M ath ematiques ´ - ECS1
28
V ariables al eatoires ´ a densit ` e ´ .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2013, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
28.1 Objectifs
Définition d’une variable aléatoire à densité. On dit qu’une variable aléatoireXest à densité si sa fonction de répartition FX est continue surR et de classeC1 sur Réventuellement privé d’un ensemble fini de points.
Toute fonction fX à valeurs positives, qui éventuelle- ment ne diffère deF0Xqu’en un nombre fini de points, est une densité deX.
Pour toutxdeR,FX(x)=Z x
−∞
fX(t) dt.
Caractérisation de la loi d’une variable aléatoire à densité par la donnée d’une densité fX.
Toute fonction f positive, continue sur R éventuel- lement privé d’un nombre fini de points, et telle que Z +∞
−∞
f(t) dt = 1 est la densité d’une variable aléa- toire.
Résultat admis.
Transformation affine d’une variable à densité. Les étudiants devront savoir calculer la fonction de répartition et la densité deaX+b(a,0).
Espérance d’une variable à densité.
Variables aléatoires centrées.
Une variable aléatoire X de densité fX admet une espérance E(X) si et seulement si l’intégrale Z +∞
−∞
x fX(x)dxest absolument convergente ; dans ce cas, E(X) est égale à cette intégrale.
Exemples de variables aléatoires n’admettant pas d’espérance.
Loi uniforme sur un intervalle. Espérance. NotationX,→ U[a,b].
X,→ U[0,1]⇐⇒Y=a+(b−a)X,→ U[a,b].
Loi exponentielle. Caractérisation par l’absence de mémoire. Espérance.
NotationX,→ E(λ).
X,→ E(1)⇐⇒Y =1
λX,→ E(λ) (λ >0).
Loi normale centrée réduite, loi normale (ou de Laplace-Gauss). Espérance.
NotationX,→ N(µ, σ2).
X,→ N(µ, σ2)⇔X∗=X−µ
σ ,→ N(0,1) avecσ >0.
On attend des étudiants qu’ils sachent représenter graphiquement les fonctions densités des lois nor- males et utiliser la fonction de répartitionΦde la loi normale centrée réduite.
28.2 Variables aléatoires à densité 28.2.1 Fonctions de répartition et densités.
2
28.2 Variables aléatoires à densité 3
Définition 1. On appelle variable aléatoire à densité toute variable aléatoireX dont la fonction de répartitionFX estcontinue surRet de classeC1surRsauf éventuellement en un nombre fini de points.
Toute fonction f positive ou nulle telle que f(x) = F0X(x) sauf éventuellement en un nombre fini de points est appelée une densité de f.
Remarque1.(1) Il n’ y a pas unicité de la densité pour une variable aléatoire réelle à den- sité.
(2) Une densité est toujours positive ou nulle : cela résulte de la croissance de la fonction de répartition.
Exemple 1. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
0 six<0 x si 06x61 1 six>1
La fonctionFX est continue surRet de classeC1surR\ {0,1}.
~i
~j
0 x
y
Graphe de y=FX(x)
La variable aléatoireXest donc une variable aléatoire à densité et une densité deXest la fonction définie par
fX(x)=
0 six<0 1 si 06x61 0 six>1
~i
~j
0 x
y
Graphe de y=fX(x)
Exemple 2. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
(0 six<1 1−1
x six>1
~i
~j
0 x
y
Graphe de y=FX(x)
Exemple 3. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
0√ six<0 x si 06x61 1 six>1
~i
~j
0 x
y
Graphe de y=FX(x)
Exemple 4. Soit λ un réel strictement positif et X la variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
(0 six<0 1− e−λx six>0
Exemple 5. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
0 six<−1
x+2
4 si −16x61 1 six>1
~i
~j
0 x
y
Graphe de y=FX(x)
Proposition 1. Soit X une variable aléatoire à densité.
∀x∈R, P(X=x)=0.
28.2 Variables aléatoires à densité 5
Proposition 2. Soit X une variable aléatoire à densité de fonction de répartition FX et dont une densité est fX.
