1 – Variables al´eatoires ind´ependantes

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Ind´ependance

0 – Petite question

SoientXetY deux variables aléatoires réelles indépendantes. SoitF:R×R→R₊une fonion borélienne.

Montrer queE[F(X, Y)] =E[g(Y)], o `ug:R→Rela fonion d´efinie parg(y) =E[F(X, y)] poury∈R.

1 – Variables al´eatoires ind´ependantes

E

^{xercice 1.} ^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires gaussiennes (centrées réduites) indépendantes. Mon- trer que les variables aléatoires ^X+Y^√_ et^X^√⁻_^Y soient indépendantes.

E

^{xercice 2.} On définit sur (Ω,A,P) des variables aléatoiresU_, . . . , U_nindépendantes et de loi uniforme sur{,, . . . , p}.

. Trouver la loi deM_n= max_≤k≤nU_k.

. Montrer que

E[M_n]

p −→

p→∞

n n+.

E

^{xercice 3.} (Formule de compensation.)Soient (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de loiµetN une variable aléatoire à valeurs dansNindépendante de la suite (X_n)_n≥.

. On suppose queµela loi de Bernoulli de param`etrep∈],[ c’e-`a-dire que µ=pδ_+ (−p)δ_,

et queN suit la loi de Poisson de param`etreλc’e-`a-dire que P(N =k) =e⁻^λλ^k

k!. On pose

P = XN

i=

X_i et F=N−P = XN

i=

(−X_i),

avecP =F =sur{N =}. Les variables aléatoiresP etF représentent respeivement le nombre de piles et de faces dans un jeu de pile ou face de paramètrep àN lancers.

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

(a) D´eterminer la loi du couple (P , N).

(b) En d´eduire les lois deP etFet montrer queP etFsont ind´ependantes.

. On ne fait plus d’hypoth`ese sur les lois. Soitf :R→R₊une fonion mesurable. Montrer que E





 XN

i=

f(X_i)







=E(N) Z

R

f(x)µ(dx),

avecP_N

i=f(X_i) =sur{N =}.

2 – Ind´ependance et fonctions caract´eristiques

E

^{xercice 4.} ^Soient^X êt^Y deux variables aléatoires bornées. Démontrer queXetY sont indépendantes si, et seulement si :

∀k, l∈N, E hX^kY^li

=E hX^ki

E hY^li

. ()

Indication.Lire le titre de cette partie.

3 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 5.} ^{Soit (Ω}^,^F^,^P) un espace probabilisé etXune variable aléatoire réelle définie sur (Ω,F,P).

. Si deux tribusA_etA_ sur (Ω,F,P) sont indépendantes et ont un élément commun A, montrer queP(A) =ouP(A) =.

. SoitCune sous-tribu deF telle que siC ∈ C, alorsP(C) =ou P(C) =. Montrer que siX eC mesurable, alorsXeconante presque s ˆurement.

Indication : on pourra introduire la fonion de r´epartitionFdeXet consid´ererx_= inf{x∈R;F(x) =}.

. Soitf :R→Rune fonion borélienne. On suppose quef(X) etX sont indépendantes. Montrer quef(X) econante presque s ûrement.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 6.}

. Mathias a deux enfants dont une fille.Quelle ela probabilit´e que l’autre enfant soit un garc¸on ?

. Mathilde a deux enfants. Le plus jeune e une fille. Quelle ela probabilité que l’aˆıné soit un garçon ?



(3)

E

^{xercice 7.} (Processus de Poisson) Soit (X_n, n ≥ ) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur (Ω,A,P), de même loi exponentielle de paramètre. On poseT_=et pour toutn≥,

T_n=X_+. . .+X_n.

Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}.

. Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

. En d´eduire la loi deN_t pour toutt >.

. Pourn≥ett >, on d´efinit surΩune nouvelle mesure de probabilit´eQ^n,t par la formule

Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t=n})

P(N_t=n) , A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t.

E

^{xercice 8.} ⁽ ^{) Soient} ^X êt^Y deux variables aléatoires réelles indépendantes et telles que les variables aléatoiresX+Y etX−Y soient indépendantes. Montrer que les deux variablesXetY sont deux variables aléatoires gaussiennes.

Fin

