L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚16 Variables al´ eatoires ` a densit´ e
Exercice 199 (fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire suivant la loi U([a, b])) Soienta, b∈Rtels que a < b. SoitX une variable al´eatoire telle queX ∼ U([a, b]).
1. Donner une densit´ef deX et tracer la repr´esentation graphique def dans un rep`ere du plan.
2. Calculer la fonction de r´epartitionFX deX.
Exercice 200 (fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire suivant une loi exponentielle) Soitλ∈R+∗. SoitX une variable al´eatoire telle queX ∼ E(λ).
1. Donner une densit´ef deX et tracer la repr´esentation graphique def dans un rep`ere du plan.
2. Calculer la fonction de r´epartitionFX deX.
Exercice 201 (loi de Cauchy)
1. D´emontrer qu’il existe un unique r´eelαtel que la fonction
f:R → R
t 7→ α
25 +t2 soit une densit´e de probabilit´es.
2. SoitX une variable al´eatoire admettantf pour densit´e. La variable al´eatoireXadmet-elle une esp´erance ?
Exercice 202 (loi de Laplace)
SoitX une variable al´eatoire suivant la loi de Laplace, i.e. de densit´ef donn´ee par : f:R→R; x7→ 1
2e−|x|.
1. V´erifier quef est une densit´e de probabilit´es.
2. Montrer queX admet une esp´erance et calculerE(X).
3. Montrer queX admet une variance et calculerV(X).
1
Exercice 203 (extrait du sujet du concours A-TB 2011)
Le temps d’attenteT `a la caisse d’un parc d’attraction exprim´e en minutes est une variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etre 0,2.
1. Quel est le temps d’attente moyen en caisse ?
2. Quelle est la probabilit´e d’attendre moins de 10 minutes ? 3. Quelle est la probabilit´e d’attendre plus de 6 minutes ?
4. Quelle est la probabilit´e d’attendre plus de 10 minutes si on a d´ej`a attendu 4 minutes ?
♥ Exercice 204 (exemple d’effet d’une transformation sur une variable al´eatoire `a densit´e)
SoitX une variable al´eatoire de densit´ef d´efinie par :
f:R → R
t 7→
0 sit <5 c
t2 sit≥5.
1. Calculerc.
2. Calculer la fonction de r´epartition deX. 3. On poseY = 1
X.
(a) D´eterminer la fonction de r´epartition deY.
(b) Montrer queY est une variable al´eatoire `a densit´e et pr´eciser une densit´e deY. (c) La variable al´eatoireY suit-elle une loi usuelle ?
F Exercice 205 (effet d’une transformation affine sur une variable al´eatoire `a densit´e)
1. SoitX une variable al´eatoire `a densit´e. Soitf une densit´e deX. Soienta∈R+× etb ∈R. Montrer que la variable al´eatoireY =aX+b admet une densit´e et pr´eciser une densit´e deY.
2. On suppose queX est une variable al´eatoire de loiN(0,1). Soientσ∈R+× et m∈R.
(a) D´eduire de 1. queY =σX+mest une variable al´eatoire `a densit´e et donner une densit´e deY. (b) Montrer queY admet une esp´erance et calculerE(Y).
(c) Montrer queY admet une variance et calculerV(Y).
Exercice 206 (fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite N(0,1))
Soit X une variable al´eatoire de loi N(0,1). On note ϕ la densit´e de X donn´ee dans le cours. On note Φ la fonction de r´epartition deX.
1. Soitx∈R. Rappeler l’expression de Φ(x) en fonction deϕ.
2. Montrer que la fonction Φ r´ealise une bijection deRsur un intervalle que l’on pr´ecisera.
3. Montrer que pour toutx∈R, on a :
Φ(−x) = 1−Φ(x).
4. En d´eduire que pour tout a∈R+, on a :
P(|X| ≤a) =P(−a≤X≤a) = 2Φ(a)−1.
2
5. En utilisant la table ci-dessous, donner des valeurs approch´ees de chacune des probabilit´es suivantes.
P(X ≤1,61) P(X ≤ −0,73) P(X >2,56) P(X ≥1,04) P(−3≤X ≤3) 6. D´eterminer une valeur approch´ee dex∈Rtel que :P(X ≤x) = 0,9922.
7. D´eterminer une valeur approch´ee dex∈Rtel que :P(|X|> x) = 0,05.
Table de valeurs approch´ees de la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite N(0,1)
Φ(x) =P(X ≤x) = Z x
−∞
√1 2π e−t
2
2 dt et Φ(−x) = 1−Φ(x).
x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
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