Pour tout réel x, l’intégrale ci-dessous converge et FX(x)=P(X6x)=Z x
−∞
fX(t) dt
Corollaire 3. Soit X une variable aléatoire à densité dont une densité est fX. L’intégrale ci-dessous est convergente :
Z +∞
−∞
fX(t) dt=1
Corollaire 4. Soit X une variable aléatoire à densité dont une densité est fX. Quelque soient les réels a et b tels que a<b :
P(X>a)=P(X>a)=Z +∞ a
fX(t) dt et
P(a6X6b)=P(a6X<b)=P(a<X6b)=P(a<X<b)=Z b a
fX(t) dt
Exercice1.SoitXune variable aléatoire admettant pour densité la fonction définie par f(x)=α(4x−2x2)si06x62et f(x)=0sinon.
Calculer la valeur deαetP(X>1).
Théorème .Soit f :R−→Rune fonction.
La fonction f est une densité d’une variable aléatoire si et seulement si
• la fonction f est positive,
• la fonction f est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points,
• l’intégraleR+∞
−∞ f(t) dt est convergente de valeur :R+∞
−∞ f(t) dt=1.
Exercice2.Soitα∈R∗+etβ∈R.
Déterminer le réelkde telle sorte que la fonction f(α,β) : x 7→ k
α2+(x−β)2 soit une densité de probabilité.
Exercice3.Soit f la fonction deRdansRdéfinie par : f(x)= e−x
(1+ e−x)2
(1) Montrer que f est une densité de probabilité. Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoireXayant f pour densité.
(2) Soitϕla fonction deRdansRdéfinie par : ϕ(x)= ex−1
ex+1
Etudier les variations deϕ. Montrer queϕréalise une bijection deRsur]−1,1[et déterminer sa bijection réciproque.
(3) On définit une variable aléatoireYpar :Y =ϕ(X)= eX−1
eX+1 Déterminer la fonction de répartition et une densité deY.
Proposition 5. Soit X une variable aléatoire à densité dont une densité est fXet(a,b)∈ R×Ravec a,0.
La variable aléatoire Y =aX+b est une variable aléatoire à densité et une densité de Y =aX+b est donnée par
fY(x)=ε·1 afX
x−b a
!
oùεdésigne le signe de a
Remarque2.On rencontre souvent des variables aléatoires centrées et réduites de la forme Y =X−µ
σ oùσ >0.
Dans ce cas, une densité deYest donnée par fY(x)=σfX(σx+µ)
28.2.2 Espérance d’une variable aléatoire à densité
Définition 2. Une variable aléatoire à densité X dont une densité est fX admet une espéranceE(X) si et seulement sil’intégrale
Z +∞
−∞
x fX(x)dxest absolument convergente
; dans ce cas,
E(X)=Z +∞
−∞
x fX(x) dx
Exemple 6. Soit λ un réel strictement positif et X la variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
(0 six<0 1− e−λx six>0 Etudier l’espérance deX.
Exemple 7. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=(
0 six<1 1−1
x six>1 Etudier l’espérance deX.
28.2 Variables aléatoires à densité 7
Exemple 8. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)= 1 π
Arctanx+π 2
Etudier l’espérance deX.
Exemple 9. SoitXla variable aléatoire admettant pour fonction de répartition, la fonction définie par :
FX(x)=
0 six<0 x si 06x61 1 six>1 Etudier l’espérance deX.
Exemple 10. SoitXla variable aléatoire admettant pour densité, la fonction définie par : fX(x)= 1
√2π e−x
2 2
Etudier l’espérance deX.
Exercice4.On considère la fonction f définie surRpart7→ f(t)=1
2exp(−t).
Montrer que f est la densité de probabilité d’une variable aléatoireXdont on détermi- nera la fonction de répartition et l’espérance.
On dit alors queXsuit la loi de Laplace.
Exercice5.SoitI=Z 1
−1
x dx (1+x2)
√ 1−x4
.
(1) Montrer queIconverge. Déterminer sa valeur.
(2) Soit f définie par :
f(x)=
0 six<0oux>1 2x
(1+x2)
√ 1−x4
si06x<1 (a) Montrer que f est une densité de probabilité.
(b) SoitXune variable aléatoire ayant f pour densité.Xa-t-elle une espérance ?
Proposition 6. Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance et (a,b)∈R×Ravec a,0.
La variable aléatoire Y=aX+b admet une espérance donnée par E(aX+b)=aE(X)+b
Définition 3. Une variable aléatoire à densitéXdont une densité est fXadmet unmo- ment d’ordre 2 si et seulement sil’intégrale
Z +∞
−∞
x2fX(x)dxest absolument conver- gente.
