Enonc´e noG129 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Dans le cas g´en´eral, il faudrait ´enum´erer les 225 cas de destruction des pas- serelles pour d´eterminer ceux qui permettent ou non la travers´ee.
Le graphe du pr´esent probl`eme a la propri´et´e remarquable d’ˆetre autodual : partant du graphe dont les sommets sont les 12 ˆılots et les 2 rives, reli´es par les passerelles, le graphe dual a pour sommets les 12 bassins d´elimit´es par les passerelles et l’amont et l’aval du fleuve. Ces graphes sont hom´eomorphes et se correspondent par un quart de tour.
De ce fait, `a tout ensemble de passerelles qui permet le passage d’une rive
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a l’autre si elles ont r´esist´e, correspond un ensemble ´egal de passerelles d´etruites lib´erant un passage d’amont en aval, et interdisant une travers´ee d’une rive `a l’autre.
En ´enum´erant les ensembles de passerelles par paires en correspondance, on voit que les contributions `a la probabilit´e de passage et celles `a la probabilit´e de coupure sont ´egales.
La probabilit´e demand´ee est donc 1/2.
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