Probl` eme 2

Licence de Math´ematiques3.

2011-2012. Universit´e d’Artois.

P. Lef`evre

Probl` eme 2

Marche al´eatoire sur une droite

La situation est la suivante: on fixe p∈]0,1[ et on place un pion sur le point 0 de la droite (r´eelle orient´ee). On le fait bouger d’une unit´e ou bien `a droite avec probabilit´e p ou bien `a gauche avec probabilit´e 1−p. On reproduit le proc´ed´e `a l’infini. Quelle est la probabilit´e de retourner une infinit´e de fois au point 0 ?

Partie I. La formule de Stirling faible.

Soit n ∈N avecn ≥1. On consid`ere u_n = n!

e⁻ⁿnⁿ√ n·

1) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral ln un+1)−ln un) converge.

2) En d´eduire l’existence de L >0 tel que n!∼L.e⁻ⁿnⁿ√ n.

Partie II. Le lemme de Borel-Cantelli.

Soient Ω un univers muni d’une probabilit´ePet (E_n)_n∈ une suite d’´ev`enements. On rappelle que limE_n d´esigne la limite sup´erieure de cette suite:

limE_n= \

n∈_N

[

k≥n

E_k

1) Montrer que limE_n =

ω∈Ω|ω∈E_k pour une infinit´e de k . On suppose que la s´erie de terme g´en´eral P(E_n) converge.

2) Quelle est la monotonie de la suite de terme A_N = [

k≥N

E_k ? 3) Montrer que pour tout N ∈N, on a P A_N

≤ X

k≥N

P E_k . 4) En d´eduire que P limE_n

= 0

Partie III. Pr´eparation et le cas p6= 1/2.

Soient E_n l’´ev`enement: “le pion est en 0 `a la n i`eme ´etape”.

1) Pour l’instant p∈]0,1[.

a) Montrer que E_n est vide sin est impair.

b) Montrer que P(E_2n) = ²ⁿ_n

pⁿ(1−p)ⁿ.

c) Exprimer l’´ev`enement “le pion passe par 0 une infinit´e de fois” `a l’aide des E_k. 2) Conclure sur le probl`eme initial dans le cas p6= 1/2.

Partie IV. Le cas p= 1/2.

Pour simplifier, on note dans la suite un =P E2n

. Noter que u0 = 1.

On notera aussi F_k l’´ev`enement: “le pion retourne pour la premi`ere fois en 0 `a la 2k i`eme

´

etape” et f_k =P(F_k) (ainsi f₀ = 0).

1) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral un diverge.

2) Justifier que pour tous n, k ∈ N avec 1 ≤ k ≤n, la probabilit´e de E2n sachant Fk vaut un−k:

PFk

E_2n

=P

E_2n/F_k

=u_n−k. 3) En d´eduire que pour tout n∈N, on a u_n=

n

X

k=1

f_k.un−k.

Pour x∈[0,1[, on poseU(x) =

∞

X

j=0

u_jx^j et F(x) =

∞

X

j=0

f_jx^j.

4) Montrer que les s´eries enti`eres pr´ec´edentes ont effectivement un rayon de convergence d’au moins 1.

5) Que vaut lim

x→1⁻U(x) ?

6) Montrer que tout x∈[0,1[, on a U(x)−u₀ =U(x).F(x).

7) En d´eduire lim

x→1⁻F(x) = 1 et la convergence de la s´erie de terme g´en´eral f_n. Que vaut la somme de cette s´erie ?

8) Justifier que l’´ev`enement: “le pion retourne au moins une fois en 0” a pour probabilit´e 1 et conclure.

9) Retrouver aussi le r´esultat du cas p6= 1/2.

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