E xercice 4. Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires réelles à densité surRtel que : – Xsuit une loiΓ(, λ) (de densitéfX(x) =λxe−λx1x≥),

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Ve eurs de variables aléatoires Corrigé des que ions non abordées en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Lois conditionnelles

E ^{xercice 4.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables aléatoires réelles à densité surR^tel que : – Xsuit une loiΓ(, λ) (de densitéf_X(x) =λ^xe⁻^λx1x≥),

– la loi conditionnelle de Y sachantXe la loi uniforme sur le segment [, X] (ou, en d’autres termes, la densit´e conditionnelle deY sachant queX=xef_Y|X=x(y) =^_x1<y<x).

() Déterminer la densité de (X, Y) ainsi que la loi deY. () Calculer la densité conditionnelle deXsachantY. () Calculer les quantités suivantes :

(a) E[Y|X], (b) E[X|Y],

(c) E[X+XY|Y],

(d) E[E[Y|X]],

(e) E[XY] (on pourra utiliser le fait queE[X^] =_λ^).

Corrig´e :

() Par d´efinition,

f_Y|X=x(y) =f(X,Y)(x, y) f_X(x) , o ùf(X,Y)ela densité de (X, Y). On en déduit que

f_(X,Y₎(x, y) =f_Y|X=x(y)·f_X(x) =λ^e⁻^λx1<y<x. La loi deY ealors à densité, de densitéf_Y donnée par

f_Y(y) = Z

R

f_(X,Y₎(x, y)dx=λ^ Z ^∞

y

e⁻^λxdx1_y>=λe⁻^λy1_y>. Ainsi,Y suit une loi exponentielle de param`etreλ.

() Par d´efinition,f_X|Y=y(x) edonn´e par

f_X|Y=y(x) =f_(X,Y₎(x, y)

fY(y) =λe⁻^λx+λy1<y<x. () (a) On aE[Y|X] =Ψ_(X), avec

Ψ_(x) =E[Y|X=x] = Z

R

yfY|X=x(y)dy= Zx



y

xdy1x>=x

1x>. Ainsi,E[Y|X] =^X_.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

(b) On aE[X|Y] =Ψ_(Y) avec

Ψ_(y) =E[X|Y =y] = Z

R

xf_X|Y=y(x)dx=λe^λy1_y>

Z^∞

y

xe⁻^λxdx.

Pour calculer cette int´egrale, on fait le changement de variableu=x−y, de sorte que Ψ_(y) =1_y>

Z^∞

 (u+y)λe⁻^λudu= 

λ+y 1_y>.

Ainsi,E[X|Y] =_λ^+Y. (c) On a

(d) On sait que E[E[Y|X]] = E[Y]. Comme Y suit une loi exponentielle de param`etre λ, on a donc E[E[Y|X]] =/λ.

(e) Pour simplifier le calcul, l’id´ee ed’´ecrireE[XY] =E[E[XY|X]]. En effet,E[XY|X] =XE[Y|X] = ^X_^, donc

E[XY] =E

"

X^



#

=E[X^]

 =  λ^.

 Ve eurs gaussiens

E ^{xercice 5.}

^Soit^X^{= (X}, X_, X_) un veeur gaussien centr´e de matrice de covariance Γ =







  

  

  







() Que peut-on dire deX_et de (X_, X_) ? () Quelle ela loi de (X_, X_) ?

() Montrer que pour touta∈Rle veeur (X_, X_+aX_) eun veeur gaussien.

() En choisissantade sorte queX_etX_+aX_soient ind´ependants, calculerE[X_|X_].

Corrig´e :

() On voit que pouri=eti=on a Cov(X_X_i) =. DoncX_eind´ependant du veeur gaussien (X_, X_).

() Le veeur gaussien (X_, X_) ecentr´e, de matrice de covarianceΓ_=







 

 





.

() Tout combinaison de linéaire deX_et deX_+aX_eune combinaison linéaire deX_et deX_, donc eune variable gaussienne car (X_, X_) eun veeur gaussien. Donc le veeur (X_, X_+aX_) egaussien (centré).

