M ath ematiques ´ - ECS1
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V ariables al eatoires r ´ eelles finies ´ .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
16.1 Objectifs
Une variable aléatoire réelle sur (Ω,P(Ω)) est une ap- plication deΩdansR.
On adoptera les notations habituelles telles que [X∈I], [X=x], [X6x], etc.
Variable aléatoire certaine.
Variable indicatrice d’un événement. Notation1E. Système complet associé à une variable aléatoire.
Fonction de répartition d’une variable aléatoireX. FX(x)=P(X6x).
Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition caractérise la loi d’une variable aléatoire.
Variable aléatoireY=g(X), oùgest définie surX(Ω).
Étude de la loi deY =g(X).
On se limitera à des cas simples, tels que g(x)=ax+b,g(x)=x2, . . .
Espérance d’une variable aléatoire. E(X)= X
x∈X(Ω)
xP(X=x).
Théorème de transfert. E(g(X))= X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x). Théorème admis.
E(aX+b)=aE(X)+b.
Variance et écart-type d’une variable aléatoire.
Cas particulier oùV(X)=0.
NotationsV(X) etσ(X).
Calcul de la variance.
V(aX+b)=a2V(X).
Formule de Koenig-Huygens : V(X)=E(X2)−(E(X))2.
Variables centrées, centrées réduites. Notation X∗ pour la variable aléatoire centrée ré- duite associée àX.
Loi de Bernoulli, espérance et variance. NotationX,→ B(p).
Loi binomiale. NotationX,→ B(n,p).
Espérance et variance d’une variable de loi binomiale.
Loi uniforme sur [[1,n]], espérance, variance. Application, à l’étude de la loi uniforme sur [[a,b]], où (a,b)∈Z2. NotationX,→ U([[a,b]]).
16.2 Variables aléatoires réelles finies
Après avoir réalisé une expérience, on s’intéresse bien plus souvent à une fonction du résultat plutôt qu’au résultat lui-même : la somme des faces obtenues lors d’un lancer de dés, le nombre de fois que Pile est apparu ou le premier rang d’apparition d’un Pile dans un jeu de Pile ou Face, etc.
Ces fonctions du résultat obtenu s’appellent desvariables aléatoires. La valeur que peut prendre une telle fonction est déterminée par le résultat de l’expérience, il est donc possible d’attribuer une probabilité à chacune des valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.
Dans tout ce chapitre,Ωest un univers fini.
2
16.2 Variables aléatoires réelles finies 3
16.2.1 Définitions
Définition 1. SoitΩun univers fini. On appellevariable aléatoire réelle finie surΩ toute fonctionX:Ω→R.
L’ensemble des valeurs prises parX, notéX(Ω), est fini et appeléimage deX.
Remarque1.Cette définition n’est valable que dans le cas des univers finis ! On verra une définition plus générale lors de l’étude des univers quelconques.
Remarque2.Dans l’expression « variable aléatoire finie », l’adjectif « fini » se rapporte à l’ensemble des valeurs prises parX.
Notations.
[X=x] =. . . . [X≤x] =. . . . [X≥x] =. . . . [X<x] =. . . . [X>x] =. . . . [|X+1| ≥5] =. . . . Exemple 1. On lance deux dés parfaits.
L’univers associé à cette expérience est . . . . On considère la fonctionX:Ω→Rdéfinie parX(ω1, ω2)=ω1+ω2.
L’applicationXreprésente la somme des faces obtenues, c’est une variable aléatoire finie surΩ.
L’image deXestX(Ω)=. . . ..
[X=1]=. . . . [X=2]=. . . . [X≥10]=. . . . [3≤X<6]=. . . .
Exemple 2. On lance 3 pièces équilibrées.
L’ univers associé à cette expérrance est . . . . On noteXle nombre de Pile apparus.
L’applicationXest une variable aléatoire finie surΩ [X=1]=. . . . [X=2]=. . . . [X=0]=. . . .
Exemple 3. On dispose d’une urne contenantNboules numérotées de 1 àN.
On réalise des tirages succesifs sans remise denboules.
L’univers associé à cette expérrance est . . . . On considère la fonctionX:Ω→Rdéfinie parX(ω)=max
1≤i≤n(ωi).
L’applicationXreprésente donc le . . . .
L’ applicationXest une variable aléatoire finie et l’image deXestX(Ω)=. . . ..
Définition 2. SoitΩun univers fini.
L’application X constante sur Ω égale à λ est une variable aléatoire finie appelée . . . égale àλ.
Définition 3. SoitΩun univers fini etEun événement deΩ.
On appelle variable aléatoire indicatricedeE l’application, notée1E, définie surΩ par
1E(ω)=
(0 siω<E 1 siω∈E
Définition 4. SoitΩun univers fini etXune variable aléatoire finie surΩ. La famille ([X=x])x∈X(Ω)est un . . . appelé
. . . .
16.2.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 5. SoitΩun univers fini etXune variable aléatoire finie surΩ. On appelleloi de la variable aléatoireX(ou loi deX) l’application
. . . . . . . . . . . .