Proposition 7. Toute variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2 admet une espérance.
Définition 4. Une variable aléatoire à densité X dont une densité est fX admet une varianceV(X) si et seulement sil’intégrale
Z +∞
−∞
x2fX(x)dxest absolument convergente.
Dans ce cas, en notantµl’espérance deX, la variance est donnée par V(X)=Z +∞
−∞
(x−µ)2fX(x) dx.
On dispose de la formule de Koenig : V(X)=Z +∞
−∞
x2fX(x) dx−E(X)2
28.3 Lois à densité classiques.
28.3.1 Loi uniforme
Définition 5. Soientaetbdeux réels tels quea<b.
La fonction f définie par
f(x)=
0 six<a
1
b−a sia6x6b 0 six>b est une densité de probabilité.
Toute variable aléatoireX admettant f pour densité est appeléevariable aléatoire uni- forme sur [a,b].
On dit encore que Xsuit une loi uniforme sur [a,b]et on noteX,→U([a,b]).
~i
~j
0 x
y
Graphe de la densité de la loi uniforme sur [a,b]
28.3 Lois à densité classiques. 9
Proposition 8. Soient a et b deux réels tels que a<b.
La fonction de répartition d’une variable aléatoire uniforme sur[a,b]est donnée par
FX(x)=
0 si x<a
x−a
b−a si a6x6b 1 si x>b
~i
~j
0 x
y
Graphe de la fonction de répartition de la loi uniforme sur [a,b]
Exercice6.SoitXune variable aléatoire uniforme sur[1,5].
Calculer les probabilités :P(X<3), P(X>4), P(2<X<4).
Exercice7.A partir de 7h, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt donné.
Ils passent donc à 7h00, 7h15, 7h30, etc.
Un usager se présente entre 7h00 et 7h30 à cet arrêt, l’heure d’arrivée étant une variable aléatoire uniforme sur cette période.
Trouver la probabilité qu’il doivent attendre moins de 5 minutes, puis plus de 10 mi- nutes.
Proposition 9. Soient a et b deux réels tels que a<b. Alors
X,→U([0,1])⇐⇒Y =a+(b−a)X,→U([a,b]) et
Y ,→U([a,b])⇐⇒X= Y−a
b−a ,→U([0,1])
Proposition 10. Soient a et b deux réels tels que a<b.
Toute variable aléatoire uniforme sur[a,b]admet une espérance égale à a+b 2 .
28.3.2 Loi exponentielle
Définition 6. Soit un réelλstrictement positif.
La fonction f définie par
f(x)=(
0 six<0 λe−λx six60 est une densité de probabilité.
Toute variable aléatoireXadmettantf pour densité est appeléevariable aléatoire expo- nentielle de paramètreλ.
On dit encore queXsuit une loi exponentielle de paramètreλet on noteX,→E(λ).
~i
~j
0 x
y
y=f(x)
Graphe de la densité de la loi exponentielleE(1)
Proposition 11. Soit un réelλstrictement positif.
La fonction de répartition d’une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ est donnée par
FX(x)=(
0 si x<0 1− e−λx si x60
~i
~j
0 x
y
Graphe de la fonction de répartition de la loi exponentielleE(1)
Exercice 8.On suppose que la durée d’une conversation mesurée en minutes, est une variable aléatoire exponentielle de paramètreλ= 101.
Vous arrivez à une cabine téléphonique et quelqu’un passe juste devant vous. Avec quelle probabilité devrez-vous attendre plus de 10 minutes ? entre 10 et 20 minutes ?
Proposition 12. Soit un réelλstrictement positif.
X,→E(1)⇐⇒Y= X
λ ,→E(λ)
28.3 Lois à densité classiques. 11
et
Y,→E(λ)⇐⇒X=λY,→E(1)
Proposition 13. Soit un réelλstrictement positif.
Toute variable aléatoire exponentielle de paramètreλadmet une espérance égale à 1 λ.
Définition 7. On dit qu’une variable aléatoireXsuit une loi sans mémoire lorsqueX est positive ou nulle, et si
∀(s,t)∈R+×R+, P(X>s+t)=P(X>s)P(X>t).
Proposition 14. Soit X une variable aléatoire suivant une loi sans mémoire.
Soient x,y et z des réels strictement positifs tels que P(X>x),0et P(X>y),0.
