables al´eatoires r´eelles, etX, Y deux variables al´eatoires r´eelles telles queXn→Xen loi etYn→Y en loi.
() On suppose dans cette queion que les variablesXnetYnsont ind´ependantes pour toutn≥et que les variables XetY sont ind´ependantes. Montrer que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi.
() (Lemme de Slutsky) On suppose queY=aeconante. Montrer que (Xn, Yn)→(X, a) en loi.
Indications. On pourra utiliser le faitYn→Y en probabilit´e (exercice??) et ´ecrire
|E[F(Xn, Yn)]−E[F(X, a)]| ≤ |E[F(Xn, a)]−E[F(X, a)]| + E
h|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|≥}
i
+ E
h|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|<}
i.
On admettra ´egalement que siZn eune suite de variables al´eatoires `a valeurs dansRk, alorsZn converge en loi versZ si et seulement si pour toute fonion lipschitzienne born´eef :Rk→Ron aE[f(Zn)]→E[f(Z)].
() E-il toujours vrai que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi ?
Corrig´e :
() D’apr`es le th´eor`eme de L´evy, il suffit de montrer que φ(Xn,Yn)(t, t0)→φ(X,Y)(t, t0) pour tout (t, t0)∈ R. Par ind´ependance (deux fois), on a
φ(Xn,Yn)(t, t0) =φXn(t)φYn(t0) −→
n→∞ φX(t)φY(t0) =φ(X,Y)(t, t0).
() Il suffit de montrer queE[F(Xn, Yn)]→E[F(X, Y)] pour une fonionF:R→Rlipschitzienne born´e. Sup- posons que|F(x, y)−F(x0, y0)| ≤L(|x−x0|+|y−y0|) pour tousx, x0, y, y0∈R. Soita∈Rtel queY =ap.s. Pour > fix´e, suivons l’indication en majorant|E[F(Xn, Yn)]−E[F(X, a)]|par
|E[F(Xn, a)]−E[F(X, a)]| + E
h|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|≥}
i
+ E
h|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|<}
i.
La fonionx7→F(x, a) econtinue born´ee donc le premier terme de cette somme tend vers(carXnconverge en loi vers X). Le deuxi`eme terme e major´e par sup|F| ·P(|Yn−a|> ) qui tend vers (car Yn → a en probabilit´e). Pour le dernier terme, on remarque que
|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|<}≤L.
Ainsi, pournsuffisamment grand,
|E[F(Xn, Yn)]−E[F(X, a)]| ≤L.
Le r´esultat d´esir´e en d´ecoule.
() Il n’e pas vrai en g´en´eral que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi. En effet, consid´erons les variables al´eatoiresXn = Z=Yn pour toutn≥, avecZgaussienne centr´ee. La variableZ ´etant sym´etrique, on aXn → −Z en loi. Si (Xn, Yn)→(−Z, Z) en loi, alorsXn+Yn→ −Z+Zen loi (car la fonion (x, y)7→x+yecontinue), c’e `a dire
Z=en loi, ce qui n’epas.
E xercice 13. (Un calcul sans calcul)D´eterminer la limite dee−nPn k=nk
k! lorsquen→ ∞. Indication.On pourra utiliser le th´eor`eme central limite.
Corrig´e : On a
e−n Xn k=
nk
k! =P(P+. . .+Pn≤n),
o `uP, . . . , Pnsont des variables al´eatoires de Poisson de param`etreind´ependantes. Et P(P+. . .+Pn≤n) =P P+. . .+Pn−n
√ n
≤
! .
- La variance d’une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ´etant ´egale `aλ, on a d’apr`es letcl, P+. . .+Pn−n
√ n
−→loi n→∞ N ,
o `uN eune variable gaussienne (centr´ee r´eduite). Or la fonion de r´epartition deN econtinue donc
nlim→∞e−n Xn
k=
nk
k! =P(N≤) =
.
E xercice 14. (Le TCL n’epas une convergence en probabilit´e)Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi. On suppose queE[X]<∞, et on notem=E[X],σ= Var(X) etZn=√nPn
k=(Xk−m).
() Rappeler la convergence en loi de la suite (Zn)n≥.
() Montrer que la suite (Zn−Zn)n≥converge en loi vers une limite qu’on identifiera.
Indication.On pourra ´ecrireZn−Zn=aZn+bZn0 poura, b∈Rchoisis de sorteZnetZn0 soient ind´ependantes et de mˆeme loi.
