E xercice 1. SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Ve eurs de variables al´eatoires

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.

 M´ethode de la fon ion muette (pour des ve eurs de v.a.)

E ^{xercice 1.}

^SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

D´eterminer la loi de X√−Y

 ,^X+Y√_

.

E ^{xercice 2.}

^SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

D´eterminer la loi deX/Y.

 M´ethode de rejet

E ^{xercice 3.}

^{Soit s > } fix´e. Une personne d´ecide de vendre sa maison au premier acheteur qui fera une offre sup´erieure ou ´egale `a s euros. On suppose que les offres (X_, X_, . . .) sont ind´ependantes et suivent la mˆeme loi qu’une variable al´eatoireX.

() SoitN ≥le nombre d’offres n´ecessaires pour vendre la maison.Quelle ela loi deN? () D´eterminer la loi du prix de venteX_N de la maison, et montrer que le prix de vente e

ind´ependant deN.

 Lois conditionnelles

E ^{xercice 4.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables al´eatoires r´eelles `a densit´e surR^tel que : – X suit une loiΓ(, λ) (de densit´ef_X(x) =λ^xe^−λx1x≥),

– la loi conditionnelle de Y sachant X e la loi uniforme sur le segment [, X] (ou, en d’autres termes, la densit´e conditionnelle deY sachant queX=xef_Y|X=x(y) = ^_x1<y<x).

() D´eterminer la densit´e de (X, Y) ainsi que la loi deY. () Calculer la densit´e conditionnelle deXsachant Y. () Calculer les quantit´es suivantes :

(a) E[Y|X], (b) E[X|Y],

(c) E[X+XY|Y],

(d) E[E[Y|X]],

(e) E[XY] (on pourra utiliser le fait que E[X^] = _λ^).

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



 Ve eurs gaussiens

E ^{xercice 5.}

^{SoitX= (X, X, X}) un veeur gaussien centr´e de matrice de covariance Γ =













  

  

  













() Que peut-on dire deX_ et de (X_, X_) ? () Quelle ela loi de (X_, X_) ?

() Montrer que pour touta∈Rle veeur (X_, X_+aX_) eun veeur gaussien.

() En choisissantade sorte queX_etX_+aX_ soient ind´ependants, calculerE[X_|X_].

E ^{xercice 6.}

^{Soit X} une variable al´eatoire de loi normale N(,). Pour a > , on pose Ya = X1|X|<a−X1|X|≥a.

() Montrer queY_aeune variable al´eatoire normaleN(,).

() Montrer qu’il exie un r´eela >tel queCov(X, Y_a) =. Les variables al´eatoiresX etY_a sont-elles alors ind´ependantes ? Le veeur (X, Ya) e-il un veeur gaussien ?

 A chercher pour la prochaine fois (lundi `  mai)

E ^{xercice 7.}

^{Soient X et Y} des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de lois respeives Γ(a, λ) etΓ(b, λ), aveca, b, λ∈],∞[.

() Calculer la loi du couple

X+Y ,_X+Y^X .

() Montrer queX+Y et _X+Y^X sont ind´ependantes et identifier leurs lois.

On rappelle que la densit´e de la loi Γ(a, λ) e (c.f. Seion ..du poly) _Γ^_(a)λ^ax^a−e^−λx1_x> avec Γ(a) =R∞

 z^a−e^−zdz.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E ^{xercice 8.}

(Erreurs dans la mesure de la position d’une ´etoile & Loi de Herschel ()) Pour rep´erer une ´etoile on utilise deux nombres, l’ascension droitex (´equivalent sur la sph`ere c´elee de la longitude terrere) et la d´eclinaisony (´equivalent sur la sph`ere c´elee de la latti- tude terrere). `A cause des erreurs de mesure, on mod´elise l’ascension droite par une variable al´eatoire r´eelleXet la d´eclinaison par une variable al´eatoire r´eelleY.

D´eterminerf_(X,Y), la densit´e de (X, Y), en faisant les hypoth`eses naturelles suivantes : () f_X=f_Y =f (densit´e de probabilit´e communef, de classeC^) ;



() X etY sont ind´ependantes ;

() Il exie une foniongde classeC^telle quef_(X,Y)(x, y) =g

x^+y^

pour tousx, y(com- menter cette hypoth`ese).

E ^{xercice 9.}

^{(Pale)}On consid`ere le jeu de la courte paille entre deux joueurs. Une troisi`eme personne choisit un bˆaton puis elle le coupe en deux. Elle pr´esente alors les deux morceaux aux joueurs en cachant la diff´erence de longueur dans sa main. Le premier joueur choisit un mor- ceau et le second prend l’autre. Celui qui a le morceau le plus long gagne. La longueur U du bˆaton esuppos´ee suivre la loi uniforme sur [,] et les deux morceaux finaux ont pour lon- gueurX=U V etY =U(−V) avecV de loi uniforme sur [,] ind´ependante deU.

