Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2012-2013TD – Formule du changement de variable
0 – Petite question
Soitµune mesure positive sur (R,B(R)) etg:R→R+une fonion mesurable.
. On suppose que pour toute fonion mesurablef :R→R+on a Z
f(x)µ(dx) = Z
f(x)g(x)dx.
Que dire deµ?
. On suppose maintenant queµefinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R+on a Z
f(x)µ(dx) = Z
f(x)g(x)dx.
Que dire deµ? Et si la mesureµn’epas n´ecessairement finie ?
1 – Mesure image
Rappel (mesure image).Soient (E,A, µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable etφ:E→F une fonion mesurable. On rappelle que l’on d´efinit sur (F,B) une mesureνφappel´ee mesure image de µ parφpar
νφ(B) =µ(φ−(B)), B∈ B. On rappelle que pour tout fonion mesurablef :F→R+, on a
Z
F
f(x)νφ(dx) = Z
E
f(φ(x))µ(dx).
E
xercice 1. (Formule des compl´ements) On noteΓ la fonion d´efinie pourx >par Γ(x) =Z ∞
tx−e−tdt.
. Calculer la mesure image de la mesure
xa−yb−e−(x+y)1{x,y≥}dx dy, par l’application (x, y)∈(R+)7→(x+y, x/(x+y)).
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
. En d´eduire la formule des compl´ements : Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b) = Z
ta−(−t)b−dt.
2 – Calculs de lois `a densit´e
E
xercice 2. Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne (X, Y) une variable al´eatoire `a valeurs dansR.. On suppose que la loi de (X, Y) e
λµe−λx−µy1R+(x, y)dx dy.
D´eterminer la loi de la variable al´eatoireU= min(X, Y).
. On suppose que la loi de (X, Y) e
πe−x/1{x≥}1[,π](y)dx dy.
D´eterminer la loi de la variable al´eatoire (
√
Xcos(Y),
√
Xsin(Y)).
. On suppose que la loi de (X, Y) e
πe−x
+y
dx dy.
Calculer la loi de la variable al´eatoire r´eelle XY.
E
xercice 3. Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne une variable al´eatoireN `a valeurs dans Rde loi (√π)−e−x/dx. Calculer la loi de la variable al´eatoire/N.
E
xercice 4. On consid`ere une source lumineuse ponuelle situ´ee au point (−,) dans le plan. Soitθune variable al´eatoire d´efinie sur un espace de probabilit´es (Ω,A,P), uniforme sur ]−π/, π/[. On suppose que la source ´emet un rayon lumineux en direion de l’axe des ordonn´ees en faisant un angle θavec l’axe des abscisses. D´eterminer la loi de l’ordonn´ee du point d’impadu rayon avec l’axe des ordonn´ees.3 – ` A chercher pour la prochaine fois
R´eviser le cours et ce qui a ´et´e fait en TD. Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les
´enonc´es sont disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement – partieArchives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 5. SoitA∈Rd×dune matrice sym´etrique d´efinie positive. Calculer l’int´egrale ZRd
e−hAx|xiλd(dx),
o `uh·|·id´esigne le produit scalaire usuel surRdetλdd´esigne la mesure de Lebesgue surRd. Rappel :R
Re−x/dx=√
π.
E
xercice 6. Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne (X, . . . , Xn) une variable al´eatoire `a va- leurs dansRnde loi1[,]n(x, . . . , xn)dx. . . dxn.
. Conruire, `a l’aide des ´ev`enements Aσ = {Xσ < . . . < Xσn} pour σ ∈ Sn, n variables al´eatoires Y, . . . , Ynsur (Ω,A,P) telles que
Y(ω)≤. . .≤Yn(ω) et {Y(ω), . . . , Yn(ω)}={X(ω), . . . , Xn(ω)} pour presque toutω∈Ω.
. D´eterminer les lois des variables al´eatoires (Y, . . . , Yn) et (Y/Y, . . . , Yn−/Yn).
Fin
