Travaux dirig´ es, feuille 8 : probabilit´ es - 1 loi de variables al´ eatoires, ind´ ependance

Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales

Int´egration et Probabilit´es 2010-2011

Travaux dirig´ es, feuille 8 : probabilit´ es - 1 loi de variables al´ eatoires, ind´ ependance

Loi de variables al´eatoires, fonction de r´epartition et moments de variables r´eelles

Exercice 1

Soient X, Y etZ des variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P).

1) On suppose que X=Y p.s. Montrer queX=Y en loi. Montrer que la r´eciproque est fausse.

2) On suppose que X etY ont la mˆeme loi.

a) Soit f :R→Rune fonction bor´elienne. Montrer que les v.a. f(X) et f(Y) ont la mˆeme loi.

b) Montrer que les variables al´eatoiresXZ etY Z n’ont pas n´ecessairement la mˆeme loi.

Exercice 2

1) Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans R de loi N(0,1) (gaussienne centr´ee de variance 1), c’est `a dire de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue donn´ee parf(x) = ^√1

2πe^−x

2

2 . Quelle est la loi de|X|? Calculer E(|X|) et Var(|X|).

2) Soit X = (X1, X2) une variable al´eatoire `a valeurs dans R<sup>2</sup> de loi N<sub>2</sub>(0, Id2), c’est `a dire de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue dansR² donn´ee parf(x) = _2π¹ e^−kxk

2

2 . On poseY = ^X_X¹

2 siX2 6= 0 etY = 0 si X2 = 0. Quelle est la loi de Y?

Exercice 3

Soit X une variable al´eatoire de loi uniforme sur

−^π₂,^π₂

, c’est `a dire de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue donn´ee parf(x) = _π¹1_[−^π

2,^π₂](x).

1) On pose Y =X². Quelle est sa fonction de r´epartition, sa densit´e, son esp´erance et sa variance?

2) Mˆemes questions pour Z = tan(X).

Exercice 4

Soit X une variable al´eatoire de loi dont la densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue est donn´ee par f(x) =αx³1_[0,1](x).

1) Calculer α etE(X).

2) Donner la fonction de r´epartition deY d´efinie par

Y =X1[1/4,3/4](X) +1]3/4,+∞[(X). Cette variable admet-elle une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue?

3) Montrer que la loi de Y est f λ+ (1/4)⁴δ0+ (1−(3/4)⁴)δ1, o`u f :x7→4x³1[1/4,3/4](x).

Exercice 5

Soit (Xn)n≥0 une suite de v.a. r´eelles i.i.d., int´egrables de moyennem. On note Lla fonction d´efinie surR par

L(λ) = ln

E e^λX1

siE e^λX1

<∞

+∞ sinon,

et L^∗ la fonction d´efinie surRpar

L^∗(x) = sup{xλ−L(λ)|λ∈R}. 1) V´erifier que L(λ)≥λmpour toutλ∈R, puis que

L^∗(x) =

sup{xλ−L(λ)|λ∈R⁺} six > m , sup{xλ−L(λ)|λ∈R⁻} six < m . 2) Montrer que pour tout α >0 et pour tout n≥1,

P

X1+. . . Xn

n −m≥α

≤e^{−nL∗(m+α)}.

3) En d´eduire que pour tout α >0 et pour tout n≥1, P

X₁+. . . X_n

n −m

≥α

≤e^{−nL∗(m+α)}+e^{−nL∗(m−α)}.

Exercice 6

Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans N de loi de Poisson de param`etre λ > 0 donn´ee par P(X = k) =e^{−λ λ}_k!^k pour tout entier naturelk.

1) Calculer E(X), Var(X) et E 1

X+1

.

2) On pose Y = (−1)^X. Trouver la loi deY. CalculerE(Y), Var(Y).

Exercice 7

On consid`ere une source lumineuse ponctuelle situ´ee au point (−1,0) dans le plan. Soit θ une variable al´eatoire d´efinie sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), de loi uniforme sur ]−π/2, π/2[, c’est `a dire de densit´e ¹_π1]−π/2,π/2[. On suppose que la source ´emet un rayon lumineux en direction de l’axe des ordonn´ees en faisant un angle θ avec l’axe des abscisses. D´eterminer la loi de l’ordonn´ee du point d’impact du rayon avec l’axe des ordonn´ees.

Exercice 8

Soient X une v.a. r´eelle d´efinie sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P) et F sa fonction de r´epartition (on rappelle que F(t) =P(X≤t), pour tout t∈R).

1) Si F est continue et strictement croissante, et si U est une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1], quelle est la loi de la variable al´eatoire F⁻¹(U)?