16.2 Variables aléatoires réelles finies 5
Remarque3.En pratique, pour déterminer la loi deX,
— on commence toujours par déterminer l’imageX(Ω)(les valeurs prises parX)
— puis, on calcule pour chaquek∈X(Ω)la probabilitéP(X=k).
Exemple 4. On considère le lancer de deux dés parfaits et on noteXla somme des faces obtenues. La loi deXest donnée ci-dessous :
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P([X=x]) 1
36 . . . 1 36
0 1
x y
Loi de la somme des faces.
Exemple 5. Soitn∈N∗etN ∈N∗. On fait des tirages successifs sans remise denboules d’une urne contenantNboules. On note Xla la variable aléatoire égale au plus grand des numéros tirés.
— L’universΩest l’ensemble des . . . de~1,N. . . .
— La loi deX est donnée parX(Ω) = . . . .et pour toutk ∈
~n,N,
P(X=k)=. . . .
Exercice1. Soitn∈Ntel quen≥2.On considère une urne contenantnboules. On tire successivement sans remise un nombrek <nde boules de l’urne et on noteXle plus grand des numéros tirés. Quelle est la loi deX?
Reprendre l’exercice dans le cas d’un tirage successif avec remise d’un nombrek<n de boules.
Exercice2. Soitn∈Ntel quen≥1. On considère deux urnesAetBcontenant chacune nboules.
On tire au hasard une boule de chaque urne et on noteXle numéro de la boule tirée de l’urneAetYle numéro de celle provenant de l’urneB.
Déterminer la loi de la varZ=max(X,Y).
Proposition 1. Si X est une variable aléatoire finie alors X
x∈X(Ω)
P([X=x])=. . . .
Récproquement, si(aj)j∈Jest une famille finie de nombres positifs telle queX
j∈J
aj =1 alors . . . .
. . . .
Exemple 6. SoitXune variable aléatoire finie telle queX(Ω)=~1,6. Pour toutn∈~1,6, on supposeP(X=n)= 1
6αn(αn−1). Trouverαpour que la loi deX soit bien définie.
16.2.3 Fonction de répartition
Définition 6. SoitΩun univers fini etXune variable aléatoire surΩ. On appellefonction de répartition deXla fonction définie surRpar
. . . .
Théorème .La fonction de répartition FXest . . . surR, elle pos- sède une limite à gauche et une limite à droite en tout point deR:
limx→x0
x<x0
FX(t)=. . . lim
x→x0
x>x0
FX(t)=. . . . . . . .
Remarque4.SiXest une variable aléatoire finie ayant xmin pour plus petite valeur etxmax
pour plus grande valeur alors
∀t<xmin, FX(t)=0et∀t≥xmax, FX(t)=1 Exemple de fonction de répartition
0 1
x y
Remarque5.FXest continue enxsi et seulement siP(X=x)=0.
16.2 Variables aléatoires réelles finies 7
Proposition 2. Si X est une variable aléatoire finie telle que X(Ω) = {x1,x2, . . . ,xn} alors pour tout x∈R
FX(x)=. . . .
Exemple 7. On considère le lancer de deux dés parfaits etXla variable aléatoire égale à la somme des faces obtenues.
Pour tout réelt<2,FX(t)=0 et pour tout réelt≥12,FX(t)=1.
— Sit∈[2,3[ alorsFX(t)=. . . .
— Sit∈[3,4[ alorsFX(t)=. . . .
— Sit∈[4,5[ alorsFX(t)=. . . .
— Sit∈[5,6[ alorsFX(t)=. . . .
— Sit∈[6,7[ alorsFX(t)=. . . . La fonction de répartition deXest représentée ci-dessous :
0 1
x y
Exemple 8. On lance une pièce truquée donnant Pile (noté 0) avec probabilité 2 5, Face (noté 1) avec probabilté2
5 et Tranche (noté 2) avec probabilité 1 5.
SoitXla variable al’eatoire définie parX(0) =−1, X(1) =2 etX(2) =5. La fonction de répartition deXest représentée ci-dessous :
0 1
x y
Proposition 3. Soit X une variable aléatoire réelle finie.
La fonction de répartition permet de déterminer la loi de X : pour tout x∈X(Ω) P([X=x])=. . . .
où. . . .et. . . .
Exemple 9. SoitXune une variable aléatoire discrète de fonction de répartitionFXdonnée par
FX(t)=
0 sit<0
1
2 si 0≤t<1
3
5 si 1≤t<2
4
5 si 2≤t<3
9
10 si 3≤t<5 1 si 5≤t
0 1
x y
La loi deXest donnée parX(Ω)=. . . .et
P(X=0)=. . . , P(X=1)=. . . , P(X=2)=. . . ,
P(X=3)=. . . , P(X=4)=. . . , P(X=5)=. . .
Proposition 4. Deux variables X et Y ayant même fonction de répartition suivent la même loi. On dit que la fonction de répartition caractérise la loi.
Exercice3.Une urne contientnboules identiques au toucher numérotées de1àn. On tire les boules une à une sans remise et on s’arrête dès qu’on tire un numéro supérieur au numéro tiré précédemment. On appelleLla longueur de la suite ainsi obtenue.