() CalculerE[X] etVar(X).

() Donner la loi de−ln(U). En d´eduire sans calcul queξ=−ln(X) suit la loiΓ(,). D´eterminer la loi deX.

() Quelle e la loi de (X, Y) (faire attention au domaine image du changement de va- riables) ? Les longueurs des morceaux sont-elles ind´ependantes ? Comparer les lois de (Y , X) et de (X, Y). Le jeu e-il ´equitable ? Retrouver la densit´e deX.

E xercice 10.

(Simulation d’une loi de Poisson)Soit (U_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme, et soit λ >. On poseE_n =−ln(U_n)/λpour tout n≥ etT_n= E_+· · ·+E_n.

() Identifier la loi de (Ei)_≤i≤n, puis la loi deT_ncomme une loi (presque) classique.

() On pose N = min{n≥:U_U_· · ·U_n+ < e^−λ}. Montrer queN suit une loi de Poisson de param`etreλ.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

^(Pale)SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes de lois respec- tivesΓ(α, λ) etΓ(α+/, λ), avecα >etλ >. On pose (V , W) = (

√ XY ,

√

Y). D´eterminer la loi de (V , W).

On rappelle que la densit´e de la loiΓ(a, λ)e(c.f. Seion..du poly) _Γ^_(a)λ^ax^a−e^−λx1_x> avec Γ(a) =R∞

 z^a−e^−zdz.

E xercice 12.

Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes telles que E[|X|^p] < ∞, E[|Y|^p]<∞pour un certainp≥etE[Y] =. MontrerE[|X+Y|^p]≥E[|X|^p].

Indication.On pourra montrer queg:y7→E[|X+y|^p] econvexe et utiliser l’exercicede la PC, qui dit que lorsque X et Y sont ind´ependants, on aE[F(X, Y)] = E[G(Y)] o `u G ela fonion d´efinie parG(y) =E[F(X, y)] pour touty∈R.

E xercice 13.

^SoientX, . . . , X_ndes variables al´eatoires exponentielles ind´ependantes de mˆeme param`etreλ >avecn≥. On poseS_n=X_+· · ·+X_n.



() Identifier la loi deS_ncomme une loi (presque) classique.

() Trouver la densit´e conditionnelle deX_sachant queS_n=t.

() En d´eduire la valeur de l’esp´erance conditionnelle de X_ sachant S_n. Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?

E xercice 14.

Soit (X, Y) un couple de variables al´eatoires r´eelles `a densit´e surR^. On suppose queXetY sont ind´ependantes.

() Montrer queE[X|Y] =E[X].

() Plus g´en´eralement, montrer queE[h(X, Y)|X] =Φ(X), avecΦ(x) =E[h(x, Y)].

E xercice 15.

(R´earrangement croissant de variables uniformes) Soient X_, . . . , X_n des va- riables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [,]. L’exercice  de la PC  montre qu’il exie une permutation al´eatoire σ telle que P

X_σ()<· · ·< X_σ(n)

=  et que la loi deσ euniforme sur l’ensemble des permutations de longueurn. On pose

(Y_, . . . , Y_n) = (X_σ(), . . . , X_σ(n)).

() D´eterminer la loi de (Y_, . . . , Y_n).

() D´eterminer la loi de (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n).

E xercice 16.

(R´earrangement croissant de lois exponentielles) Soientλ_, . . . , λ_n>. On consid`ere des variables al´eatoires (E<sub>i</sub>)<sub></sub>≤i≤n ind´ependantes telles queE<sub>k</sub> suit une loi exponentielle de pa- ram`etre λ_k. On note E_() ≤ E_() ≤ · · · ≤ E_(n) les variables al´eatoires (E_i)_≤i≤n r´earrang´ees dans l’ordre croissant.

() Montrer queE_() suit une loi exponentielle de param`etreλ_+· · ·+λn. () Montrer que P

E_() < E_()

=  (ainsi le minimum des variables e atteint une unique fois presque s ˆurement).

() On note N = min{≤i ≤n:Ei =E_()}. Montrer queN etE_() sont ind´ependants, et que P(N =k) = _λ ^λk

+···+λ_n pour tout≤k≤n.

E xercice 17.

(Processus de Poisson) Soit (X_n, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi exponentielle de param`etre . On pose T_ =et pour tout n≥,T_n=X_+. . .+X_n. Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}. () Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

() En d´eduire la loi deN_tpour toutt >.

() Pour n ≥  et t > , on d´efinit sur Ω une nouvelle mesure de probabilit´e Q^n,t par la formule

Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t=n})

P(N_t=n) pour tout A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t.

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