2) Dans le cas g´en´eral, on d´efinit F⁻¹, la pseudo-inverse continue `a droite de F, par F⁻¹(u) = inf{x ∈ R|F(x)> u}. Quelle est la loi de la variable al´eatoire F⁻¹(U)?

Indication : on pourra montrer que

{F⁻¹(U)≤t}= \

n∈N^∗

{F(t+ 1/n)> U}.

Exercice 9

On dit qu’une variable r´eelle X v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire si pour touss, t >0 on a P(X > t+s) =P(X > t)×P(X > s).

Montrer qu’une variable al´eatoire r´eelle positiveX v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire si et seulement si X suit une loi exponentielle, i.e., de densit´e x7→λe^−λx1_R⁺(x) par rapport `a la mesure de Lebesgue dans R, o`u λ >0 est une constante.

Indication : on pourra ´etudier la fonction G:t≥07→lnP(X > t).

Exercice 10

Soit F la fonction de r´epartition d’une mesure de probabilit´e µtelle queF(x)∈ {0,1} pour toutx∈D, o`u D est un ensemble dense dans R. Montrer queµ est une mesure de Dirac.

Exercice 11

1) Soit (X, Y) une variable al´eatoire `a valeurs dans R<sup>2</sup> dont la loi admet une densit´e f par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R².

a) Rappel de cours : montrer que les lois de X et de Y admettent chacune une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R; en donner une expression en fonction def.

b) On suppose que f(x, y) = e^−x10≤y≤x. V´erifier que f est bien une densit´e. Calculer la densit´e fX

(respectivement f_Y) deX (resp. deY), et montrer que les variables X etY ne sont pas ind´ependantes.

2) Soit X une variable al´eatoire r´eelle dont la loi admet une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue surR. Montrer que la loi du couple (X, X) n’admet pas de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R².

Exercice 12

SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansNde loi g´eom´etrique de param`etrea∈]0,1[, donn´ee parP(X= k) = (1−a)a^k pour tout entier naturelk. Soitm un entier strictement positif. On poseY = max(X, m) et Z = min(X, m). Trouver la loi deY. Montrer queY +Z =X+m. CalculerE(Y) et en d´eduire E(Z).

Exercice 13

SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dansRde loi exponentielle de param`etreλ >0, c’est `a dire de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue donn´ee parf(x) =λe^−λx1[0,+∞[(x). On noteY la partie enti`ere deX.

Calculer la loi de Y. Exercice 14

SoientXetY deux variables al´eatoires r´eelles admettant une densit´e, li´ees par la relationX+Y = 0. Quelle relation y a-t-il entre les fonctions de r´epartition deX etY et entre les densit´es deX etY?

Exercice 15

Soient (Ω,F,P) un espace de probabilit´e et sur cet espace une variable al´eatoireN de loi gaussienne centr´ee de variance 1 c’est-`a-dire de densit´ex7→ ^√1

2πe^−x2/2 par rapport `a la mesure de Lebesgue. Calculer la loi de la variable al´eatoire 1/N².

Ind´ependance

Exercice 16

Soient (X_n)n≥1 une suite de v.a. r´eelles d´efinies sur (Ω,F,P), ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle de param`etre 1, de densit´ex7→e<sup>−x</sup>1(x) par rapport `a la mesure de Lebesgue. On poseT0= 0 et pour tout n≥1,

T_n=X₁+...+X_n. Pour tout t≥0, on pose

Nt= max{n≥0|Tn≤t}. 1) Soit n≥1. Calculer la loi dun-uplet (T1, ..., Tn).

2) En d´eduire la loi de Nt, pour toutt >0.

3) Pour n≥1 et t >0, on d´efinit sur (Ω,F) une nouvelle mesure de probabilit´e Q^n,t par la formule

∀A∈ F, Q^n,t(A) = P(A∩ {N_t=n}) P(Nt=n) . Calculer la loi du n-uplet (T₁, ..., T_n) sous la mesure de probabilit´e Q^n,t. Exercice 17

Pour tout a >0 et toutλ >0 on poseγ_a,λ(x) = _Γ(a)^λa e^−λxx^a−11_R+.La loi de densit´e γ_a,λ est not´ee Γ(a, λ).

1) SoientX etY deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi respectives Γ(a, λ) et Γ(b, λ). Calculer la loi du couple (X+Y, X/(X+Y)) puis les lois deX+Y etX/(X+Y). En d´eduire queX+Y etX/(X+Y) sont ind´ependantes, et que

Z ₁

0

x^a−1(1−x)^b−1dx= Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) .