Lorsque, on n’a pas rencontré de numéro supérieur au numéro précédent, on poseL = n+1.
(1) Déterminer la fonction de répartition deL, puis en déduire la loi deL.
(2) Déterminer la loi deLlorsqu’on procède à des tirages avec remise.
16.2.4 Transformation d’une variable aléatoire
Théorème .Soit X une variable aléatoire finie et g:X(Ω)→Rune application. Alors Y =g(X)est une variable aléatoire discrète surΩ.
16.3 Espérance et variance d’une variable aléatoire finie. 9
Proposition 5. Soit X une variable aléatoire finie et g:X(Ω)→Rune application. La loi de Y=g(X)est donnée par Y(Ω)={g(x),x∈X(Ω)}et
P([Y =y])= X
x∈X(Ω)|g(x)=y
P([X=x]).
Exemple 10. On lance un dé parfait deux fois de suite. On noteXla variable aléatoire égale à la différence du premier et du second lancer etY =|X|.
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
P([X=x]) 361 . . . .
P([Y =x]) 16 . . . .
Loi deY=g(X)dans certains cas particuliers.
(1) g(x)=ax+baveca,0.
P(Y =y)=P(aX+b=y)=. . . . (2) g(x)=x2
P(Y =y)=
0 si y<0
. . . si y=0 . . . si y>0 (3) g(x)=ex
P(Y =y)=
( 0 si y≤0
. . . si y>0
Exercice4.On considère une variable aléatoireXprenant ses valeurs dans~1,ntelle queP(X=k)=λkn
k
pour toutk∈~1,n. (1) Déterminerλ.
(2) Montrer queY =2X+1est une variable aléatoire discrète puis donner sa loi.
16.3 Espérance et variance d’une variable aléatoire finie.
16.3.1 Espérance
Définition 7. SoitXune variable aléatoire finie sur un universΩ. On appelleespérance deXla quantité notéeE(X) définie par
E(X)=. . . .
Remarque6.Une variable aléatoire finie admet toujours une espérance.
Exemple 11. Le lancer de 2 dés etXla somme des faces obtenues. La varXest finie donc admet une espérance égale à
E(X)=
12
X
k=2
kP(X=k)
=2 1 36+3 1
18+4 1 12+51
9+6 5 36+71
6+8 5 36+91
9 +101 12+11 1
18+121 36
= 263 36
Exemple 12. On choisit un nombre entre 1 et 10 et un joueur doit deviner ce nombre en posant des questions auxquelles on répond oui ou non. On noteQle nombre de questions nécessaires pour trouver ce nombre.
(1) protocole 1 : le joueur pose les questions « est-ce le nombrei? » dans l’ordre des entiers.
Dans ce cas,Q(Ω)=~1,10et
P(Q=k)=P(. . . .)=. . .
doncE(Q)=
10
X
k=1
. . . .=. . ..
(2) protocole 2 : le joueur procède par dichotomie en éliminant la moitié des possibilités à chaque fois
Exemple 13. Soitλ ∈ RetE un événement deΩ. Alors λ1E est une variable aléatoire discrète finie et
E(λ1E)=. . . .
Exercice5. Soitn∈N∗etk∈~1,n. Une urne contientkboule blanches etn−kboules noires. On tire successivement une par une et sans remise les boules de cette urne.
On noteXla variable aléatoire égale au rang de la dernière boule blanche tirée.
(1) Loi deX.
(2) Espérance deX. On pourra d’abord calculer
n
X
i=k
i k
!
Proposition 6. Une variable aléatoire positive admettant une espérance nulle est . . . . . . . .
16.3 Espérance et variance d’une variable aléatoire finie. 11
16.3.2 Théorème de transfert
Il arrive parfois qu’on veuille calculer non pas l’espérance deXmais celle deg(X) où gest une fonction qui nous intéresse (par exempleg(x)=x2oug(x)=ex). Comment faire ? Théorème de transfert .Soit X une variable aléatoire finie sur un univers finiΩtelle que X(Ω)={x1,x2, . . . ,xn}alors la variable aléatoire Y =g(X)admet une espérance et
E(g(X))=. . . .
Exemple 14. SoitXle nombre d’apparition du coté F lorsqu’on jette deux fois une pièce équilibrée. On cherche l’espérance deX2. On a
P(X=0)=1
4, P(X=1)=1
2, P(X=2)=1 4. On a donc
E(X2)=. . . . Remarquez queE(X2),E(X)2!
Exercice 6.SoitX une variable aléatoire suivant la loi binômiale de paramètre(n,p).
Déterminer l’espérance deY= 1 1+X.
Théorème .Soient X une variable aléatoire finie surΩ.
Pour tout a∈R,b∈R,aX+b est une variable aléatoire finie donc admet une espérance et
. . . .
Définition 8. Une variable aléatoire d’espérance nulle est dite . . . .
Proposition 7. Une variable aléatoire admettant une espérance peut être centrée en lui . . . .
16.3.3 Linéarité de l’espérance (au programme de2eannée) Théorème .Soient X,Y deux variables aléatoires finies surΩ.
Pour toutλ∈R, λX+Y est une variable aléatoire finie donc admet une espérance et . . . .
