1 Variance de la somme de variables al´eatoires ind´ependantes (15 points)

ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra: R´eponses

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

c 2012, Steve Ambler Hiver 2012

1 Variance de la somme de variables al´eatoires ind´ependantes (15 points)

Nous avons

Var(X+Y) =

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i+Y_j −E(X+Y))²

=

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i+Y_j−E(X)−E(Y))²

=

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) ((X_i−E(X)) + (Y_j −E(Y)))²

=

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i−E(X))²+ (Y_j −E(Y))²+ 2 (X_i−E(X)) (Y_j−E(Y))

=

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i−E(X))²

+

n

X

j=1 m

X

i=1

Pr(X =Xi)Pr(Y =Yj) (Yj −E(Y))²

+2

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i−E(X)) (Y_j−E(Y))

=

m

X

i=1

Pr(X =X_i) (X_i−E(X))²

n

X

j=1

Pr(Y =Y_j)

+

n

X

j=1

Pr(Y =Y_j) (Y_j−E(Y))²

m

X

i=1

Pr(X =X_i)

+2

m

X

i=1

Pr(X =X_i) (X_i−E(X))

n

X

j=1

Pr(Y =Y_j) (Y_j−E(Y))

=

m

X

i=1

Pr(X =X_i) (X_i−E(X))²+

n

X

j=1

Pr(Y =Y_j) (Y_j−E(Y))²+ 2×0×0

≡Var(X) +Var(Y),

ce qui fut `a montrer. Notez qu’il faut montrerdirectementque +2

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i−E(X)) (Y_j −E(Y)) = 0.

Il ne suffit pas d’invoquer Cov(X , Y) = 0, puisqu’on utilise indirectement ce qu’on veut montrer.

2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)

La variableY peut prendre 6 valeurs distinctes, de 1 `a 6. Nous avons Pr(X = 0, Y = 1) =Pr(Y = 1|X = 0)Pr(X = 0) = 1

6× 1 2 = 1

12. De mani`ere semblable,

Pr(X = 0, Y =i) = 1

12, i= 1. . .6.

Nous avons aussi

Pr(X = 1 , Y = 1) =Pr(Y = 1|X = 1)Pr(X = 1) = 1 4 ×1

2 = 1 8. De mani`ere semblable,

Pr(X = 1, Y =i) = 1

8, i= 1. . .4, et

Pr(X = 1, Y = 5) =Pr(Y = 5|X = 1)Pr(X = 1) = 0×1 2 = 0.

De mani`ere semblable, Pr(X = 1 , Y = 6) = 0.

Nous pouvons maintenant r´epondre aux sous-questions.

1. Nous avons le tableau suivant

X : Y : 1 2 3 4 5 6 Pr(X)

0 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2

1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 0 1/2

Pr(Y) 5/24 5/24 5/24 5/24 1/12 1/12 1

2. Nous avons

E(X) =Pr(X = 0)×0 +Pr(X = 1)×1

= 1

2 ×0 + 1

2 ×1 = 1 2. 3. Nous avons

E(Y) =Pr(Y = 1)×1 +Pr(Y = 2)×2 +Pr(Y = 3)×3 +Pr(Y = 4)×4 +Pr(Y = 5)×5 +Pr(Y = 6)×6

= 5 24 +10

24+ 15 24+ 20

24+ 5 12 + 6

12 = 72 24 = 3.

Ce n’´etait pas n´ecessaire de simplifier la r´eponse.

4. Nous avons

E(Y|X = 1) =Pr(Y = 1|X = 1)×1+Pr(Y = 2|X = 1)×2+Pr(Y = 3|X = 1)×3 +Pr(Y = 4|X = 1)×4 +Pr(Y = 5|X = 1)×5 +Pr(Y = 6|X = 1)×6

= 1

4 ×1 + 1

4×2 + 1

4 ×3 + 1

4 ×4 + 0×5 + 0×6

= 10

4 = 2.5.

Ce n’´etait pas n´ecessaire de simplifier.

5. Nous avons

E(X|Y = 2) =Pr(X = 0|Y = 2)×0 +Pr(X = 1|Y = 2)×1

= 2

5×0 + 3

5×1 = 3 5

6. Les deux variables al´eatoires ne sont pas ind´ependantes. Nous avons Pr(X = 1, Y = 6) = 06= 1

2 × 1

12 =Pr(X = 1)×Pr(Y = 6).