() Comme le veeur (X_, X_+aX_) e gaussien (centr´e),X_ etX_+aX_ sont ind´ependants si et seulement si Cov(X_, X_+aX_) =. Or

Cov(X_, X_+aX_) =E[X_(X_+aX_)]−E[X_]E[X_+aX_] =E[X_^] +aE[X_X_] =+a.



(3)

En prenanta=−, on en d´eduit queX_−X_etX_sont ind´ependants.

Pour calculer E[X_|X_], l’id´ee e de choisirα, β pour avoir X_ =α(X_−X_) +βX_ : en ´ecrivant X_ =

−^

(X_−X_) +^_X_, on obtient donc : E[X_|X_] =−

E[X_−X_|X_] +E 

X_|X_

=−

E[X_−X_] +

X_=

X_.

E ^{xercice 6.}

^Soit^Xune variable al´eatoire de loi normaleN(,). Poura >, on poseY_a=X1^|X|<a−X1^|X|≥a. () Montrer queY_aeune variable al´eatoire normaleN(,).

() Montrer qu’il exie un unique réela >tel queCov(X, Y_a) =. Les variables aléatoiresXetY_asont-elles alors indépendantes ? Le veeur (X, Ya) e-il un veeur gaussien ?

Corrig´e :

() On applique la méthode de la fonion muette. Soith :R →R continue bornée. On calculeE[h(Y_a)]. En remarquant queE[h(Y_a)] =h(X)1^|X|<a+h(−X)1^|X|≥a, en utilisant la linéarité de l’espérance, la formule de transfert et le changement de variabley=−x:

E hh(Y_a)i

= Z

|x|≤a

h(x) 

√πe⁻^x^^dx+ Z

|x|≥a

h(−x) 

√πe⁻^x^^dx

= Z

|x|≤a

h(x) 

√πe⁻^x^^dx+ Z

|x|≥a

h(x) 

√πe⁻^x^^dx

= E[h(X)].

DoncY_aetXont la même loi, d’o ù le résultat.

() On aE[Y_a] =E[X] =, et par linéarité de l’espérance E[Y_aX] =E

hX^1^|X|<a

i−E

hX^1^|X|≥a

i.

OrE

hX^1|X|<a

i+E

hX^1|X|≥a

i=E[X^] =. Ainsi,Cov(X, Y_a) =si et seulement siE

hX^1|X|<a

i=/. On voit ais´ement quea7→E

hX^1^|X|<a

ie riement croissante, vautenet tend versen +∞. Il exie donc un unique r´eela >tel queCov(X, Ya) =(num´eriquement,a'.).

Si X et Y_a étaient indépendantes, le veeur (X, Y_a) serait à densité et donc on aurait P(X=Y_a) = . Or P(X=Y_a) =P(|X|< a)>. DoncXetY_ane sont pas indépendantes. En particulier, (X, Y_a) n’epas un veeur gaussien.

 

 Plus appliqu´e (hors PC)

E ^{xercice 8.}

(Erreurs dans la mesure de la position d’une étoile & Loi de Herschel ()) Pour repérer une étoile on utilise deux nombres, l’ascension droitex(équivalent sur la sphère célee de la longitude terrere) et la déclinaisony



(4)

(équivalent sur la sphère célee de la lattitude terrere). À cause des erreurs de mesure, on modélise l’ascension droite par une variable aléatoire réelleXet la déclinaison par une variable aléatoire réelleY.

Déterminerf_(X,Y₎, la densité de (X, Y), en faisant les hypothèses naturelles suivantes : () f_X=f_Y =f (densité de probabilité communef, de classeC^) ;

() XetY sont ind´ependantes ;

() Il exie une foniongde classeC^telle quef(X,Y)(x, y) =g x^+y^

pour tousx, y(commenter cette hypoth`ese).

Corrig´e :

Tout d’abord, l’hypothèse () signifie qu’on suppose que le repère choisi eartbitraire et que le faire tourner d’un certain angle ne devrait pas affeer la densité de probabilité.