Exercice7.Soitn∈Ntel quen≥2.On considèrenjetons identiques etnboites iden- tiques. On répartit de manière aléatoire les jetons dans lesnboites, une boite pouvant recevoir plusieurs jetons.
On noteXnle nombre de boites non vides. CalculerE(Xn)en fonction den.
Exercice8.Une urne contientnjetons numérotés de 1 àn. On tire une poignée aléatoire de jetons de cette urne. On noteS la somme des numéros obtenus.
(a) Quelles sont les valeurs prises parS?
(b) On noteXkla v.a. égale àksi lek-ème jeton est tiré et 0 sinon. Montrer que Xk
k suit une loi de Bernoulli de paramètre 1
2. (c) CalculerE(S)
Exercice9.Un tireur dispose den >0flèches et atteint la cible à chaque tir avec une probabilité0<p<1. Il s’arrête lorsqu’il atteint la cible ou lorsqu’il n’a plus de flèches.
On noteXle nombre de flèches utilisées.
(a) Quelle est la loi deX? CalculerE(X).
(b) Soit1≤k≤n. Quelle est la probabilité queX=ksachant que le tireur a atteint sa cible.
(c) Le joueur tire lesnflèches et recoitn−k+1euros s’il atteint la cible lors duk-ème tir. On noteYle gain du joueur. CalculerE(Y).
16.3.4 Variance
Définition 9. SoitX une variable aléatoire réelle finie. La variableY = (X−E(X))2 admetune espérance. Le nombreE(Y) est appelévariance de Xet notéV(X) :
V(X)=. . . .
Remarque7.(1) Les variables aléatoires finies admettent toujours une variance.
(2) La variance est une mesure de la dispersion deXpar rapport àE(X).
(3) La variance est toujours positive.
Proposition 8. Soit X une variable aléatoire réelle finie. Alors : V(X)=0si et seule- ment si . . . .
La formule1 2suivante donne un autre moyen de calculer la variance.
1. Johann Samuel König, né le 31 juillet 1712 à Büdingen, mort le 21 aout 1757 à Zuilenstein, est un mathématicien allemand. Elève de Jean Bernoulli à Berne en même temps que Pierre Louis de Maupertuis, il est connu pour être le tuteur de la marquise du Châtelet et pour une polémique sur la paternité du principe de moindre action qui semble avoir empoisonné les dernières années de sa vie (images.math.cnrs.fr).
2. Huygens Christiaan, né en 1629 et mort en 1695. Mathématicien, physicien et astronome hollandais. Il a
16.4 Loi de Bernoulli 13
Formule de Koenig-Huygens .Soit X une variable aléatoire réelle finie.
V(X)=. . . .
Proposition 9. Soit X une variable aléatoire et a,b deux réels. Si X admet une variance alors aX+b aussi et
V(aX+b)=. . . .
Exemple 15. On fait des tirages successifs sans remise denboules d’une urne contenant Nboules numérotées de 1 àN. On noteXla var égale au plus grand des numéros tirés. On a vu queX(Ω)=~n,Net pour toutk∈~n,N,
P(X=k)= k−1
n−1
N
n
Espérance et variance deX.
Ecart-type.
Définition 10. SoitXune variable aléatoire réelle finie.
On appelleécart-typede la variableXla racine carrée de la variance. Ce nombre est
notéσ(X) :
σ(X)=. . . .
Définition 11. SoitXune variable aléatoire réelle finie.
Lorsque E(X) = 0 et σ(X) = 1 on dit que la variable aléatoire X est . . . .
Définition 12. SoitXune variable aléatoire admettant une variance non nulle. La va- riable aléatoireX∗=. . . .est la variable aléatoire centrée réduite dite associée àX.
16.4 Loi de Bernoulli
On lance une pièce donnant Pile avec probabilité p ∈]0,1[ et Face avec probabilité 1−p. On noteXla variable aléatoire égale à 1 si Pile apparait et 0 si Face apparait.
eu une influence considérable sur Leibniz. En mathématiques, il développe la théorie des courbes et met en place le calcul des probabilités. Il s’est rendu aussi célèbre pour ses travaux en optique, hydrostatique et en astronomie.
Définition 13. Une variable aléatoireX telle queX(Ω) = {0,1}etP(X = 1) = p est appeléevariable aléatoire de Bernoulli de paramètrep. On dit encore queXsuit une loi de Bernoulli de paramètrepet on noteX,→ B(p).
Proposition 10. Soit p∈]0,1[et X,→ B(p).
E(X)=p, V(X)=p(1−p)
Exemple 16. Une urne contientaboules blanches numérotées de 1 àaetbboules noires numérotées de 1 àb. Les boules sont indiscernables au toucher. On prélève simultanément nboules de l’urne. On noteXla variable aléatoire égale à 1 si la boule blanche numéro 1 est tirée et 0 sinon. Quelle est la loi deX?