On a trouv´e un contre-exemple o`u cette ´egalit´e ne tient pas et donc les deux variables al´eatoires ne sont pas ind´ependantes.

3 Estimateur de l’esp´erance (20 points)

1. Non. Pour augmenter la pr´ecision de l’estimateur, nous devrions accorder un poids plus ´elev´e aux observations qui permettent d’estimer le param`etre d’int´erˆet plus pr´ecis´ement, cela veut dire aux observations o`u la variance autour de la moyenne est plus petite. Le fait d’observer une r´ealisation donn´ee deY₁ donne pour cette raisondavantaged’information que d’observer une r´ealisation donn´ee deY₂. La 4e partie de la question donne un estimateur˚Y qui pond`ere les deux ´echantillons de fac¸on arbitraire.

Ensuite, je vous demande dans la 5e partie de montrer que la pond´eration qui minimise la variance de l’estimateur (et qui donne donc l’estimateur le plus efficient parmi les valeurs possibles dem) donne un poids plus ´elev´e aux observations sur lesY_i1. Donc, je vous donne la r´eponse `a cette sous-question dans l’´enonc´e de la 5e partie.

Une autre fac¸on de penser `a la r´eponse de mani`ere intuitive est la suivante.

Pensez `a un cas extr`eme, o`u la variance deY₁, au lieu d’ˆetre la moiti´e de la variance deY₂, tend vers z´ero. Dans tel cas, observer une r´ealisation deY₁ nous r´ev´eleraitsans erreurl’esp´erance de la distributionµY. On

accorderait tout le poids aux observations surY₁ et aucun poids aux observations surY₂.

2. Nous avons

E

Ye

=E 1 2n

n

X

i=1

Y_1i+ 1 2n

n

X

i=1

Y_2i

!

= 1 2n

n

X

i=1

µ_Y + 1 2n

n

X

i=1

µ_Y

= n

2nµ_Y + n

2nµ_Y =µ_Y. 3. Nous avons

Var Ye

=Var 1 2n

n

X

i=1

Y_1i+ 1 2n

n

X

i=1

Y_2i

!

= 1 4n²

n

X

i=1

Var(Y_1i) + 1 4n²

n

X

i=1

Var(Y_2i)

= n

4n²σ²_Y + n 4n²2σ_Y²

= 3 4

1 nσ_Y².

4. Nous avons (notez qu’il est facile de montrer queY˚est non biais´e, mais je ne vous ai pas demand´e de le faire)

Var Y˚

=Var m n

n

X

i=1

Y_1i+ (1−m) n

n

X

i=1

Y_2i

!

= m² n²

n

X

i=1

Var(Y1i) + (1−m)² n²

n

X

i=1

Var(Y2i)

= m²

n σ²_Y +(1−m)² n 2σ_Y²

= 1

n m²+ 2(1−m)² σ_Y².

5. Nous voulons trouvez la r´eponse au probl`eme minm m²+ 2(1−m)²

σ_Y². Nous avons comme CPO

∂(m²+ 2(1−m)²)

∂m = 0

⇒2m−2×2(1−m) = 0

⇒6m−4 = 0

⇒m= 2 3.

4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (45 points)

1. Le coefficientβ₁ donne la part du travail dans le paiement aux facteurs par la firme et donne aussi l’´elasticit´e de la production de la firme part rapport au travail.

2. Nous avons

T SS =SSR+ESS= 451.78 + 236.49 = 688.27 3. Nous avons

R² = ESS

T SS = 236.49 688.27 4. Nous avons

rSSR n−2 =

r451.78 278 5. Pour un test de significativit´e, l’hypoth`ese nulle est

H₀ :β₁ = 0, et l’hypoth`ese alternative est

H₁ :β₁ 6= 0.

La statistiquetest donn´ee par t =

βˆ₁−0 ˆ σ_βˆ

1

= 0.690 0.023

6. Nous avons

p= 2Φ

−

0.690 0.023

.

Puisque la fonctionΦ(·)est la fonction de distribution cumul´ee pour la loi normale centr´ee r´eduite, nous supposons implicitement qu’il y a assez d’observations pour que notre statistiquetsoit approximativement distribu´ee selon une loi normale (centr´ee r´eduite).

7. La valeur absolue de la statistiquetest sup´erieure `a 30. Avec une valeur aussi grande en valeur absolue, nous allons pouvoir rejeter l’hypoth`ese nulle `a tous les taux marginaux de significativit´e conventionnels.

