Processus de Poisson

UPS TOULOUSE III PROBABILIT ´ ES & STATISTIQUES

MIM, TP8 2007

Processus de Poisson

1 Introduction au processus de Poisson.

Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees de loi exponentielle E(λ) avec λ > 0. Si S _n = X ₁ + X ₂ + · · · + X _n , N ₀ = 0 et pour tout t > 0

N t =

∞

X

n=1

1I _(S

≤t) ,

(N _t ) est un processus de Poisson d’intensit´ e λ.

Exercice 1. Montrer que, pour tout t > 0, N t suit une loi de Poisson P(λt). En d´ eduire un code Matlab permettant de g´ en´ erer un vecteur al´ eatoire Y contenant N r´ ealisations i.i.d. de loi P (λ) o` u les valeurs N ≥ 1 et λ > 0 sont affect´ ees par l’utilisateur. Pour N assez grand, v´ erifier la loi des grands nombres sur les moyennes empiriques successives de Y .

Exercice 2. Soit (N _t ) un processus ponctuel de Poisson d’intensit´ e λ avec λ > 0. Quelle est la loi conditionnelle de N s sachant N t avec 0 < s < t, puis plus g´ en´ eralement de N s

, N s

− N s

, . . . , N s

− N s

sachant N t avec 0 < s 1 < s 2 < . . . < s n < t.

2 Paradoxe de l’autobus.

Soit (N _t ) un processus de Poisson d’intensit´ e λ > 0. On appelle S _n l’instant du n ^e saut du processus et on pose S ₀ = 0. On pose ensuite

Z _t = t − S _N

et W _t = S _N

₊₁ − t.

Exercice 3. Calculer la loi du couple (Z t , W t ). Montrer que Z t et W t sont ind´ ependantes et que W _t suit une loi exponentielle de param` etre λ. Donner la loi de Z _t et v´ erifier que Z _t a la mˆ eme loi que min(S ₁ , t). Montrer que la fonction de r´ epartition de Z _t tend vers la fonction de r´ epartition de S 1 quand t tend vers +∞. Calculer E [Z t + W t ]. Trouver sa limite quand t tend vers +∞.

Que pensez-vous de ce r´ esultat? Finalement, on consid` ere les arriv´ ees successives d’un autobus

`

a un arrˆ et donn´ e comme d´ efinissant un processus de Poisson de param` etre λ > 0. Un passager potentiel arrive ` a l’arrˆ et ` a l’instant t. Quelle est l’esp´ erance de son temps d’attente?

3 Mesure de comptage.

Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes de mˆ eme loi µ. Soit τ une vari- able al´ eatoire ` a valeurs dans N ind´ ependante de la suite (X _n ). Pour un bor´ elien B de R tel que 0 < µ(B) < 1, on d´ efinit la variable al´ eatoire N (B ) = P τ

n=1 1I B (X n ) si τ ≥ 1 et N (B ) = 0 sinon.

Exercice 4. Calculer la loi de probabilit´ e de N (B ) et la loi du couple (N (B), N (B ^c )). Montrer que τ suit une loi de Poisson si, et seulement si, pour tout borelien B, N (B) et N (B ^c ) sont ind´ ependantes. D´ eterminer la loi de N (B) dans ce cas.

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