16.5 Loi binômiale
On lancen fois (n ∈ N∗) une pièce donnant Pile avec probabilité p ∈]0,1[ et Face avec probabilité 1−p. On suppose les lancers indépendants. Pour 1≤k≤n, on noteXkla variable aléatoire égale à 1 si lek-ème lancer donne Pile et 0 sinon.
On noteS la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus sur cesnlancers : S =
n
X
k=1
Xk
(1) DéterminerS(Ω).
(2) Etablir la loi deS. (3) CalculerE(S) etV(S).
Définition 14. Soit n ∈ N∗ et p ∈]0,1[. Une variable aléatoire X telle que X(Ω) =
. . . .et pour toutk∈X(Ω),
P(X=k)=. . .
est appeléevariable aléatoire binomiale de paramètrenetp.
On dit encore queXsuit une loi binomiale de paramètrenetpet on noteX,→ B(n,p).
Proposition 11. Soit n∈N∗, p∈]0,1[et X,→ B(n,p).
E(X)=. . . , V(X)=. . .
Exemple 17. Dans un grand magasin,n clients se présentent auxmcaisses. On suppose que chaque client choisit une caisse au hasard et indépendamment des autres. On noteXle nombre de clients se présentant à la caisse numéro 1. Quelle est la loi deX?
Exemple 18. Les vis fabriquées par une certaine société présentent un défaut avec pro- babilitép =0,01. L’état d’une vis est indépendant de celui des précédentes ou suivantes.
La société accepte de rembourser les paquets de 10 vis qu’elle vend si plus d’une des vis présente un défaut. Quelle proportion des paquets vendus la société s’expose-t-elle à devoir rembourser ?
16.6 Loi uniforme 15
16.6 Loi uniforme
Définition 15. Une variable aléatoireXtelle queX(Ω)=~1,net pour toutk∈~1,n P(X=k)=1
n
est appelée variable aléatoire uniforme sur ~1,n. On dit encore que X suit une loi uniforme sur~1,n.et noteX,→ U(~1,n).
Proposition 12. Soit n∈N∗et X,→ U((~1,n)). Alors E(X)= n+1
2 , V(X)= (n−1)(n+1) 12
Corollaire 13. Soit a,b des entiers relatifs tels que a<b et X,→ U((~a,b)). Alors E(X)=a+b
2 , V(X)=(b−a)(b−a+2) 12
Remarque8.SiX,→ U((~a,b))alorsY=X−a+1,→ U((~1,b−a+1))
16.7 Exercices.
Exercice 10. Un nombre N de personnes subissent une analyse de sang pour savoir si , oui ou non, elles souffrent d’une certaine maladie. Mais au lieu de tester chaque personne individuellement, on décide de former des groupes deipersonnes. Les échan- tillons desipersonnes de chaque groupe seront mélangés et analysés ensemble. Si le test est négatif, un seul test suffira pour lesipersonnes. Mais si le test est positif chacune des ipersonnes sera testée individuellement. On suppose que la probabilité qu’une personne soit atteinte de la maladie est 0<p<1 et que la maladie touche les gens indépendam- ment les uns des autres. On admet ici que l’échantillon commun desipersonnes sera positif dès qu’au moins une des personnes est malade.
(a) On suppose queN =miet on noteT le nombre de tests qu’il faut réaliser pour les Npersonnes. CalculerE(T). Peut on optimiser le choix dei?
(b) Pour la toxoplasmose, p=0.7 et pour l’hépatite B,p=0.15.
Exercice11. Soitn≥1, p∈]0,1[ etX,→ B(n, p). On supposep= 12 : calculerE(X2) etE(X3). On supposep∈]0,1[ quelconque : calculerE(Y) pourY = 1
X+1.
Exercice12. Soitλ∈R+etn∈N∗. On considère une variable aléatoireXprenant ses valeurs dans{1,2, . . . ,n}telle queP(X=k)=λkpour toutk∈ {1,2, . . . ,n}. Déterminer λpuis calculerE(X) etV(X).
Exercice13. Un spot se déplace sur une droite. A chaque seconde, il se déplace d’une unité soit vers la droite avec probabilitépsoit vers la gauche avec probabilité 1−p. On noteXson abscisse au bout densecondes. Loi et espérance deX.
Exercice14. Une urne contientnboules jaunes etnboules vertes. On tire les boules sans remise une à une jusqu’à obtenir la dernière boule jaune. SoitX le nombre de tirages nécessaires. Loi et espérance deX.
Exercice15. On considère 6 dés, cinq étant équilibrés. Le dernier est pipé de manière à ce que lorsqu’on lance ce dé, chacun des chiffres apparaît avec une probabilité propor- tionnelle à ce chiffre.
(1) Donner la loi, l’espérance et la variance de la variable aléatoire égale au chiffre donné par le dé truqué lorsqu’on le lance.
(2) On effectuentirages successifs et indépendants d’un dé parmi les six.
(a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire égale au nombre de fois où est tiré le dé truqué ?
(b) Combien de tirages doit-on effectuer pour que la probabilité d’avoir obtenu le dé truqué parmi ceux tirés soit au moins 1/2 ?
(3) On effectuentirages successifs sans remise d’un dé parmi les six.