8. Nous avons

t = 0.690−0.66 0.023

9. Une grande valeur (positive) de la statistique calcul´ee constitue de l’´evidence contre l’hypoth`ese nulle. Lap-value est donn´ee par

p= 1−Φ

−

0.690−0.66 0.023

10. Nous avons pour la loi normale centr´ee r´eduite 0.95Pr −1.96≤ βˆ₁−β₁

ˆ σβˆ1

≤1.96

!

=Pr

−1.96ˆσβˆ1 ≤βˆ₁−β₁ ≤1.96ˆσβˆ1

=Pr

1.96ˆσ_βˆ

1 ≥β₁−βˆ₁ ≥ −1.96ˆσ_βˆ

1

=Pr

βˆ₁+ 1.96ˆσβˆ1 ≥β₁ ≥βˆ₁−1.96ˆσβˆ1

=Pr

βˆ₁−1.96ˆσ_βˆ

1 ≤β₁ ≤βˆ₁+ 1.96ˆσ_βˆ

1

. Donc, l’intervalle de confiance est donn´e par

0.690±1.96×0.023.

11. Nous avons pour la loi normale centr´ee r´eduite 0.99Pr −2.58≤ βˆ₀−β₀

ˆ σβˆ0

≤2.58

!

=Pr

−2.58ˆσβˆ0 ≤βˆ₀−β₀ ≤1.96ˆσβˆ0

=Pr

2.58ˆσβˆ0 ≥β₀−βˆ₀ ≥ −2.58ˆσβˆ0

=Pr

βˆ₀+ 2.58ˆσ_βˆ

0 ≥β₀ ≥βˆ₀−2.58ˆσ_βˆ

0

=Pr

βˆ₀−2.58ˆσβˆ0 ≤β₀ ≤βˆ₀+ 2.58ˆσβˆ0

. Donc, l’intervalle de confiance est donn´e par

0.130±2.58×5.371.

Notez que cet intervalle contient z´ero. Un test de significativit´e pourβˆ₀ ne rejetterait pas l’hypoth`ese nulle aux taux de significativit´e marginale conventionnels.

5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (20 points (bonus))

1. La CPO pour minimiser la somme des r´esidus au carr´e est

n

X

i=2

−2∆X_i(∆Y_i−β₁∆X_i) = 0

⇒βˆ₁ = Pn

i=2∆Yi∆Xi

Pn

i=2(∆X_i)² 2. Nous avons

βˆ₁ = Pn

i=2∆Xi(β1∆Xi+vi) Pn

i=2(∆X_i)²

=β₁ Pn

i=2(∆X_i)² Pn

i=2(∆X_i)² + Pn

i=2∆X_iv_i Pn

i=2(∆X_i)²

=β₁+ Pn

i=2∆X_iv_i Pn

i=2(∆X_i)². Nous avons tout de suite

E βˆ₁

=β₁+E Pn

i=2∆Xivi

Pn

i=2(∆X_i)²

!

=β₁+E Pn

i=2∆X_iE(v_i|∆X_i) Pn

i=2(∆X_i)²

!

=β1. 3. Nous avons

βe₁ =

1 n

Pn i=2∆Yi 1

n

Pn i=2∆Xi

=

1 n

Pn

i=2(β₁∆X_i+v_i)

1 n

Pn i=2∆X_i

=β₁

1 n

Pn i=2∆X_i

1 n

Pn

i=2∆X_i +

1 n

Pn i=2v_i

1 n

Pn i=2∆X_i

=β₁ +

1 n

Pn i=2vi 1

n

Pn i=2∆Xi

.

Nous avons tout de suite E

βe₁

=β₁+E 1

n

Pn i=2v_i

1 n

Pn i=2∆X_i

=β1+E 1

n

Pn

i=2E(v_i|∆X_i)

1 n

Pn i=2∆X_i

=β₁

4. En cas d’homosc´edasticit´e,βˆ₁serait l’estimateur `a variance minimale. (Les deux estimateurs sont lin´eaires enβ<sub>1</sub>.) Nous n’avons fait aucune hypoth`ese concernant la variance du terme d’erreur, et pour cette raison nous ne pouvons conclure avec certitude queβˆ₁a une plus petite variance queβe₁. cr´e´e le : 19/02/2012