() En d´eduire que siσ>alors la suite (Zn)n≥ne converge pas en probabilit´e.
Corrig´e :
() D’apr`es le TCL,Znconverge en loi versσ N, o `uN eune variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite.
() On a
Zn−Zn= √
−
! Zn+√
Zn0 avec Zn0 =√ n
Xn k=n+
(Xk−m).
CommeZn0 eind´ependant deZnet a la mˆeme loi queZn, on en d´eduit que
φZn−Zn(t) =φZn
√
−
! u
!
·φZn √
u
!
−→ φσ N
√
−
! u
!
·φσ N √
u
!
= exp −u
σ √
−
! +
!!
. DoncZn−Znconverge en loi versσ√
q
−√
N.
() Soitσ>et supposons par l’absurde queZnconverge en probabilit´e vers. Alors la suite (Zn−Zn) converge en probabilit´e vers (car alors (Zn, Zn)→ (,) en probabilit´e, qu’on compose par l’application continue f(x, y) =x−y). On d´eduit de la queion pr´ec´edente queσ=, absurde.
E xercice 15. (Cauchy)On rappelle qu’une loi de Cauchy a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesguex7→
π(+x). On peut d´emontrer (en utilisant les transform´ees de Fourier) que sa fonion cara´eriique eφ(t) = exp(−|t|).
Soient (Xi)≤i≤ndes variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent une loi de Cauchy. On poseSn=X+· · ·+Xn. ´Etudier les convergences en loi et en probabilit´e des suites suivantes.
() Sn
√ n
!
n≥ () Sn
n
n≥ () Sn
n
n≥. Dans le cas (), la loi des grands nombres s’applique-t-elle ?
Indication.Pour la troisi`eme suite, on pourra d´eterminer la loi de Snn −Sn
n, raisonner par l’absurde et montrer qu’alors la suiteSnn−Sn
n converge en probabilit´e vers.
Corrig´e : Rappelons que la fonion cara´eriique d’une loi de Cauchy eφ(t) =e−|t|. () Soitt∈R. On a, par ind´ependance,
φ√Sn n
(t) =E
Yn k=
ei
√t nXk
= Yn k=
E
ei
√t nXk
=e−|t|
√
n −→
n→∞
sit,
sit= La fonion cara´eriique deSn/√
nconverge donc ponuellement vers une fonion qui n’epas continue en. DoncSn/
√
nne converge pas en loi (et donc pas en probabilit´e non plus).
() Comme pour (), on a
φSn n(t) =e−
|t|
n −→
n→∞ .
Donc la fonion cara´eriique deSn/nconverge en tout point vers celle de la fonion conante ´egale `a.
DoncSn/nconverge en loi vers, et donc aussi en probabilit´e versd’apr`es l’exercice??.
() Pour toutt∈R, on calcule
E
eit·X+...+n Xn
=
n
Y
k=
E heintXki
=
n
Y
i=
e−
|t| n =e−|t|.
DoncX+···n+Xn suit une loi de Cauchy. DoncSn/nconverge en loi vers une loi de Cauchy.
Montrons maintenant queSn/nne converge pas en probabilit´e. On a Sn
n −Sn
n =Xn++· · ·+Xn
n −X+· · ·+Xn
n .
On a en utilisant le fait queXn++n···+Xn et X+n···+Xn sont ind´ependants et ont mˆeme loi queSn/n: φSn
n−Sn n =φSn
n(t)=e−|t|. Donc Snn−Sn
n suit une loi de Cauchy. Raisonnons maintenant par l’absurde en supposant queSn/nconverge en probabilit´e vers une limiteX. On a alors, pour tout >,
Sn
n −Sn n
≥
⊂
Sn
n −X
≥/
∪
Sn n −X
≥/ , et donc
P
Sn
n −Sn
n
≥
≤P
Sn
n −X
≥/
+P
Sn
n −X
≥/ . Par passage `a la limite,
P
Sn
n −Sn n
≥
−→
n→∞ .
La suiteSnn −Sn
n converge donc en probabilit´e en, et donc en loi vers, ce qui eabsurde car Snn −Sn
n suit une loi de Cauchy.
La loi des grands nombres ne s’applique pas car une loi de Cauchy n’epas int´egrable.