(a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire égale au nombre de fois où est tiré le dé truqué ?
(b) Combien de tirages doit-on effectuer pour que la probabilité d’avoir obtenu le dé truqué parmi ceux tirés soit au moins 1/2 ?
Exercice 16. Pour p entier naturel non nul, on considère p + 1 urnes notées
U0,U1, . . . ,Up. Dans chaque urne il y apboules indiscernables au toucher ; pour tout
i∈~0,p, l’urne numéroi, contientiboules blanches, les autres boules étant noires. On choisit une urne au hasard et dans l’urne choisie, on effectuentirages avec remise d’une boule (n ∈ N∗). On note Npla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches ainsi obtenues.
(a) Exprimer la loi deNp.
(b) Déterminer l’espéranceE(Np) deNp.
(c) L’entiernétant fixé, montrer que, pour tout entierkde~0,n:
p→∞lim P(Np=k)= n k
!Z 1 0
xk(1−x)n−kdx en déduire la valeur de cette limite.
Exercice17. Soitn∈N∗. Une urne contient une boule blanche, une boule verte et une boule rouge.
16.7 Exercices. 17
On tire successivement avec remisenboules de cette urne. Pouri∈~2,n, on dit qu’il y a changement de couleur auietirage si laieboule n’est pas de la même couleur que la i−1eboule tirée.
On noteXla variable aléatoire égale au nombre de changements de couleur lors desn tirages.
(1) Loi deX.
(2) Espérance et variance deX.
Exercice 18. Un étudiant doit passer un examen sous forme de questionnaire à choix multiples (QCM). Le programme de l’examen comporte 100 sujets. Le QCM ne com- porte que 20 questions choisies au hasard parmi les sujets étudiés. Le candidat désirant optimiser son temps de révision se demande quelle proportionpde sujets il doit réviser pour que ses chances de réussite soient suffisantes.
On suppose qu’il révise au moins 20 sujets.
Dans la correction du QCM, chaque réponse juste donne 1 point, une réponse fausse donne 0.
Si le candidat a révisé une question, sa réponse est forcément juste. S’il ne connaît pas la question, il choisit une réponse au hasard parmi les quatre solutions proposées.
Soit p la proportion de sujets que l’étudiant a révisés. (On suppose que 100pest un entier).
SoitNla note qu’il a obtenu à l’examen.
On noteXle nombre de sujets qui tombent à l’examen et que l’étudiant a étudiés etY le nombre de réponses justes parmi celles qu’il donne au hasard.
Soit (k,n)∈~0,202.
(1) Calculer, en fonction de p, les probabilitésP(X = j) pour 0 ≤ j ≤ 20. Calculer l’espérance deX.
(2) Calculer les probabilitésP[X=k]([Y =j]) pour 0≤ j≤20.
(3) En déduire la probabilitéP(N=n) en fonction dep(on ne cherchera pas à simplifier l’expression).
(4) L’espérance de Y, conditionné par la réalisation de l’événement [X = k] est le nombre, notéE(Y|[X=k]), égal à
100
X
j=0
jP[X=k]([Y = j]).
(5) Montrer queE(Y)=
20
X
k=0
E(Y|[X=k])P([X =k]). En déduire l’espérance deYpuis celle deN. Combien l’étudiant doit-il réviser de sujets pour que l’espérance deN soit égale à 14 ?
Exercice19. On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On notepun réel de ]0; 1[ et on poseq=1−p.
On dispose d’une pièce donnant « Pile » avec la probabilité p et "Face" avec la probabilitéq.
On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations sui- vantes :
— soit si l’on a obtenu "Pile" ;
— soit si l’on a obtenunfois "Face".
Pour tout entier naturel k non nul, on note Pk (respectivement Fk l’événement « on obtient "Pile" (respectivement "Face") aukelancer ».
On noteTnle nombre de lancers effectués,Xnle nombre de "Pile" obtenus et enfinYn le nombre de "Face" obtenus.
On admet queTn,XnetYnsont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P) que l’on ne cherchera pas à préciser.
(1) Loi deTn.
(a) Pour toutkde [[1;n−1]] , déterminer, en distinguant le cask=1, la probabilité P(Tn =k) .
(b) DéterminerP(Tn=n) . (c) Vérifier que
n
X
k=1
P(Tn=k)=1 .
(d) Justifier l’existence de l’espérance deTnet la calculer.
(2) Loi deXn.
(a) Etablir la loi deXn. (b) Donner l’espérance deXn. (3) Loi deYn.
(3) Loi deYn.
(a) Déterminer, pour toutkde [[0;n−1]] , la probabilitéP(Yn=k) . (b) DéterminerP(Yn=n) .
(c) Ecrire une égalité liant les variables aléatoiresTn,XnetYn , puis en déduire E(Yn) .
Exercice20. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient une boule noire et (n−1) boules blanches. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la manière suivante : le premier tirage s’effectue sans remise, le deuxième s’effectue avec remise, le troisième s’effectue sans remise, le quatrième s’effectue avec remise . . . D’une manière générale, les tirages d’ordre impair s’effectuent sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tirée.