2) Trouver la loi de X/Y et montrer que cette variable al´eatoire est ind´ependante deX+Y.

3) Soient (X₁, X₂, . . . , X_n) des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi gaussienne centr´ee r´eduite N(0,1), de densit´ex7→exp(−x²/2)/√

2π par rapport `a la mesure de Lebesgue. SoitZ =X₁²+X₂²+· · ·+X_n². Montrer que X_i² a pour loi Γ(¹₂,¹₂), et que Z a pour loi Γ(ⁿ₂,¹₂). Calculer son esp´erance. Cette loi s’appelle loi du χ²_n.

Exercice 18

Sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), on se donne nvariables al´eatoires X₁, . . . , X_n, ind´ependantes et de loi uniforme sur [0,1], de densit´e1[0,1] par rapport `a la mesure de Lebesgue.

1) Montrer qu’il existe nvariables al´eatoiresY₁, . . . , Y_n sur (Ω,F,P) telles que

Y1(ω)≤. . .≤Yn(ω) et {Y₁(ω), . . . , Yn(ω)}={X₁(ω), . . . , Xn(ω)}

pour presque tout ω ∈Ω.

2) D´eterminer les lois de (Y1, . . . , Yn) et de (Y1/Y2, . . . , Yn−1/Yn). Que peut-on en d´eduire sur la famille (Y1/Y2, . . . , Yn−1/Yn)?

Exercice 19 : Lemme de Borel-Cantelli, suite

1) Soit (An)n∈N une suite d’´ev´enements ind´ependants. Montrer que X

n≥0

P(A_n) =∞ =⇒ P

lim sup

n→∞

A_n

= 1. C’est la deuxi`eme partie du lemme de Borel-Cantelli.

Indication: on pourra montrer pour tout n∈N, P[∩_k≥nA^c_k] = 0.

2) Soit α >0, et soit (Zn, n≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par P(Z_n= 1) = 1

n^α et P(Z_n= 0) = 1− 1 n^α. Montrer que Z_n→0 dans L¹ mais que, p.s.,

lim sup

n→∞

Z_n=

1 si α≤1, 0 si α >1.

Exercice 20

Soient (X_n)n≥1 une suite de v.a. r´eelles i.i.d. de loiµ et N une v.a. `a valeurs dans Nind´ependante de la suite (Xn)n≥1.

1) On suppose que µ est la loi de Bernoulli de param`etre p∈]0,1[, c’est-`a-dire que µ=pδ1+ (1−p)δ0, et que N suit la loi de Poisson de param`etre λ, c’est-`a-dire que pour tout k∈N, P(N =k) = e^−λλ^k/k!. On pose

P =

N

X

i=1

X_i et F =N −P =

N

X

i=1

(1−X_i).

avec P =F = 0 sur {N = 0}. Les v.a. P et F repr´esentent respectivement le nombre de piles et de faces dans un jeu de pile ou face de param`etre p `aN lancers.

a) D´eterminer la loi du couple (P, N).

b) En d´eduire les lois de P etF et montrer que P etF sont ind´ependantes.

2) On ne fait plus d’hypoth`ese sur les lois. Soit f :R→R⁺ une fonction mesurable. Montrer que E

" _N X

i=1

f(X_i)

#

=E[N] Z

R

f dµ ,

avec

N

X

i=1

f(X_i) = 0 sur{N = 0}.

Exercice 21 : loi du 0-1

1) Soit (X_n)n≥1 une suite de v.a. ind´ependantes d´efinies sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), `a valeurs dans (E,E). Pour tout n, on note B<sub>n</sub>=σ(Xk, k ≥n). Soit B<sub>∞</sub>=∩<sub>n≥1</sub>B<sub>n</sub> la tribu asymptotique. Montrer que B<sub>∞</sub> est grossi`ere, c’est-`a-dire que pour toutB∈ B_∞, on aP(B)∈ {0,1}.

Indication : on pourra montrer que B_∞ est ind´ependante d’elle-mˆeme.

2) Application : soit (Xn)n≥1 suite de v.a. r´eelles ind´ependantes. Montrer que X

n≥1

Xn converge p.s. ou diverge p.s. Si les Xn sont identiquement distribu´es, la s´erie X

n≥1

Xn peut-elle converger?

Exercice 22

Sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), on se donne (X, Y) une variable al´eatoire `a valeurs dansR<sup>2</sup>. 1) On suppose que la loi de (X, Y) a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue la fonction

(x, y)7→λ µ e^−λx−µy1_R²₊(x, y). a) Quelle est la loi de X? DeY? Que peut-on dire du couple (X, Y)?

b) D´eterminer la loi de la variable al´eatoireU = min(X, Y).