On a :
P[X>x](X>x+z)=P(X>z)et P[X>x](X>x+z)=P[X>y](X>y+z)
Théorème .Soit X une variable aléatoire réelle à densité.
La variable aléatoire X suit une loi sans mémoire si et seulement si X est presque- sûrement nulle ou si X suit une loi exponentielle.
Exercice9.Dans un bureau de poste, le service est assuré par deux employés. Lorsque Cy entre, l’un des employés sertAet l’autre s’entretient avecB.
On admet queCsera servi dès le d´spart deAouB.
Le temps passé par un employé de poste pour chaque client est distribueé exponentiel- lement avec paramètreλ >0.
Quelle est la probabilité queC soit le dernier des trois clients à quitter le bureau de poste ?
28.3.3 Loi normale
Définition 8. Soientµetσdeux réels tels queσ >0.
La fonction f définie par
f(x)= 1 σ√
2π e−(x−µ)22σ2 est une densité de probabilité.
Toute variable aléatoireX admettant f pour densité est appeléevariable aléatoire nor- male de paramètre (µ, σ2).
On dit encore queXsuit la loi normale de paramètre (µ, σ2)et on noteX,→N(µ, σ2).
~i
~j
0 x
y
Graphe de y= 1
σ√
2πe−(x−µ)22σ2
La fonction de répartition d’une variable aléatoire normale de paramètre (µ, σ2) est donc donnée par
FX(x)= 1
σ√
2π Z x
−∞
e−(t
−µ)2 2σ2 dt
Proposition 15. Soientµetσdeux réels tels queσ >0et(α, β)∈R∗×R. (1) X,→N (µ, σ2)⇐⇒Y=αX+β ,→N (αµ+β, α2σ2)
(2) X,→N (µ, σ2)⇐⇒Y= X−µ
σ ,→N (0,1)
(3) X,→N (0,1)⇐⇒Y=σX+µ ,→N (µ, σ2)
La loi normaleN(0,1) est appelée loi normale centrée réduite.
L’étude d’une variable aléatoire suivant une loi normale peut se ramener par transformation affine à celle d’une variable suivant la loiN(0,1).
La densité de la loi normale centrée réduite est donnée par
f(x)= 1
√2π e−x22
On noteΦla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : elle est donnée par
Φ(x)= 1
√2π Z x
−∞
e−t
2 2 dt
Proposition 16. La densité de la loi normale centrée réduite, définie par f(x) =
√1
2πe−x22 est une fonction paire, croissante sur ]− ∞,0], décroissante sur [0,+∞[, convexe sur]− ∞,−1]et sur[1,+∞[et concave sur[−1,1].
28.4 Exercices. 13
~i
~j
0 x
y
y=f(x)
Graphe de f(x)= 1
√2π e−x22
Proposition 17. La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, définie par Φ(x)= 1
√2π Z x
−∞
e−t
2
2 dt est une fonction croissante surR, convexe surR−et concave surR+et vérifie
Φ(x)=1−Φ(−x).
En particulier,Φ(0)=1 2.
~i
~j
0 x
y
Graphe de Φ(x)= 1
√2π Z x
−∞
e−t
2 2 dt
28.4 Exercices.
Exercice10. SoitXune variable aléatoire dont une densité est donnée par f(x)=c(1−x2) si −1<x<1 et f(x)=0 sinon. Quelle est la valeur dec? Quelle est la fonction de répartition deX?
Exercice 11. SoitX une variable aléatoire réelle suivant la loi exponentielle de para- mètre 1.
On poseY =ln( eX−1).
(1) Déterminer la fonction de répartition deYet une densité deY.
(2) CalculerE(Y).
Exercice12. SoitXune variable aléatoire réelle de densité f définie surRpar :
f(x)=
e−(x−a) six>a
0 sinon
(1) Vérifier que f est une densité de probabilité.
(2) Montrer queXadmet une espérance et donner sa valeur.
Exercice13. On considère une variable aléatoireXsuivant une loi uniforme sur l’inter- valle [0,1].
(1) Rappeler les valeurs de l’espérance et de la variance deX.
(2) On définit la variable aléatoireYparY =1+1X. Déterminer la fonction de répartition deY. En déduire une densité deY.
Exercice14. SoitXune variable aléatoire suivant une loi normale centrée et réduite. On poseY = eX. Déterminer une densité deY.
