On considère, sur R , l’équation di ff érentielle (E) : y

Page 1 / 2 Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚2-Terminales S 11 Février 2011

Calculatrice autorisée S p ´ ecialit ´ e M ath ematiques ´ Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 5 points

On considère, sur R , l’équation di ff érentielle (E) : y

− 6y = (2x

− 19)e

1. Montrer que la fonction g définie sur R par g(x) = (3 − x)e

est une solution de l’équation di ff érentielle (E).

2. On considère l’équation di ff érentielle (E

) : y

− 6y = 0. Résoudre l’équation di ff érentielle (E

).

3. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Montrer l’équivalence :

f est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si

f − g est solution de l’équation di ff érentielle (E

).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation di ff érentielle (E).

5. Existe-t-il une solution de l’équation différentielle (E) qui admette au point d’abscisse 0, l’axe des abscisses comme tangente ?

E xercice 2 6 points

Partie A

Le but de cette question est de redémontrer une limite concernant la fonction logarithme, uniquement à partir des connais- sances suivantes supposées acquises :

– La fonction logarithme népérien ln est la réciproque de la fonction exponentielle, ce qui signifie que, pour tout x > 0, on a l’équivalence : y = ln(x) ⇐⇒ x = e

– On suppose connues les limites de la fonction ln en 0 et en + ∞ (qu’on rappellera) – On suppose connues les propriétés du cours concernant la fonction exponentielle

Soit u la fonction définie sur ]0; + ∞ [ par u(x) = ln(x) x Soit v la fonction définie sur R par v(x) = xe

.

1. Déterminer les limites de v(x) lorsque x tend vers −∞ et vers + ∞ en les justifiant précisément.

2. Comparer v(ln(x)) et u(x) pour tout x réel.

3. En déduire (en précisant comment) lim

x→+∞

u(x) Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0; + ∞ [ par f (x) = ln(x) − 2x

+ 2 1. Déterminer les limites de f (x) lorsque x tend vers 0 et vers + ∞

2. Démontrer que le sens de variation de f est résumé par le tableau suivant, en justifiant les éléments de tableau :

x 0 1

2 + ∞

f

(x) + 0 −

f (x)

3. Etudier les positions relatives sur

"

1 4 ; + ∞

"

des courbes de la fonction ln et de la fonction u

définie par u( x) = 2x

− 2

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E xercice 3 5 points

Partie A

On considère l’équation d’inconnues n et m deux entiers relatifs , (E) : 11n − 24m = 1.

1. Justifier en énonçant un théorème que cette équation admet au moins un couple solution.

2. Déterminer en utilisant l’algorithme d’Euclide un couple solution.

3. Déterminer l’ensemble des solutions de (E).

Partie B : Recherche du pgcd(10

− 1; 10

− 1).

1. Montrer que 10

− 1 et 10

− 1 sont divisibles par 9.

2. Montrer que si (n, m) est une solution de l’équation (E), alors (10

− 1) − 10(10

− 1) = 9.

3. En utilisant l’égalité a

− 1 = (a − 1)(a

+ a

+ . . . + a + 1),

montrer que quelques soient les entiers n et m, 10

− 1 divise 10

− 1 et 10

− 1 divise 10

− 1, 4. Déduire des résultats précédents le pgcd de 10

− 1 et 10

− 1.

E xercice 4 4 points

Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme, qui seront appelés par la suite des "originaux". Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées par la suite des "copies".

On sait que 0, 5% des flacons proposés à la vente sont des copies. Pour éliminer ces copies, l’entreprise a mis au point un test optique permettant, sans rompre le ruban de garantie, de se faire une opinion concernant la conformité du produit.

On sait que :

• La probabilité que le test soit positif (c’est-à-dire qu’il indique qu’il s’agit d’une copie) sachant que le produit est une copie est 0, 85.

• La probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est un original est 0, 95.

On tire un flacon au hasard et on le soumet au test.

On appelle O l’événement : « Le produit est un original » et T l’événement : « Le test est positif ».

Sauf indication contraire, on donnera la valeur exacte, sous forme décimale, de toutes les probabilités calculées.

1. Montrer que la probabilité que le produit soit un original est égale à 0, 995

2. Calculer la probabilité que le test soit positif sachant que le produit est un original.

3. Calculer la probabilité que :

(a) Le produit soit un original et que le test soit positif.

(b) Le test soit positif.

4. On a effectué le test sur un flacon et le test s’est révélé positif. Calculer la probabilité que le produit soit un original.

On donnera de cette probabilité une valeur approchée à 10

près.