L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Remarques sur le concours blanc
Probl` eme 1 − Probabilit´ es
• L’ensemble des valeurs d’une variable al´eatoireX est not´eX(Ω).
• Quand on demande la loi d’une variable al´eatoire X, il faut tout d’abord donner l’ensemble des valeurs deX, i.e.X(Ω).
• Pour justifier qu’une variable al´eatoireX suit une loi de Bernoulli, il suffit de dire queX(Ω) ={0,1}. Le param`etrepest alors donn´e parp=P([X = 1]).
• La loi d’une variable al´eatoire n’est pas n´ecessairement une loi usuelle.
• Revoir le cours sur les lois binomiales.
En premier lieu, siX ∼ B(n, p) alorsX(Ω) ={0,1, . . . , n}=J0, nK.
• Quand on applique la formule des probabilit´es totales, il est pr´ef´erable de citer clairement le syst`eme complet d’´ev´enements (partition) que l’on consid`ere.
• Dans un raisonnement par r´ecurrence, il faut toujours pr´eciser l’hypoth`ese de r´ecurrence Pn, avec une phrase du type :
SoitPn: . . .
• Un raisonnement par r´ecurrence comporte trois parties : l’initialisation, l’h´er´edit´e et la conclusion. Sans conclusion, le raisonnement par r´ecurrence n’est pas complet.
Probl` eme 2 − Analyse
• Soit la fonction f(t)
t . . . n’est pas correct.
On ´ecritSoit la fonctiont7→ f(t) t . . . .
• Gf(x) n’est pas une fonction, mais une expression d´ependant dex.Gf est en revanche une fonction. Ainsi on dira que la fonctionGf est d´erivable et non pas queGf(x) est d´erivable (ce qui n’a aucun sens).
• Revoir comment justifier soigneusement qu’une fonction est continue (resp. d´erivable) en invoquant des op´erations (e.g. somme, composition) sur les fonctions continues (resp. d´erivables). Ce sont des questions simples sur lesquelles on remarque la rigueur (ou le manque de rigueur) du candidat. Cf. correction pour des r´edactions-types.
• Si f est une fonction d´erivable en un pointx, alors le nombre d´eriv´e de f enxse notef0(x) et pasf(x)0. Le symbolef(x)0 n’a aucun sens.
• Sif:I→Retg:J →Rsont deux fonctions d´erivables sur leur ensemble de d´efinition (IetJ intervalles) telles quef(I)⊂J, alors la compos´eeg◦f est d´efinie et d´erivable surI. De plus :
∀x∈I (g◦f)0(x) =f0(x)×g0(f(x)).
• Si uest une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonctionu0×uadmet pour primitive surI la fonction u2
2 .
• On ne doit pas confondre les deux symboles ≤ et <. La diff´erence entre les deux est fondamentale en math´ematiques.
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• Si A et B sont des nombres r´eels tels queA≤B, alors on n’a pas en g´en´eral |A| ≤ |B|, car la fonction valeur absolue n’est pas croissante surR.
En effet, −3≤1, mais on n’a pas : 3 =| −3| ≤ |1|= 1.
• La fonction logarithme n´ep´erien est d´efinie sur ]0,+∞[. En particulier, elle n’est pas d´efinie en 0. On a : lim
x→0+ln(x) =−∞.
• Si f est une fonction continue sur [a, b], alors :
Z b
a
f(t)dt
≤ Z b
a
|f(t)|dt.
• Revoir la formule de Taylor avec reste int´egral.
• Si f est une fonction d´erivable sur un intervalleI, alorsf est continue surI.
La r´eciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur R, mais elle n’est pas d´erivable surR, car non d´erivable en 0 (cf. point anguleux de la courbe repr´esentative dex7→ |x|dans un rep`ere du plan).
• Revoir la formule d’int´egration par parties et penser `a l’utiliser pour d´emontrer une ´egalit´e du type : Z
. . .= nombre + Z
. . .
• Il n’y a aucun th´eor`eme de croissances compar´ees mettant en jeu la fonction sinus. Les th´eor`emes de croissances compar´ees ne concernent que les fonction ln, exp et les fonctions puissancesx7→xn.
Pour montrer que lim
x→+∞
sin(x)
x = 0, on ne peut donc pas invoquer un th´eor`eme de croissances compar´ees.
On justifie que pour toutx∈]0,+∞[ :
−1
x≤ sin(x) x ≤ 1
x et on applique le th´eor`eme d’encadrement.
Probl` eme 3 − Alg` ebre lin´ eaire
• Si on aXn+1=AXn pour toutn∈N, alorsXn =AnX0 pour toutn∈N.
Cette propri´et´e portant ici sur des vecteurs et des matrices, est l’analogue d’une propri´et´e vue dans le cours sur les suites g´eom´etriques. Il s’agit d’une question classique. La preuve se fait par r´ecurrence (cf.
correction).
• Un endomorphisme d’un espace vectoriel Eest une applicationf:E→E qui est lin´eaire.
• Un isomorphisme de E dansF (E etF espaces vectoriels) est une application lin´eaire bijective.
• Sif est un endomorphisme deR3de matriceAdans la base canonique deR3, alorsf est un isomorphisme si et seulement si det(A)6= 0.
• Soit (e01, e02, e03) une famille de vecteurs deR3. Alors (e01, e02, e03) est une base deR3ssi det(MatCan
R3(e01, e02, e03))6=
0, o`u MatCan
R3(e01, e02, e03) est la matrice des coordonn´ees de la famille (e01, e02, e03) dans la base canonique CanR3 deR3.
• On dispose d’une formule du binˆome de Newton pour les matrices (`a coefficients complexes), mais pour deux matrices qui commutent.
Pr´ecis´ement, siA, B sont deux matrices carr´ees qui commutent (i.e. v´erifiant AB=BA), alors :
∀n∈N (A+B)n=
n
X
k=0
CnkAkBn−k.
On gardera `a l’esprit que la matrice identit´eIr commute avec toute matrice carr´eer×r.
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