Pour tousx, y∈Ron af_(X,Y₎(x, y) =f_X(x)f_Y(y) =f(x)f(y) =g(x^+y^). En d´erivant par rapport `ax, on obtient f⁰(x)f(y) =xg⁰(x^+y^), de sorte que et on a donc

f⁰(x)

xf(x)=g⁰(x^+y^)

g(x^+y^) = f⁰(y)

yf(y). Cela signifie que le quotient de gauche e ´egal `a une conantec:

f⁰(x)

xf(x)=c =⇒ d

dx(lnf(x)) =cx =⇒ f(x) =k e^cx^^/^ o ùkeune conante . On veut quef soit une densité, c.-à-d. une fonion positive telleR

Rf(x) dx=, donck > etc <, aveck=

q|c|

π.

On en déduit queXeune variable aléatoire gaussienne centrée de de variance/c.

Complément. Maxwell a utilisé cet argument enpour trouver la loi de diribution de la vitessev= (v_x, v_y, v_z) d’une molécule dans un gaz parfait à l’équilibre thermodynamique. C’edonc la généralisation évidente de ce qui précède au cas o ù on a trois dimension : on trouve

f_v(v_x, v_y, v_z) = a

π /

exp

−a

(v_x^+v_y^+v_z^)

.

Par des considérations physiques, on aa=_kT^m o ùmela masse de la moécule,kela conante de Boltzmann etT la température absolue du gaz. On a donc une variance égale à

kT /m

c.-à-d. proportionnelle à la température, ce qui e cohérent avec la physique : si on identifie une gaussienne de variance nulle avec une masse de Dirac, on retrouve qu’à température nulle, il n’y a aucune dispersion des vitesses, tandis que si la température augmente, on s’attend à avoir des écarts par rapport à la vitesse moyenne (qui e nulle) de plus en plus grands. Faire l’hypothèse que les trois composantes de la vitesse sont indépendantes eassez discutable.

E ^{xercice 9.}

^(Pale^{)}On considère le jeu de la courte paille entre deux joueurs. Une troisième personne choisit un bâton puis elle le coupe en deux. Elle présente alors les deux morceaux aux joueurs en cachant la différence de longueur dans sa main. Le premier joueur choisit un morceau et le second prend l’autre. Celui qui a le morceau le plus long gagne.

La longueurU du bâton e supposée suivre la loi uniforme sur [,] et les deux morceaux finaux ont pour longueur X=U V etY=U(−V) avecV de loi uniforme sur [,] indépendante deU.



(5)

() CalculerE[X] etVar(X).

() Donner la loi de−ln(U). En d´eduire sans calcul queξ=−ln(X) suit la loiΓ(,). D´eterminer la loi deX.

() Quelle e la loi de (X, Y) (faire attention au domaine image du changement de variables) ? Les longueurs des morceaux sont-elles indépendantes ? Comparer les lois de (Y , X) et de (X, Y). Le jeu e-il équitable ? Retrouver la densité deX.

Corrig´e :

() PuisqueU etV sont ind´ependantes,E[X] =E[U V] =E[U]E[V] =/. De mˆeme,E[X^] =E[U^]E[V^] =

/et Var(X) =/−/=/.

() On sait que −ln(U) suit la loi exponentielle de paramètre  (voir Exercice  () ou paragraphe .. du poly). La variable aléatoireξedonc la somme de deux variables exponentielles de paramètreet suit donc une loiΓ(,), de densitéxe⁻^x1_x>. Pour déterminer la loi deX, on utilise la méthode de la fonion muette.

Soith:R→Rune fonion continue bornée. On calculeE[h(X)] avec le théorème de transfert puis avec le changement de variablex=e⁻^z:

E[h(X)] =E

hh(e⁻^ξ)i

= Z ∞

 h(e⁻^z)ze⁻^zdz=− Z_

 φ(x) ln(x)dx.

DoncXe à densité, de densité−1<x<ln(x).

() On utilise la méthode de la fonion muette. Soit h : R^ → R une fonion conitbue bornée. D’après le théorème de transfert :

E[h(X, Y)] =E[h(U V , U(−V)] = Z _



Z_

 h(uv, u(−v))dudv.

On a donc envie de faire le changement de variable x=uv et y =u(−v). Par ailleurs  < u, v < si et seulement si< x+y <etx, y >. Ainsi, l’application (u, v)7→(uv, u(−v)) eunC^ diff´eomorphisme de ],[^sur{(x, y)∈],[:x+y <}, de matrice jacobienne







v u

−v −u







et donc de jacobien|u|. On a donc

E[h(X, Y)] = Z_



Z_

 h(uv, u(−v))u·dudv u

= Z

R^

h(x, y)1x>,y>,x+y<

x+y dxdy.

