Exercice 1. Soit (A n ) une suite d’´ ev´ enements d’un espace probabilis´ e telle que la s´ erie de terme g´ en´ eral P (A n ) converge. Montrer que P

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Probabilit´ es

L2 math´ ematiques

Ann´ ee 2020-2021 Fiche n

5. Th´ eor` emes limites.

Exercice 1. Soit (A n ) une suite d’´ ev´ enements d’un espace probabilis´ e telle que la s´ erie de terme g´ en´ eral P (A _n ) converge. Montrer que P

T

N

S

n≥N A n

= 0.

Exercice 2. Soit (A _n ) une suite d’´ ev´ enements ind´ ependants d’un espace probabilis´ e telle que la s´ erie de terme g´ en´ eral P (A n ) diverge. Montrer que P

T

N

S

n≥N A n

= 1.

Exercice 3. Soient X ₁ , X ₂ , . . . des variables al´ eatoires ind´ ependantes telles qu’il existe une constante K > 0 v´ erifiant :

E [X _k ] = 0, E X _k ⁴

≤ K.

Posons S _n = X ₁ + · · · + X _n .

(1) Montrer que X _i ² et X _i ³ admettent une esp´ erance.

(2) Montrer que

E S _n ⁴

= E





n

X

k=1

X _k ⁴ + 6 X

1≤i<j≤n

X _i ² X _j ²



 .

(3) En utilisant le fait que E X _i ^{2 2}

≤ E X _i ⁴

, en d´ eduire que E

S _n ⁴

≤ nK + 3n(n − 1)K ≤ 3Kn ² . (4) Montrer que E

h P

n≥1 S

n

⁴ i

≤ 3K P

n≥1 n

. (5) En d´ eduire que ^S _n

converge presque sˆ urement vers 0.

Exercice 4. Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles qui admettent une esp´ erance et telles qu’il existe une variable al´ eatoire X v´ erifiant E [|X _n − X|] −→

n→∞ 0. Montrer que (X _n ) converge en probabilit´ e vers X .

Exercice 5. Soit (G _n ) une suite de variables al´ eatoires de lois g´ eom´ etriques dont les param` etres forment une suite (p _n ). Supposons qu’il existe λ > 0 tel que np _n −→

n→∞ λ. Calculer, pour tout u > 0, la limite de P (G _n ≤ un) lorsque n tend vers l’infini.

Exercice 6. Soit k ≥ 1 un entier. Consid´ erons, pour tout n ∈ N

et tout i ∈ {1, . . . , k}, une variable al´ eatoire X _i ⁽ⁿ⁾ . Supposons que, pour tout 1 ≤ i ≤ k et tout ε > 0,

P

|X _i ⁽ⁿ⁾ | > ε

n→∞ −→ 0.

Montrer que

P

1≤i≤k max |X _i ⁽ⁿ⁾ | > ε

n→∞ −→ 0.

Exercice 7. Soit X un variable al´ eatoire g´ eom´ etrique de param` etre ¹ ₂ . Pour tout n ≥ 1, consid´ erons l’´ ev´ enement A n = {X ≥ ln(n)/ ln(2)}. Montrer que P lim A n

= 0 puis que la s´ erie de terme g´ en´ eral P (A n ) diverge.

1

Exercice 8. Soit α > 0 et (X _n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que pour tout n ≥ 1,

P (X n = 1) = 1

n ^α , P (X n = 0) = 1 − 1 n ^α . Est-ce que la suite (X n ) converge en probabilit´ e ? Presque sˆ urement ?

Exercice 9. Soit λ > 0 et (X n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, suivant une loi de Poisson de param` etre λ. Posons, pour n ∈ N

, S n = X 1 + · · · + X n . (1) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe c > 0 tel que P (S n > n(λ + ε)) ≤ e

pour tout

n ≥ 1.

(2) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe c > 0 tel que P ^S _n

− λ

> ε

≤ e

pour tout n ≥ 1.

(3) D´ eterminer la limite presque sˆ ure de ^S _n

.

Exercice 10. Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires g´ eom´ etriques de param` etre p ∈]0, 1[ et α > 0. D´ eterminer la probabilit´ e que la s´ erie de terme g´ en´ eral _n

¹ _X

n

converge presque sˆ urement.

Exercice 11. Soient X, X ₀ , X ₁ , . . . des variables al´ eatoires ` a valeurs enti` eres (d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e). Notons, pour tout k, n ∈ N, p _n,k = P (X _n = k) et p _k = P (X = k).

(1) Montrer que la fonction g´ en´ eratrice G _X de la variable al´ eatoire X est de classe C

sur ] − 1, 1[.

(2) Supposons que, pour tout k ∈ N, p _n,k −→

n→∞ p _k . Montrer que la suite de fonctions g´ en´ eratrices (G _X

) _n≥1 converge simplement vers G _X sur [0, 1].

(3) Etablir la r´ eciproque.

Exercice 12. Soit (X i ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que P (X i = −1) = P (X i = 1) = ¹ ₂ pour tout i. Posons S 0 = 0 et S k = |X 1 + · · · + X k | pour tout k ≥ 0. Pour tout entier n ≥ 0, on d´ efinit la suite (U _k ⁽ⁿ⁾ ) _k≥0 de variables al´ eatoires par U ₀ ⁽ⁿ⁾ = n et U _k+1 ⁽ⁿ⁾ = S _U

pour tout k ≥ 1.

(1) D´ emontrer que la suite (U _k ⁽ⁿ⁾ ) k≥0 converge presque sˆ urement vers une limite not´ ee U ⁽ⁿ⁾ . (2) D´ eterminer la loi de la variable al´ eatoire sup _n≥0 U ⁽ⁿ⁾ .

Exercice 13. Soient p ∈]0, 1[\{1, 2} et (X n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de mˆ eme loi telle que P (X 1 = 1) = 1 − P (X n = −1). Posons S 0 = 0. Pout tout n ≥ 1, on pose S n = X 1 + · · · + X n et A n = {S n = 0}.

(1) Interpr´ eter l’´ ev´ enement lim A n . (2) Montrer que P lim A _n

= 0.

(3) Lorsque p = 1/2, la formule de Stirling permet d’obtenir l’´ equivalent suivant :

P (Z 2n = 0) ∼

n→∞

√ 1 πn . Peut-on en d´ eduire directement que P lim A n

= 1 avec les lemmes de Borel-Cantelli ?

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