2) On suppose que la loi de (X, Y) a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue la fonction (x, y)7→ 1

4πe^−x/21R+(x)1[0,2π](y). D´eterminer la loi de la variable al´eatoire (√

XcosY,√

XsinY). Que peut-on en d´eduire?

3) On suppose que la loi de (X, Y) a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue la fonction (x, y)7→ 1

2πe^−x2+y

2 2 .

Calculer la loi de la variable al´eatoire X/Y. Exercice 23

Une variable al´eatoire r´eelleV est ditesym´etriquesi −V a mˆeme loi que V. 1) Soit X une variable al´eatoire r´eelle.

a) On suppose que la loi de X admet une densit´e f par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R. Montrer que X est sym´etrique ssif(x) =f(−x) pour λ-presque tout x∈R.

b) Montrer que X est sym´etrique ssi sa fonction caract´eristique est r´eelle.

2) Soient X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. Montrer que X−Y est sym´etrique. Ceci reste-t-il vrai si l’on ne suppose plus l’ind´ependance?

3) Soit X une variable al´eatoire r´eelle et ε une variable al´eatoire ind´ependante de X de loi ¹₂δ−1 + ¹₂δ₁. Montrer que si X est sym´etrique alorsε|X|a mˆeme loi que X.

Exercice 24

Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans N de loi g´eom´etrique de param`etre 0< a <1. On poseM = min(X, Y) etZ =Y −X.

1) Calculer P(X ≥k).

2) Calculer P(M ≥k) et en d´eduireP(M =k). Quelle est la loi de M ?

3) Pour tous k∈N, r∈ZcalculerP(M =k, Z =r). Pour cela on distinguera le cas r≥0 du casr <0.

4) En d´eduire la loi de Z. Que peut-on dire de M etZ ?

Exercice 25

On d´efinit sur (Ω,F,P) des variables al´eatoiresU₁^(p), ..., Un^(p)ind´ependantes et de loi uniforme sur{1,2, ..., p}.

1) Trouver la loi de M_n^(p)= max

1≤k≤nU_k^(p). 2) Montrer que E(M_n^(p)) = X

k∈N^∗

P(M_n^(p) ≥k).

3) Montrer que

p→∞lim

E(Mn^(p))

p = n

n+ 1. Exercice 26

Soit (X_n)n≥1 une suite de v.a. r´eelles i.i.d. On note F la fonction de r´epartition de X₁ et on suppose que X1 n’est pas p.s. constante.

1) Soit a∈Rtel que 0< F(a)<1. Montrer que p.s.

lim inf

n→∞ X_n≤a≤lim sup

n→∞

X_n.

Indication : penser au lemme de Borel-Cantelli.

2) On pose α = inf{x ∈ R|F(x) >0} et β = sup{x ∈R|F(x) < 1}. Montrer que α 6= +∞, β 6=−∞ et α < β.

3) Montrer que p.s.

lim sup

n→∞

X_n=β et lim inf

n→∞ X_n=α . Exercice 27

Soient X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de densit´es respectives f etg par rapport `a la mesure de Lebesgue. On pose m= min(X, Y) etM = max(X, Y).

1) Montrer que P(X=Y) = 0.

2) Montrer que la loi du couple (m, M) a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebsegue dans R² la fonction

(x, y)7→1x<y[f(x)g(y) +f(y)g(x)].

3) On suppose que X suit une loi exponentielle de param`etre 1 et Y une loi uniforme sur [0,1]. Montrer que m etM ne sont pas ind´ependantes.

Exercice 28

Soient X une v.a. r´elle de loi normaleN(0,1) et εune v.a. r´eelle ind´ependante deX de loi ¹₂δ−1+¹₂δ₁. On pose Y =εX.

1) Montrer que Y est de loi gaussienneN(0,1) et calculer Cov(X, Y).

2) Les variables X etY sont-elles ind´ependantes ?

Exercice 29

Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. r´eelles i.i.d. On pose, pour tout n≥1,Sn=X1+· · ·+Xn. 1) En utilisant la relation

S_n

n − S_n+1

n+ 1 = S_n

n(n+ 1)−X_n+1 n+ 1, montrer que

( S_n

n

n≥1

converge dansR )

⊂

lim sup

n→∞

{|X_n| ≥n}

c

. 2) Montrer que

E(|X₁|)≤1 +X

n≥1

P(|X_n| ≥n).

3) En d´eduire que siX1 n’est pas int´egrable, alors la suite (Sn/n)n≥1 diverge p.s.