Le couple (X, Y) edonc à densité, de densité donnée parf_(X,Y₎(x, y) =¹x>,y>,x+y<

x+y .

Comme cette quantit´e ne peut pas se mettre sous forme du produit d’une fonion dexpar une fonion dey.

Les variables aléatoiresXetY ne sont donc pas indépendantes. Cependant, la fonionf_(X,Y₎esymétrique en ces variables, de sorte que (X, Y) et (Y , X) ont la même loi, ce qui entraˆıne que

P(X < Y) =P(Y < X) =−P(X=Y)

 =−



si bien que le jeu e équitable. On retrouve la densité deXen intégrant par rapport ày: f_X(x) =

Z

R

f_(X,Y₎(x, y)dy=1_x>

Z

R

1<y<−x

dy

x+y =1<x<

Z_⁻x



dy

x+y =−1<x<ln(x)



(6)

E xercice 10.

(Simulation d’une loi de Poisson) Soit (U_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme, et soitλ >. On poseEn=−ln(Un)/λpour toutn≥etTn=E_+· · ·+En.

() Identifier la loi de (Ei)_^≤i≤n, puis la loi deTncomme une loi (presque) classique.

() On poseN= min{n≥:U_U_· · ·U_n+< e⁻^λ}. Montrer queN suit une loi de Poisson de param`etreλ.

Corrig´e :

() Soit≤i≤n. Six≤, on aP(E_i≤x) =, et pourx≥on a P(E_i≤x) =P

U_n≥e⁻^λx

=−e⁻^λx.

DoncE_i suit une loi exponentielle de paramètreλ. Par ailleurs, d’après le principe de composition, les variables aléatoires (E_i)_≤i≤nsont indépendantes.

Ainsi,Tn suit la loiΓ(n, λ) comme somme denvariables aléatoires exponentielles indépendantes de même paramètreλ >.

() Soitn≥un entier. Comme les événements{N=n}et{T_≤, T_≤, . . . , T_n+>}sont égaux, on a, en utilisant le théorème de transfert :

P(N =k) = P(E_≤, E_+E_≤, . . . , E_+· · ·+E_n≤, E_+· · ·+En+>)

= Z

],∞[^n+

1x_≤,x_+x_≤,...,x_+···+x_n≤,x_+···+x_n+>λ^n+e⁻^λ(x^⁺^···^+x^n+⁾dx_· · ·dxn

L’application (x_, . . . , x_n+)7→(x_, x_+x_, . . . , x_+· · ·+x_n+) eunC^diff´eomorphisme de ],∞[^n+sur{(y_, . . . , y_n+)∈ ],∞[^n+:y_< y_<· · ·< yn+}de jacobien. Le changement de variableyi=x_+· · ·+xidonne

P(N =k) = Z

<y_<···<y_n≤,y_n+>λ^n+e⁻^λy^n+dy_· · ·dy_n+

= e⁻^λλⁿ Z

<y_<···<y_n≤dy_· · ·dy_n

= e⁻^λλⁿ Z

<y_<···<y_n≤y_dy_· · ·dy_n

= e⁻^λλⁿ Z

<y_<···<y_n≤

y_^

 dy_· · ·dyn

= e⁻^λλⁿ Z

<yn≤

y_nⁿ⁻^

(n−)!dy_n (par r´ecurrence)

= e⁻^λλⁿ n!, ce qui conclut.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

^(Pale)SoientXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes de lois respeivesΓ(α, λ) etΓ(α+/, λ), avecα >etλ >. On pose (V , W) = (

√ XY ,

√

Y). D´eterminer la loi de (V , W).

On rappelle que la densité de la loiΓ(a, λ)e(c.f. Seion..du poly)_Γ^_(a)λâxâ⁻^e⁻^λx1_x>avecΓ(a) =R^∞

 z^a⁻^e⁻^zdz.



