1S1 Correction 29 p 192 2014-2015
Soitdla droite d’équation (1−k)x+ (4k2−9)y−8 = 0, oùkest un nombre réel.
Déterminer le(s) réel(s)kdans chacun des cas suivants.
1. dest une droite parallèle aux axes.
2. Le pointA(1; 2) apaprtient à la droited.
3. B
−1−k;1 9k2
appartient à la droited.
4. La droitedest parallèle à la droite ∆ d’équationx+ 2ky−6k= 0.
• • • Dans (O;−→i;−→j),
dadmet le vecteur−u→d
−b= 9−4k2 a= 1−k
comme vecteur directeur. −→i 1
0
et−→j 0
1
1. •dest parallèle à (O;−→i) (axe des abscisses) si−u→d et−→i sont colinéaires. Or la colinéarité se traduit par : (9−4k2)×0−(1−k)×1 = 0⇔k−1 = 0⇔ k= 1
Ainsi, pourk= 1, la droitedest parallèle à l’axe des abscisses.
•dest parallèle à (O;−→j) (axe des ordonnées) si−u→d et−→j sont colinéaires. Cela s’écrit : (9−4k2)×1−(1−k)×0 = 0⇔9−4k2= 0⇔k2= 9
4 ⇔ k=3
2 ou k=−3 2 Ainsi, pourk=−3
2 ouk= 3
2, la droitedest parallèle à l’axe des ordonnées.
• • •
2. Les coordonnées deA vérifient l’équation dedsi, et seulement si, le pointAest sur d.
kest tel queA∈d⇔(1−k)xA+ (4k2−9)yA−8 = 0⇔1−k+ 8k2−18−8 = 0⇔8k2−k−25 = 0.
∆ = 801 = 3√
89 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes k1= 1 + 3√ 89
16 et k2= 1−3√ 89
16 .
A∈dsi et seulement sik=k1 ouk=k2.
• • • 3. B
−1−k;1 9k2
appartient à la droitedimplique que (1−k)(−1−k) + (4k2−9)×1
9−8 = 0⇔k4= 81
4 ⇔ k= 3
√2 ou k=− 3
√2 B∈dsi et seulement sik= 3
√2 ouk=− 3
√2.
• • • 4. −→u∆
−2k 1
. Si−→ud et −→u∆ sont colinéaires alorsdet ∆ sont parallèles.
On calculekpour les deux vecteurs soient colinéaires
(1−k)×2k−1×(4k2−9) = 0⇔ −6k2+ 2k+ 9 = 0
∆ = 220 = 2√
55 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes k1= 1−√ 55
6 et k2=1 +√ 55
6 .
Si k=k1 ouk=k2 alorsdet ∆ sont parallèles.
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