13-10-2005 Terminale ES2 M.WEISLINGER
DS 1 :´el´ements de correction Exercice I :
1. (a) Graphiquementf(x) est l’ordonn´ee du point deCf d’abscissexd’o`u :f(4) = 4 etf(7) = 2 Graphiquement f′(a) est le coefficient directeur de la tangente `a Cf au point d’abscissea d’o`u : f′(4) = 0 et f′(7) =−3
2
(b) Par lecture graphique on peut en d´eduire le tableau de variations de f et le signe def′(x) :
x 0 4 10 14
4 7
f(x)
−3 0
f′(x) + 0 − 0 +
(c) Les solutions de f(x) = 2 sont les abscisses des points de Cf ayant une ordonn´ee ´egale `a 2 donc S ={2; 7; 12}.
Les solutions de 0 6 f(x) 6 2 sont les abscisses des points de Cf ayant une ordonn´ee comprise entre 0 et 2 donc S = [1; 2]∪[7; 12].
(d) La tangente `a Cf au point d’abscisse a a pour ´equation r´eduite :y =f′(a)(x−a) +f(a).
Or ∆ est la tangente `a Cf au point A(7; 2) donc on prend a= 7.
∆ a donc pour ´equation y=f′(7)(x−7) +f(7) =−3
2(x−7) + 2.
En simplifiant on obtient y=−3
2x+ 25 2 . 2. (a) g(0) = 1
f(0) = 1
−3 =−1 3 g(4) = 1
f(4) = 1 4 g(7) = 1
f(7) = 1 2 (b) Rappelons que (1
v)′ =−v′
v2 donc g′ = (1
f)′ =−f′
f2 d’o`u les r´esultats suivants : g′(4) = − f′(4)
(f(4))2 =− 0
42 donc g′(4) = 0 g′(7) = − f′(7)
(f(7))2 =−
−3 2
22 donc g′(7) = 3 8 (c) g(x) = 1
f(x) est d´efinie si et seulement si f(x)6= 0 . Orf(1) =f(10) = 0 donc 1 et 10 sont des valeurs interdites donc g est d´efinie sur [0; 14]− {1; 10}.
(d) En appliquant le th´eor`eme sur les variations d’une compos´ee on obtientle tableau suivant :
x 0 1 4 10 14
−13
g(x)
1 4
1 7
NB :il ne faut pas oublier les valeurs interdites
1
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Exercice II :
1. La droite (AB) a une ´equation r´eduite de la forme y=mx+po`um est le coefficient directeur de (AB) et p son ordonn´ee `a l’origine.
On a m= yB−yA
xB−xA = 2 etp= 5 ici.
Donc (AB) a pour ´equationy= 2x+ 5.
2. R´esolution de l’in´equationf(x)>2x+ 5 :
Etape 1 : je transforme cette in´equation pour me ramener `a une comparaison avec 0.
f(x)>2x+ 5 ⇔ f(x)−(2x+ 5)>0
⇔ −6x+ 6 x+ 2 >0 Etape 2 : j’´etudie le signe de −6x+ 6
x+ 2 .
x −∞ −2 1 +∞ justifications
−6x+ 6 + | + 0 − −6x+ 6 >0 ⇔ x <−1
x+ 2 − 0 + | + x+ 2>0 ⇔x >−2
−6x+6
x+2 − || + 0 − Attention −2 et uune valeur interdite
Etape 3 : je conclus en revenant `a l’in´equation Or −6x+ 6
x+ 2 >0 donc l’ensemble solution de l’in´equation est S =]−2; 1].
Interpr´etation graphique : On sait que : (AB) a pour ´equationy= 2x+ 5.
f(x)>2x+ 5 a pour solution ]−2; 1[.
La courbe Cf est donc au dessus de la droite (AB) sur ]−2; 1[
3. Etape 1 : Recherche de l’abscissse des points d’intersections de Cf et (AB) On r´esout f(x) = 2x+ 5
f(x) = 2x+ 5 ⇔ f(x)−(2x+ 5) = 0
⇔ −6x+ 6 x+ 2 = 0
⇔ −6x+ 6 = 0 et x6=−2
⇔ x= 1
Il y a donc un seul point d’intersection ,not´e E et son abscisse vaut 1.
Etape 2 : Recherche de l’ordonn´ee du point d’intersection de Cf et (AB) E appartient `a la droite (AB) donc y= 2x+ 5 = 2×1 + 5 = 7
Conclusion : Cf et (AB) se coupent en E(1; 7).
4.
f(x) = ax+b+ c
x+ 2 ⇔ 2x2+ 3x+ 16
x+ 2 = (ax+b)(x+ 2) +c x+ 2
⇔ 2x2+ 3x+ 16 =ax2+ (2a+b)x+ 2b+c pour tout x6=−2 Par identification :
a = 2 2a+b = 3 2b+c = 16 Donc on en d´eduit : a= 2 , b=−1 et c= 18
2
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5. On sait que f(x) = 2x2+ 3x+ 16 x+ 2
Remarquons qu’il s’agit d’un quotient et que (uv)′ = u′v−uv′ v2 . u(x) = 2x2+ 3x+ 16 u′(x) = 4x+ 3 v(x) = x+ 2 v′(x) = 1 On obtient alors :
f′(x) = 2x2+ 8x−10 (x+ 2)2 Etudions son signe :
– Le num´erateur est un trinˆome du second degr´e avec ∆ = 144>0 . Il admet donc 2 racines : 1 et -5 et il est du signe de a= 2 `a l’ext´erieur de l’intervalle des racines.
– Le d´enominateur est toujours positif ou nul et -2 est une valeur interdite.
On en d´eduit le tableau de signe suivant :
x −∞ −5 −2 1 +∞
2x2+ 8x−10 + 0 − | − 0 +
(x+ 2)2 + | + 0 + | +
f′(x) + 0 − || − 0 +
On en d´eduit les variations de f :
– Sur ]− ∞;−5[ la fonction f est strictement croissante.
– Sur ]−5;−2[ la fonction f est strictement d´ecroissante.
– Sur ]−2; 1[ la fonction f est strictement d´ecroissante.
– Sur ]1; +∞[ la fonction f est strictement croissante.
6. Pour d´eterminer la position relative deCf etD il suffit d’´etudier le signe de f(x)−y Orf(x)−y=f(x)−(2x−1) = 18
x+ 2 Dressons le tableau de signe de 18
x+ 2 :
x −∞ −2 +∞
18 + | +
x+ 2 − 0 +
f(x)−(2x−1) − || + On en d´eduit que :
– Cf est au dessus de D sur ]−2; +∞[
– Cf est en dessous de D sur ]− ∞;−2[
7. Pour repr´esenter Cf je suis les ´etapes suivantes : – je trace la courbe sur la calculatrice .
– je positionne mes axes correctement et je gradue mon rep`ere . – je trace les tangentes horizontales. ( voir tableau de variations).
– je rep`ere la valeur interdite par une droite verticale en pointill´e.
– je tabule pour obtenir un vingtaine de points de la courbe.
– je relie les points le plus soigneusement possible.
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