(7)

Corrigé : CommeX et Y sont indépendantes, la loi de (X, Y) a pour densité (x, y)7→ f_X(x)f_Y(y), o ù f_X et f_Y désignent les densités deXetY. On utilise alors la méthode de la fonion muette :

E[h(V , W)] = E hh(

√ XY ,

√ Y)i

= Z

R^

h(√ xy,√

y)f_(X,Y₎(x, y)dxdy

= Z

R^

h(√ xy,√

y)f_X(x)f_Y(y)dxdy

= λ^{α+/}

Γ(α)Γ(α+/) Z

],∞[^

h(√ xy,√

y)(xy)^α⁻^/^e⁻^λ(x+y)dxdy

√ x . On consid`ere le changement de variablev=√

xy, w=√

yqui eunC^diff´eomorphisme de ],∞[^dans lui-mˆeme.

Le calcul du d´eterminant de la matrice jacobienne donne dvdw=dxdy

√ x. Ainsi, avecy=w^etx=v^/w^,

E[h(V , W)] = λ^^α+^^/^ Γ(α)Γ(α+/)

Z

],∞[^

h(v, w)v^^α⁻^e⁻^λ(w^⁺^v

 w)

dvdw.

Ainsi, (V , W) eà densité et sa densité edonnée par f(V ,W)(v, w) = λ^{α+/}

Γ(α)Γ(α+/)v^α⁻^e⁻^λ(w^⁺^v



w)1v>,w>.

E xercice 12.

SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes telles queE[|X|^p]<∞,E[|Y|^p]<∞pour un certain p≥etE[Y] =. MontrerE[|X+Y|^p]≥E[|X|^p].

Indication. On pourra montrer que g :y 7→E[|X+y|^p] e convexe et utiliser l’exercicede la PC , qui dit que lorsqueXetYsont indépendants, on aE[F(X, Y)] =E[G(Y)] o ùGela fonion définie parG(y) =E[F(X, y)] pour tout y∈R.

Corrig´e :

Tout d’abord, on sait qu’àxfixé la fonionf_x(y) =|x+y|^peconvexe. Ainsi, poura < bet≤λ≤,f_x(λa+ (− λ)b)≤λfx(a) + (−λ)f_x(b). En remplaçantxparX, en prenant l’espérance et utilisant la linéarité de l’espérance, on obtient queg(λa+ (−λ)b)≤λg(a) + (−λ)g(b), de sorte quegeconvexe.

Ensuite, par indépendance (deuxième partie de l’indication), on aE[|X+Y|^p] =E[g(Y)]. D’après l’inégalité de Jensen,g(E[Y])≤E[g(Y)]. OrE[Y] =et donc

E[|X|^p] =g() =g(E[Y])≤E[g(Y)] =E[|X+Y|^p].

E xercice 13.

Soient X_, . . . , Xn des variables aléatoires exponentielles indépendantes de même paramètre λ >avec n≥. On poseS_n=X_+· · ·+X_n.

() Identifier la loi deS_ncomme une loi (presque) classique.

() Trouver la densit´e conditionnelle deX_sachant queS_n=t.



(8)

() En déduire la valeur de l’espérance conditionnelle deX_sachantS_n. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Corrig´e :

() S_nsuit la loiΓ(n, λ) comme somme denvariables aléatoires exponentielles indépendantes de même paramètre λ >.

() On commence par déterminer la loi jointe (X_, Sn) par la méthode de la fonion muette. Soith:R^→Rune fonion continue bornée et on calculeE[X_, S_n]. Pour simplifier les calculs, on remarque queS_n=X_+Yavec Y indépendante deX_et qui suit une loiΓ(n−, λ). Donc

E[h(X_, S_n)] = E[h(X_, X_+Y]

= Z

],∞[^

h(x, x+y)λe⁻^λx· λⁿ⁻^

(n−)!yⁿ⁻^e⁻^λydxdy.

L’application (x, y)7→(x, x+y) eunC^diff´eomorphisme de ],∞[^sur{(u, v)∈],∞[^:u < v}, de jacobien.

On fait alors changement de variableu=xetv=x+y: E[h(X_, Sn)] =

Z

R^

h(u, v) λⁿ

(n−)!(v−u)ⁿ⁻^e⁻^λv1v>u>dudv.

