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•dest parallèle à (O;−→i) (axe des abscisses) si−u→d et−→i sont colinéaires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1S1 Correction 29 p 192 2014-2015

Soitdla droite d’équation (1−k)x+ (4k2−9)y−8 = 0, oùkest un nombre réel.

Déterminer le(s) réel(s)kdans chacun des cas suivants.

1. dest une droite parallèle aux axes.

2. Le pointA(1; 2) apaprtient à la droited.

3. B

−1−k;1 9k2

appartient à la droited.

4. La droitedest parallèle à la droite ∆ d’équationx+ 2ky−6k= 0.

• • • Dans (O;−→i;−→j),

dadmet le vecteur−ud

b= 9−4k2 a= 1−k

comme vecteur directeur. −→i 1

0

et−→j 0

1

1. •dest parallèle à (O;−→i) (axe des abscisses) si−ud et−→i sont colinéaires. Or la colinéarité se traduit par : (9−4k2)×0−(1−k)×1 = 0⇔k−1 = 0⇔ k= 1

Ainsi, pourk= 1, la droitedest parallèle à l’axe des abscisses.

dest parallèle à (O;−→j) (axe des ordonnées) si−ud et−→j sont colinéaires. Cela s’écrit : (9−4k2)×1−(1−k)×0 = 0⇔9−4k2= 0⇔k2= 9

4 ⇔ k=3

2 ou k=−3 2 Ainsi, pourk=−3

2 ouk= 3

2, la droitedest parallèle à l’axe des ordonnées.

• • •

2. Les coordonnées deA vérifient l’équation dedsi, et seulement si, le pointAest sur d.

kest tel queAd⇔(1−k)xA+ (4k2−9)yA−8 = 0⇔1−k+ 8k2−18−8 = 0⇔8k2k−25 = 0.

∆ = 801 = 3√

89 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes k1= 1 + 3√ 89

16 et k2= 1−3√ 89

16 .

Adsi et seulement sik=k1 ouk=k2.

• • • 3. B

−1−k;1 9k2

appartient à la droitedimplique que (1−k)(−1−k) + (4k2−9)×1

9−8 = 0⇔k4= 81

4 ⇔ k= 3

√2 ou k=− 3

√2 Bdsi et seulement sik= 3

√2 ouk=− 3

√2.

• • • 4. −→u

−2k 1

. Si−→ud et −→u sont colinéaires alorsdet ∆ sont parallèles.

On calculekpour les deux vecteurs soient colinéaires

(1−k)×2k−1×(4k2−9) = 0⇔ −6k2+ 2k+ 9 = 0

∆ = 220 = 2√

55 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes k1= 1−√ 55

6 et k2=1 +√ 55

6 .

Si k=k1 ouk=k2 alorsdet ∆ sont parallèles.

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