Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6 Valentin KONAKOV
Examen d’analyse et r´egression lin´eaire LM347 Dur´ee : 2 heures
Documents et calculatrices non autoris´es
Jeudi 28 juin 2007
Exercice 1 - Question de cours (4.pt)
• Donner la loi de Poisson P(λ), son esp´erence et sa variance.
• Soit P(λ1) et P(λ2) deux lois de Poisson ind´ependantes. Donner la loi de P(λ1)−P(λ2), son esp´erence et sa variance.
Exercice 2 (3.pt)
Soit X une variable al´eatoire dont la densit´e est d´efinie par f(x;θ) =
(θ+ 1)(θ+ 2)(1−x)xθ si 0≤x≤1,
0 sinon.
D´eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance θbn de θ construit `a partir d’un ´echantillon (X1, . . . , Xn) de X.
Exercice 3 (4.pt)
Soit X= (X1, X2) de loi gaussienneN(m,Σ) avec m= (−1,1) et Σ=
2 −1
−1 2
.
Donnez la loi du couple (Y1, Y2) o`u Y1 =X1 + 2X2 et Y2 = 2X1+X2. Exercice 4 (3.pt)
Soit X, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes, normales, centr´ees, r´eduites.
1. Donner la fonction charact´eristique de U =X+Y.
2. Montrer que la variable al´eatoire X−Y est ind´ependante de U.
Exercice 5 (6.pt)
Soit Fun vecteur al´eatoire de R2, A une matrice d´eterministe 3×2, Uun vecteur al´eatoire de R3. On suppose EF = EU = 0, Cov(F,U) = 0 et, pour σ > 0, on d´efinit le vecteur al´eatoireX par
X=AF+σU.
1) Montrer queV ar(X) =AV ar(F)A0+σV ar(U).
On suppose que V ar(U) = Id, V ar(F) =
λ1 0 0 λ2
, A = [v1, v2], v1, v2 ´etant orthonorm´es.
2) Montrer que
V ar(X) =λ1v1v20 +λ2v2v02+σ2Id.
Calculer les vecteurs propres et valeurs propres de V ar(X). Quelles sont les axes principaux et les composantes principales de A.C.P. associ´ees ?
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