Donc (X_, S_n) eà densité, de densité donnée par f(u, v) = λⁿ

(n−)!(v−u)ⁿ⁻^e⁻^λv1v>u>. La densit´e conditionnelle deX_sachant queSn=tvaut donc

fX_|S_n=t(u) =

λⁿ

(n−)!(t−u)ⁿ⁻^e⁻^λt1t>u>

λⁿ

(n−)!tⁿ⁻^e⁻^λt = (n−)(t−u)ⁿ⁻^ tⁿ⁻^ 1t>u>

() On a donc

E[X_|S_n=t] = Z

R

uf_X_|S_n=t(u)du=n− tⁿ⁻^

Z t

 u(t−u)ⁿ⁻^du=n− tⁿ⁻^

Zt

(t−u)uⁿ⁻^du

= n−

tⁿ⁻^ t· tⁿ⁻^ n−−tⁿ

n

!

= t n Ainsi,

E[X_|Sn] =S_n n.

Retrouvons ce résultat en utilisant la symétrie du problème. Par symétrie, on aE[X_|Sn] =E[X_|Sn] =· · ·= E[X_n|S_n] =Ψ(S_n). Alors

E xercice 14.

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires réelles à densité surR^. On suppose queXetYsont indépendantes.

() Montrer queE[X|Y] =E[X].

() Plus g´en´eralement, montrer queE[h(X, Y)|X] =Φ(X), avecΦ(x) =E[h(x, Y)].



(9)

Corrig´e :

() Par d´efinition,E[X|Y] =Ψ(Y), avec

Ψ(y) = Z

R

xf(X,Y)(x, y) f_Y(y) dx.

OrXetY sont ind´ependantes, doncf_(X,Y₎(x, y) =f_X(x)f_Y(y). On en d´eduit que Ψ(y) =

Z

R

xf_X(x)dx=E[X]. DoncE[X|Y] eune variable al´eatoire conante qui vautE[X].

() Par d´efinition,E[h(X, Y)|X] =Φ(X) avec

Φ(x) = Z

R

h(x, y)f_(X,Y₎(x, y) fX(x) dy=

Z

R

h(x, y)f_Y(y)dy=E[h(x, Y)].

E xercice 15.

(Réarrangement croissant de variables uniformes)SoientX_, . . . , X_ndes variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [,]. L’exercice de la PC montre qu’il exie une permutation aléatoireσ telle que P

X_σ()<· · ·< X_σ(n)

=et que la loi deσ euniforme sur l’ensemble des permutations de longueurn. On pose (Y_, . . . , Yn) = (Xσ(), . . . , Xσ(n)).

() D´eterminer la loi de (Y_, . . . , Y_n).

() D´eterminer la loi de (Y_/Y_, . . . , Yn−/Yn).

Corrig´e :

() Soit f : [,]ⁿ → R une fonion continue born´ee. On a, en notant S_n l’ensemble des permutations de {,, . . . , n},

E[f(Y_, . . . , Yn)] = X

σ∈S_n

Z

{≤x_σ_<...<x_σn≤}

f(xσ_, . . . , xσ_n)dx_. . . dxn

= n!

Z

{≤x_<...<x_n≤}

f(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n. La loi de (Y_, . . . , Yn) edonc à densité, de densité donnée par

n!1^{_^≤x_<...<x_n≤}dx_. . . dxn. () Soit maintenantg: ],[ⁿ⁻^→Rune fonion continue born´ee. On a

E

"

g Y_

Y_, . . . ,Yn−

Y_n

!#

=n!

Z

{<x_<...<x_n<}

g x_

x_, . . . ,xn−

x_n

!

dx_. . . dxn.

Alorsφ: (x_, . . . , x_n)∈ {< x_< . . . < x_n<} 7→_x_

x_, . . . ,^x_xⁿ⁻^

n , x_n

∈],[ⁿeunC^-diff´eomorphisme de jacobien

égal à (x_. . . xn)⁻^. Ainsi, d’après la formule de changements de variables puis le théorème de Fubini-Tonelli, on a

E

"

g Y_

Y_, . . . ,Yn−

Y_n

!#

= n!

Z

],[ⁿ

g(u_, . . . , un−)u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^u_nⁿ⁻^du_. . . dun

= (n−)!

Z

],[ⁿ⁻^g(u_, . . . , u_n−)u_u^_. . . u_nⁿ−⁻^du_. . . du_n−.