(1) Quel est le nombre totalNde tirages effectués lors de cette épreuve ?
(2) Pour tout j ∈ ~1,n−1, combien reste-t-il de boules avant le (2j)-ème tirage ? Combien en reste-t-il avant le (2j+1)-ème tirage ?
(3) On désigne parXk la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire est obtenue au k-ème tirage (que ce soit la première fois ou non) et 0 sinon. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette épreuve.
(a) CalculerP(X1=1),P(X2=1).
16.7 Exercices. 19
(b) Pour tout entier naturel j∈~1,n−1, calculerP(X2j+1=1) etP(X2j=1).
(4) Pour tout j∈~1,n−1, on noteUjl’événement "On obtient la boule noire pour la première fois au (2j−1)-ème tirage".
(a) En considérant l’état de l’urne avant le (2n −2)-ème tirage, montrer que P(Un)=0.
(b) Montrer que pour tout j∈~1,n−1, on a :P(Uj)= n−j n(n−1).
(c) Exprimer l’événement (X=1) en fonction des événements (Uj), et en déduire la valeur deP(X=1). CalculerP(X=n).
Exercice21. Une secrétaire effectuenappels téléphoniques vers n correspondants dis- tincts (n≥2). Pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est pappartenant à ]0,1[ et la probabilité de ne pas l’obtenir estq, avecq=1−p.
(1) SoitXle nombre de correspondants obtenus lors de cesnappels. Quelle est la loi deX? Calculer l’espéranceE(X) et la varianceV(X).
(2) Après cesnrecherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun desn− Xcorrespondants qu’elle n’a pas obtenus la première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d’appels, etZ =X+Y le nombre total de correspondants obtenus.
(a) Quelles sont les valeurs prises parZ?
(b) Calculerp0=P(Z=0) etp1 =P(Z=1). Montrer quep1=npq2n−2(1+q).
(c) Calculer la probabilité conditionnelleP[X=k](Y = h), pourk appartenant à {0,1, . . . ,n}ethà{0,1, . . . ,n−k}.
(d) DémontrerP(Z=s)=
s
X
k=0
P((X=k)∩(Y =s−k)).
(e) Calculer ps = P(Z = s), et montrer queZ suit une loi binomiale de para- mètresnetp(1+q).
Exercice22. Soit un entier natureln>0 fixé.
(1) On considère la suite (Pj)j≥1de fonctions polynômes définies surRpar : P1(x)=xn−1et pour j≥1,Pj+1(x)=Pj(x)+1−x
n P0j(x).
Montrer par récurrence que :Pj(x)=
n−1
X
i=0
n−1 i
! (1− i
n)j−1(x−1)i
(2) On dispose den boîtes dans lesquelles on lance au hasard l’une après l’autre des billes. Les résultats des lancers sont indépendants les uns des autres. Pour j≥1, on noteXjle nombre de boîtes non vides après les jpremiers lancers.
(a) Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoireXj? Déterminer les lois deXj pour j∈ {1,2}. Déterminer les probabilités conditionnellesP(Xj=i)(Xj+1=k) pour 1 ≤ i ≤ n. En déduire l’expression deP(Xj+1 = k), en fonction des P(Xj=i), pour 1≤i≤n.
(b) Soit la fonctionGj(x)=
n
X
k=1
P(Xj =k)xn−k. Vérifier que les suites (Gj(x))j≥1
et (Pj(x))j≥1sont égales.
(c) En déduire :P(Xj=n)=
n−1
X
i=0
(−1)i n−1 i
! 1− i
n j−1
.
(d) Montrer que pour tout j∈~1,n−1, on a :
n−1
X
i=0
(−1)i n−1 i
! 1− i
n j−1
=0.
Exercice23. On noteXn,pune variable aléatoire binomiale de paramètre (n,p), oùnest un entier naturel non nul et pun réel de ]0,1[.
(1) On posepk=P[Xn,p=k], aveck∈~0,n. Rappeler la formule donnantpk. (2) Soitkun entier naturel compris au sens large entre 0 etn−1, on poset(k)= pk+1
pk
. Calculert(k) en fonction den,p, etk.
(3) Les nombresnet pétant supposés fixés tels que le produitn.psoit égal à un entier naturel non nulλ, montrer qu’il existe un unique entier naturelk0compris entre 0 etn−1, que l’on calculera en fonction denetp, puis deλ, tel que :
• pour tout entier naturelk, 0≤k≤k0=⇒t(k)≥1,et
• pour tout entier naturelk,n−1≥k>k0=⇒t(k)<1.
En déduire la valeurM(n,p) du maximum de pk, et une valeurkmaxde l’indicek pour laquelle ce maximum est atteint.
(4) On suppose maintenant que la variable aléatoire binomialeXn,pn a pour paramètre (n,pn), avec pn∈]0,1[.
On cherche à étudier le comportement deM(n,pn) selon les valeurs den.
On continue à supposer que pour toutnentier naturel,npn =λest fixé,λentier naturel non nul.
(a) Montrer que M(n,pn) admet lorsquen tend vers l’infini une limite finie que l’on déterminera en fonction deλ.