E xercice 16. (Loi faible, non forte) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par P(Xn=) =−
nln(n+)etP(Xn=n) =P(Xn=−n) =ln(n+ )n. On poseYn=X+···n+Xn. () Montrer queYnconverge en probabilit´e vers.Indication.On pourra ´etudierE[Yn].
() Montrer que presque s ˆurement,Ynne converge pas.
Corrig´e : () On a
E[Yn] = Pn
k=E hXki
n =
n· Xn
k=
k
ln(k+). Pour montrer que ceci converge vers, on fixeM >et on ´ecrit
nE[Yn] = XM k=
k
ln(k+)+ Xn
k=M
k
ln(k+)≤ XM k=
k
ln(k+)+
ln(M+) Xn k=
k.
Donc, pour toutM > , pour tout nassez grandE[Yn]≤
ln(M). DoncE[Yn]→. Ainsi, pour tout >, P(|Yn|> )≤
E[Yn]→.
() On aP
n≥P(Xn=n) =∞. Donc, d’apr`es le (deuxi`eme) lemme de Borel–Cantelli (les ´ev`enements{Xn=n}sont ind´ependants car les variables al´eatoires (Xi)i≥sont ind´ependantes), p.s.Xn=nune infinit´e de fois. Or siYn converge, alorsXn/n→p.s. (voir l’exercicede la PC). Donc p.s.Yndiverge.
E xercice 17. (Probl`eme des moments)SoientXetYdeux variables al´eatoires r´eelles born´ees. On suppose queE[Xn] = E[Yn] pour toutn≥. Montrer queXetY ont la mˆeme loi.
Indication.Utiliser le th´eor`eme de Weierrass sur la densit´e des polynˆomes.
Corrig´e :Soitf :R→Rune fonion continue born´ee. Il s’agit de montrer queE[f(X)] =E[f(Y)]. Soienta < b tels queP(a < X < b) =P(a < Y < b) =. On peut supposer quef e `a support compadans [a, b]. Il exie alors une suite (Pn)n≥ de polynˆomes `a coefficients r´eels tels quePn converge uniform´ement versf sur [a, b]. En particulier, il exie une conanteC >telle que sup[a,b]|Pn| ≤Cpour toutn≥.
PosonsXn=Pn(X). AlorsXnconverge presque s ˆurement versf(X) (car la convergence uniforme implique la convergence simple), et|Xn| ≤C pour toutn≥. D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, on en d´eduit que E[Xn] =E[Pn(X)]→E[f(X)]. On montre de mˆeme queE[Pn(Y)]→E[f(Y)].
Or, par hypoth`ese,E[Pn(X)] =E[Pn(Y)]. Ceci conclut.
E xercice 18. (Sommes al´eatoires) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, centr´ees, de variance finieσ>. On poseSn=Pn
m=Xm. Soit (Nk)k≥une suite de variables al´eatoires `a valeurs dansN∗, toutes ind´ependantes de la suite (Xn)n≥. On pose finalementZk=√N
kSNk. On suppose queNk→ ∞p.s. lorsquek→ ∞. Montrer queZk converge en loi vers une variable al´eatoire que l’on d´eterminera.
Corrig´e :PosonsYn=Sn/√
net soitN une variable al´eatoire normale centr´ee r´eduite. Nous allons montrer que Zk converge en loi versN. SoitF:R→R+une fonion continue born´ee. Fixons >. D’apr`es le th´eor`eme central limite,Ynconverge en loi versN. Il exie doncN tel que pourn≥n:
|E[F(Yn)]−E[F(N)]| ≤. On ´ecrit ensuite :
E[F(Zk)] = E
hF(YNk)i
=
∞
X
j=
E
hF(Yj)1{Nk=j}
i
=
∞
X
j=
P(Nk=j)E hF(Yj)i
par ind´ependance deNketYj
Ainsi :
|E[F(Zk)]−E[F(N)]| ≤
∞
X
j=
P(Nk=j) E
hF(Yj)i
−E[F(N)]
≤ kFk∞P(Nk≤n) +X
j≥n
P(Nk=j) E
hF(Yj)i
−E[F(N)]
≤ kFk∞P(Nk≤n) +X
j≥n
P(Nk=j)
≤ kFk∞P(Nk≤n) +.
OrNk converge presque s ˆurement verset donc en probabilit´e. Le premier terme de la derni`ere somme converge donc vers. On en d´eduit que|E[F(Zk)]−E[F(N)]| ≤pourksuffisamment grand, ce qui conclut.