(10)

Donc la loi de (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n) e

(n−)!u_u_^. . . u_nⁿ⁻−^1_],[ⁿ⁻^(u_, . . . , u_n−)du_. . . du_n−.

Remarque : les variables Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n sont donc ind´ependantes, et chaque Y_i/Y_i+ e de loi iyⁱ⁻^1_],[(y)dy.

E xercice 16.

(Réarrangement croissant de lois exponentielles) Soientλ_, . . . , λn>. On considère des variables aléatoires (E_i)_≤i≤n indépendantes telles queE_k suit une loi exponentielle de paramètreλ_k. On noteE_()≤E_()≤ · · · ≤E_(n)les variables aléatoires (Ei)_^≤i≤nréarrangées dans l’ordre croissant.

() Montrer queE()suit une loi exponentielle de param`etreλ_+· · ·+λn. () Montrer queP

E_()< E_()

=(ainsi le minimum des variables eatteint une unique fois presque s ˆurement).

() On noteN = min{≤i≤n:E_i =E_()}. Montrer queN etE_()sont ind´ependants, et queP(N=k) = _λ ^λ^k

+···+λ_n pour tout≤k≤n.

Corrig´e :

() Six <, on aP

E_()≥x

=. Six≥, on a

P

E_()≥x

=P(E_≥x, . . . , E_n≥x) = Yn

i=

P(E_i≥x) =e⁻^Pⁿ^i=^λⁱ. DoncE()suit une loi exponentielle de param`etreλ_+· · ·+λn.

() On remarque que l’événement{E_()< E_()}contient l’événement{∀i, j∈ {,, . . . , n}tel quei,jon aX_i,X_j}. Il suffit donc de montrer que ce dernier événement ede probabilitéou, de manière équivalente, que son complémentaire ede probabilité nulle. Pour cela, on adapte l’argument de l’exercice() de la PC: on a

P

∃i, j∈ {,, . . . , n}:i,jetE_i=E_j

≤ X

i,j∈{,,...,n},i,j

P

E_i=E_j .

Or, d’après le théorème de transfert, en notantf_kla densité deE_k, pouri,j, P

E_i=E_j

= E

h1E_i=E_j

i

= Z

Rⁿ

dx_dx_· · ·dx_nf_(x_)f_(x_)· · ·f_n(x_n)1x_i=x_j

= Z

R^

dxdyf_i(x)f_j(y)1x=y

= Z

R

dxf_i(x) Z x

x

f_j(y)dy

= .

D’o `u le r´esultat.

() Calculons pour un entier  ≤ k ≤n et t ≥ la quantit´e P

E_()> t, N=k

en remarquant les ´ev´enements



(11)

{E_()> t, N=k}et{E_k> t, E_j> E_k pour toutj,k}sont ´egaux : P

E()> t, N =k

= P

Ek> t, Ej> Ekpour toutj,k

= Z

],∞[ⁿ

1_x_k_>t,x_j_>x_k_{pour tout}_i,k Yn

i=

λ_ie⁻^λⁱ^xⁱdx_i

= Z

],∞[

1x_k>tλ_ke⁻^(λ^⁺^···^+λ^k^)x^kdx_k

= e⁻^t(λ^⁺^···^+λⁿ⁾· λ_k λ_+· · ·+λn

. En prenantt=, on trouve queP(N=k) =_λ ^λ^k

+···+λ_n, ce qui permet d’identifier la loi deN, et en réinjeant dans l’égalité précédente on voit que

P

E_()> t, N=k

=P

E_()> t

P(N =k).

Ceci étant valable pour toutt∈R(il n’y a rien à faire sit <) et≤k≤n, on en déduit queE()etN sont indépendants.

E xercice 17.

(Processus de Poisson) Soit (X_n, n≥) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur (Ω,A,P), de même loi exponentielle de paramètre. On poseT_=et pour toutn≥,T_n=X_+. . .+X_n. Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}. () Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

() En d´eduire la loi deN_tpour toutt >.

() Pourn≥ett >, on d´efinit surΩune nouvelle mesure de probabilit´eQ^n,tpar la formule

Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t=n})

P(Nt=n) pour tout A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , Tn) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t.