Exercice15. Montrer, dans chacun des cas suivants, que la fonction f est une densité de probabilité :
(1) f(x)=1− |1−x|si 0<x<2 et f(x)=0 sinon, (2) f(x)= 14xe−x2 six>0 et f(x)=0 sinon, (3) f(x)= 1
π
√ 1 1−x2
si−1<x<1 et f(x)=0 sinon,
(4) f(x)= 1 2 e−|x|
Exercice16. SoitXune variable aléatoire uniforme sur [0,1]. Déterminer une fonction gtelle queY =g(X) soit une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1.
Exercice17. Montrer que Z +∞
−∞
e−x2dx= √ π.
Exercice18. SoitXune variable aléatoire exponentielle de paramètreλ >0. Déterminer une densité des variables aléatoires
Y=2X+5, Z= eX, U= 1 (1+X)2
28.4 Exercices. 15
Exercice19. La vitesse d’une molécule au sein d’un gaz homogème en état d’équilibre est une variable aléatoire, dont une densité est donnée par
f(x)=ax2e−bx2six>0, etf(x)=0 sinon Exprimeraen fonction deb.
Exercice20. SoitXune variable aléatoire normale centrée réduite. Montrer que, pour touta>0,
x→lim+∞
P(X>x+ax) P(X>x) = e−a
Exercice 21. Un bus circule entre deux villesAetBdistantes de 100 kms. On admet que la distance àAde l’endroit où une panne peut se produire est une variable aléatoire uniforme sur [0,100]. Il y a un garage enAet enBet un autre à mi-distance entreAet B.
On suggère d’avoir les trois garages localisés à 25 kms, 50 kms et 75 kms deArespec- tivement. Etes vous de cet avis ? Pourquoi ?
Exercice 22. Dans tout cet exercice, les variables aléatoires sont supposées à valeurs dansR+et à densité continue surR∗+.
(1) SoitXune variable aléatoire telle que pour toutx∈R∗+,P(X>x)>0.
Justifier, pour toutx>0, l’existence de :ϕ(x)= lim
h→0+
h1
h×P x<X6x+h P(X>x)
i
(2) On appelletaux de pannedeXla fonctionϕainsi définie surR∗+.
Soitα >0 etβ >0 deux réels. Déterminer la constanteKpour que la fonction g(x)=0 six60 etg(x)= K
(1+βx)α+1 six>0 soit une densité de probabilité.
Calculer le taux de panne d’une variable aléatoireYde densitég.
(3) Déterminer les lois des variables aléatoires ayant un taux de panne constant.
(4) Déterminer la (les) loi(s) (densité et fonction de répartition) d’une variable aléa- toireWadmettant pour taux de panne la fonction :h(t)=aλata−1, pourt>0, où aetλsont deux paramètres strictement positifs.
Que retrouve-t-on poura=1 ?
Exercice23. Soitaun réel strictement positif.
On considère la fonction f définie surRpar : f(x)= 1
x2 exp a(x−1) x
!
six∈]0,1] etg(x)=0 sinon où exp désigne la fonction exponentielle.
(1) Étudier la continuité de f.
(2) Déterminer la constanteCtelle queC×f soit une fonction densité (on pourra utiliser le changement de variableu=1−1
x).
(3) SoitXune variable aléatoire de densitéC×f. SoitYla variable aléatoire définie par Y = 1X−j1
X
k, oùb cdésigne la fonction partie entière.
(a) Déterminer la loi de probabilité dej1
X
k.
(b) Déterminer la fonction de répartition deY, puis une densité deY.
Exercice24. SoitUune variable aléatoire uniformément distribuée sur [0,1]. Détermi- ner la loi de la variable aléatoireX=tan π(U−1
2).
Un pointMest pris au hasard sur le demi-cercle unité (demi-cercle situé dans le demi- plan des «xpositifs ») avec la loi de probabilité uniforme sur ce demi-cercle.
On noteUetVles coordonnées du pointM.
Déterminer la loi de la variable aléatoire V U.
Exercice 25. Sur le cercle de centreOet de rayon 1, on considère un point Afixe et un point B choisi aléatoirement (la suite du texte précisera le sens à donner à cette expression). On note Lla variable aléatoire égale à la distance deOà la cordeAB:L est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,B,P) prenant ses valeurs dans [0,1].
On considère la mesureθde l’angle (−−→[ OA,−−→
OB) prise dans [0,2π[.
(1) ExprimerLen fonction deθ.