(b) Comparer le résultat obtenu avec la valeur du maximum de la loi de Poisson de paramètreλ.
Exercice24. Une urneU1 contientnboules blanches et une urneU2contientnboules noires.
On tire à chaque tirage simultanément une boule dansU1que l’on met dansU2et une boule dansU2que l’on met dansU1.
On note, pourk≥1,Xkla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches dansU1après lek-ième tirage, etX0la variable constante égale àn. On pose, pourk≥0,
Zk=
P(Xk=0) P(Xk=1)
... P(Xk=n)
.
16.7 Exercices. 21
(1) (a) Déterminer la matriceAntelle que, pourk≥1,Zk= 1
n2AnZk−1.
(b) Quelle est la probabilité qu’au bout dentirages on n’ait que des boules noires dansU1? Quel(s) coefficient(s) deAnnpeut-on en déduire ?
(2) On se place dans le casn=2.
(a) Etudier la suite de terme généralE(Xk).
(b) Montrer queY1 =
1 4 1
,Y2 =
1
−2 1
etY3 =
1 0
−1
sont des vecteurs propres de A2.
(c) En remarquant queZ0= 1 6Y1+1
3Y2−1
2Y3, déterminerZkpourk≥1.
(d) En déduire, pour 0≤i≤2, la limite deP(Xk=i) lorsquektend vers l’infini.
Exercice25. Une urneAcontient des boules numérotées de 1 àmet une urneBcontient des boules numérotées de 1 à n. On tire au hasard une boule dans chaque urne. On désigne parX(resp.Y) la variable aléatoire indiquant le numéro de la boule tirée dans l’urneA(resp.B). On poseZ =X
Y.
(1) Quelles sont les lois suivies parXetY?
(2) Exprimer, à l’aide d’une somme, l’espéranceE(Z) de la variable aléatoireZ.
(3) On note Nl’ensemble des entiers naturels. Si p est un nombre réel, on notebpc la partie entière de p. Soit l ∈ {1, ...,n}, montrer queP[Y=l](Z ∈ N) = 1
m m
l Déterminer, à l’aide d’une somme,P(Z∈N).
(4) SoitN∈N, montrer que ln(N+1)<
N
X
p=1
1
p <1+ln(N).En déduire un encadrement deP(Z∈N).
(5a) L’entiermétant fixé, trouver un équivalent deE(Z) lorsquentend vers l’infini.
(b) Soitp∈N∗un entier fixé. On suppose dans cette question quen=pm; donner un équivalent deP(Z∈N) lorsquemtend vers l’infini.
(c) Soitq∈N∗un entier fixé. On suppose dans cette question quem=qn; donner un équivalent deP(Z∈N) lorsquentend vers l’infini.
Exercice26. Dans cette partie,mest un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2.
On considère une suite de variables aléatoires (Un)n≥1, toutes définies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P), telles que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, Unsuit la loi uniforme sur
( 0,1
n,2
n,· · ·,n−1 n
)
On considère également une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1définies elles aussi sur (Ω,A,P), et telles que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, et pour tout k de [[0,n−1]], la loi de Xn conditionnellement à l’événement Un= k
n
!
est la loi binomialeB m,k
n
! .
(1) On considère une variable aléatoireYsuivant la loi binomialeB(m,p). Rappeler la valeur de l’espérance deY puis montrer queE(Y(Y−1))=m(m−1)p2
(2) Donner la loi deX1
Dans toute la suite, on supposensupérieur ou égal à 2.
(3) (a) DéterminerXn(Ω), puis montrer que, pour toutideXn(Ω), on a : P (Xn=i)= 1
n m
i
!n−1
X
k=0
k n
!i
1−k n
!m−i
(b) Utiliser la première question de cette partie pour donner sans calcul la valeur de la somme
m
X
i=1
im i
! k n
!i
1−k n
!m−i
.
Montrer alors que l’espérance deXnest égale àm(n−1) 2n
(c) En utilisant toujours la première question de cette partie, donner sans calcul la valeur de la somme
m
X
i=1
i(i−1) m i
! k n
!i
1−k n
!m−i
Montrer alors que l’espérance de Xn(Xn−1) est égale à m(m−1) (n−1) (2n−1)
6n2 .
(d) En déduire finalement que la variance deXnest égale à
m(m+2) n2−1 12n2
(4) (a) En utilisant les résultats obtenus aux deux premières questions de la première partie, calculer, pour tout i deXn(Ω), lim
n→+∞P (Xn=i).
(b) En déduire que la suite (Xn) converge en loi vers une variable aléatoireXdont on précisera la loi.
(c) Vérifier que lim
n→+∞E(Xn)=E(X) et lim
n→+∞V(Xn)=V(X).
Exercice27. Peut on truquer deux dés de telle sorte que la somme des faces obtenues en les lançant suit une loi uniforme sur{2,3, . . . ,12}.
Exercice28. Peut on truquer deux dés de sorte que les probabilités d’obtenir une somme kpour 2≤k≤12 sont les mêmes qu’avec deux dés honnêtes.
16.8 Indications pour les exercices
16.9 Correction des exercices