Corrig´e : () Soitf :Rⁿ

+→R, une fonion continue born´ee. On a E(f(T_, . . . , Tn)) =

Z

Rⁿ₊

f(x_, x_+x_, . . . , x_+x_+. . .+xn)e⁻^(x^^+x^^+...+xⁿ⁾dx_. . . dxn.

Orφ: (x_, . . . , x_n)∈(R^∗₊)ⁿ7→(x_, x_+x_, . . . , x_+x_+. . .+x_n)∈ {< t_< . . . < t_n}eunC^-difféomorphisme de jacobien égal àdonc d’après la formule du changement de variables,

E(f(T_, . . . , T_n)) = Z

Rⁿ₊

f(t_, t_, . . . , t_n)e⁻^tⁿ1^{_<t_<...<t_n}dt_. . . dt_n,

ce qui signfie que la loi de (T_, . . . , Tn) a pour densit´ee⁻^tⁿ1^{_<t_<...<t_n}par rapport `a la mesure de Lebesgue sur Rⁿ.



(12)

() Soit n ∈ N. On remarque que P(N_t =n) = P(T_n ≤ t, T_n+ > t) (car avec probabilité  la suite (T_n)_n≥ e croissante). On en déduit d’après la queion () que pourn≥,

P(Nt=n) = Z

R^n+₊

e⁻^t^n+1^{_<t_<...<t_n<t_n+}1^{t_n≤t}1^{t_n+>t}dt_. . . dtndtn+

= Z

Rⁿ₊

1{<t_<...<t_n≤t}dt_. . . dt_n Z^∞

t

e⁻^t^n+dt_n+

= tⁿ n!e⁻^t,

o ù la deuxième égalité eune conséquence du théorème de Fubini-Tonelli. Et l’on a

P(Nt=) =P(T_> t) =P(X_> t) = Z^∞

t

e⁻^xdx=e⁻^t.

On voit queNtsuit la loi de Poisson de paramètret (c’een fait ce qu’on avait déjà démontré à la queion () de l’exercice).

() NotonsE^Q

n,t l’espérance – c’e-à-dire l’intégrale au sens de Lebegue – par rapport à la mesure de probabilité Q^n,t. Alors, pour tout fonion continue bornéeF:R→Ron a

E^Q

n,t[F] =

E[F1{N_t=n}]

P(N_t=n) . ()

En effet, la formule de l’énoncé donne la version ensemblie (définition des probabilitésQ^n,t(A)) et () e la version fonionnelle pour des variables aléatoires. Comme d’habitude en théorie de la mesure, on passe du point de vue ensemblie au point de vue fonionnel par approximation par des fonions étagées. Plus précisément, par définition,

Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t=n})

P(N_t=n) pour tout A∈ A. On en d´eduit que

E^Q

n,t[F] =

E[F1^{N_t=n}] P(N_t=n) pour toute fonion ´etag´eeF. En effet, siFn=Pk

i=ai1B_i, alors

E^Q

n,t[F] =

k

X

i=

aiE^Q

n,t[1B_i]

= Xk

i=

a_iQ^n,t(B_i) (linéarité de l’espérance)

= Xk i=

a_iP(B_i∩ {N_t=n})

P(N_t=n) (par d´efinition deQ^n,t)

=

k

X

i=

ai

E[1B_i∩{N_t=n}]

P(N_t=n) (la probabilit´e deBi∩ {Nt=n}el’esp´erance de1B_i∩{N_t=n})

=

E[(Pk

i=ai1B_i)1^{N_t=n}]

P(Nt=n) (linéarité de l’espérance)

=

E[F1^{N_t=n}]

P(N_t=n) (par d´efinition deF).



E xercice 4. Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires réelles à densité surRtel que : – Xsuit une loiΓ(, λ) (de densitéfX(x) =λxe−λx1x≥),

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Ve eurs de variables aléatoires Corrigé des que ions non abordées en PC

 Lois conditionnelles

E xercice 4.

 Ve eurs gaussiens

E xercice 5.

E xercice 6.

 

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 8.

E xercice 9.

E xercice 10.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

E xercice 12.

E xercice 13.

E xercice 14.

E xercice 15.

E xercice 16.

E xercice 17.

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}

E ^{xercice 8.}

E ^{xercice 9.}