(2) Montrer que la restriction de la fonction cos à [0, π] admet une fonction réciproque qui est dérivable sur ]−1,1[.
On note arccos cette fonction réciproque. Calculer pour toutx∈]−1,1[, la dérivée arccos0(x).
(3) On suppose queθest une variable aléatoire sur l’espace probabilisé (Ω,B,P), sui- vant une loi uniforme sur [0,2π[. Donner la fonction de répartitionFdeLet mon- trer queLadmet pour densité la fonction f définie par :
f(x)=
2
π× 1
√ 1−x2
si x∈[0,1[
0 si x<0 oux>1
Exercice26. SoitXune variable aléatoire réelle à densité, définie sur un espace proba- bilisé (Ω,A,P), dont une densité f est continue surRet qui admet un moment d’ordre 2.
(1) Montrer que lim
x→+∞x2P( X>x)=0.
(2) Prouver que l’intégrale Z +∞
0
tP(|X|>t)dtest convergente.
28.4 Exercices. 17
(3) Montrer que :E(X2)=2 Z +∞
0
tP(|X|>t)dt.
(4) Montrer que l’on a :E(X)=Z +∞ 0
P(|X|>t)dt.
Exercice 27. Dans tout cet exercice, les variables aléatoires sont supposées à valeurs dansR+et à densité continue surR∗+.
(1) SoitXune variable aléatoire telle que pour toutx∈R∗+,P(X>x)>0.
Justifier, pour toutx>0, l’existence de :ϕ(x)= lim
h→0+
h1
h×P x<X6x+h P(X>x)
i
(2) On appelletaux de pannedeXla fonctionϕainsi définie surR∗+. Calculer le taux de panne d’une variable aléatoireYsuivant une loi exponentielle de paramètreλ.
(3) SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, de densité f >0, continue surR∗+, de fonction de répartitionFet de taux de panneϕ.
On noteG=1−F.
(a) Étudier, poura>0, la convergence des intégrales Z a
0
ϕ(t)dtet Z +∞
a
ϕ(t)dtet justifier que, pourx>0, on peut définirΦ(x)=Z x
0
ϕ(t)dt (b) La fonctionΦest-elle bijective deR∗+surR∗+?
(4) Déterminer la loi de la variable aléatoireZ = Φ(X). En déduire la loi de la variable aléatoireY =F(X).
Exercice28.(1) SoitZune variable aléatoire réelle à valeurs dans ]0,1[, possédant une densitégcontinue sur ]0,1[. Montrer queZpossède une espérance.
On suppose que pour tout x ∈ ]0,1[,g(1−x) = g(x). Quelle est, dans ce cas, l’espérance deZ?
(2) Montrer que la fonctionx7→sinxréalise une bijection de−π2,π2sur [−1,1].
On note ϕsa bijection réciproque. Montrer que la fonctionϕest dérivable sur ]−1,1[ et calculer sa dérivée.
(3) SoitI=Z 1 0
√ dx
x(1−x). Montrer que cette intégrale converge et la calculer.
(4) Montrer que la fonction f définie surRpar :
f(x)= 1
π√
x(1−x) si 0<x<1 et 0 sinon est une densité de probabilité.
(5) SoitXune variable aléatoire réelle admettant f pour densité.
DéterminerE(X) en utilisant la première question. Retrouver ce résultat en utili- sant la définition de l’espérance et le changement de variablex=(sinθ)2.
Exercice29. SoitXune variable aléatoire de densité f continue et strictement positive surR∗+, nulle surR∗−. On noteFla fonction de répartition deX.
On suppose queXadmet une espérance notéeE(X).
(1) Justifier que l’on peut définir une fonction réciproque F−1 entre des intervalles à préciser.
Calculer Z 1
0
F−1(t)dt.
(2) Pourx∈R+, on poseT(x)= E(X)1 Z x 0
t f(t)dt.
Justifier queTest définie surR+et qu’on peut définir une fonctionGsurRpar :
G(x)=
0 si x60
T◦F−1(x) si x∈]0,1[
1 si x>1
(3) Vérifier queGpossède les propriétés caractérisant une fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
(4) Retrouver ainsi à l’aide deGle calcul de Z 1
0
F−1(t)dt.
(5) Montrer qu’une variable aléatoireY de fonction de répartitionGadmet une espé- rance, et queE(Y)=1−
Z +∞ 0
T(u)f(u)du
