Rappel. φ N (resp. φ S ) est d´ efini par : pour tout x ∈ S n \ {N } (resp. S n \ {S}), (φ N (x), 0) (resp. (φ N (x), 0)) est l’unique point d’intersection de la droite (N x) (resp. (Sx)) avec l’hyperplan R n × {0}.

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 2 : sph` eres, tores, projectifs

Exercice 1. Sph` eres par projections st´ er´ eographiques. Soit S <sup>n</sup> la sph` ere unit´ e de R ⁿ⁺¹ munie de la topologie induite. On note N = (0, . . . , 0, 1) et S = (0, . . . , 0, −1) les pˆ oles nord et sud respectivement.

1. V´ erifier que les projections st´ er´ eographiques φ N et φ S par rapport aux pˆ oles nord et sud sont des hom´ eomorphismes de S ⁿ \ {N } et S ⁿ \ {S} respectivement sur R ⁿ .

Rappel. φ _N (resp. φ _S ) est d´ efini par : pour tout x ∈ S ⁿ \ {N } (resp. S ⁿ \ {S}), (φ _N (x), 0) (resp. (φ _N (x), 0)) est l’unique point d’intersection de la droite (N x) (resp. (Sx)) avec l’hyperplan R ⁿ × {0}.

2. Montrer que l’on d´ efinit ainsi deux cartes compatibles de S ⁿ , qui munissent la sph` ere d’une structure de vari´ et´ e diff´ erentiable.

3. V´ erifier que l’injection canonique i : S ⁿ → R ⁿ⁺¹ est de classe C ^∞ . Montrer qu’une appli- cation f : X → S ⁿ , o` u X est une vari´ et´ e, est de classe C <sup>∞</sup> ssi i ◦ f l’est. Utiliser ce crit` ere pour construire une application C ^∞ de S ^p dans S ^p+n .

Exercice 2. Quadriques. Dans R ⁿ × R ^p on consid` ere la quadrique d’´ equation kxk ² − kyk ² = 1.

1. Montrer que c’est une sous-vari´ et´ e diff´ eomorphe ` a S ⁿ⁻¹ × R ^p . 2. Repr´ esenter les diff´ erents cas pour n + p = 3.

Exercice 3. Tore de dimension 1. Soit T ¹ = R / Z le tore de dimension 1, muni de la topologie quotient, et p la projection canonique de R sur T ¹ .

1. Montrer que T ¹ est compact et connexe.

2. D´ efinir ` a partir de la restriction de p ` a ]0, 1[ et ]1/2, 3/2[ deux cartes compatibles de T ¹ , qui munissent T ¹ d’une structure de vari´ et´ e.

3. V´ erifier que la projection p est lisse et qu’une application f : T ¹ → R est lisse ssi f ◦ p l’est.

4. Montrer que l’application x ∈ R 7→ e ^2iπx ∈ S ¹ induit un diff´ eomorphisme entre le tore et le cercle unit´ e S ¹ ⊂ R ² .

5. On pose pour tout α, β ∈ T ¹

d(α, β) = inf

α∈p ˜

(α), β∈p ˜

(β)

|˜ α − β|. ˜

Montrer que d d´ efinit une distance sur le tore (on pourra par exemple, ´ etant donn´ es z et z ⁰ ∈ S ¹ , exprimer d(φ ⁻¹ (z), φ ⁻¹ (z)), o` u φ d´ esigne le diff´ eomorphisme de la question pr´ ec´ edente, en termes d’angles (ou de longueur d’arc)). Montrer que cette m´ etrique induit la topologie quotient sur T ¹ .

Exercice 4. Tore de dimension n.

1. Reprendre les questions de l’exercice pr´ ec´ edent pour le tore de dimension n, T ⁿ = R ⁿ / Z ⁿ .

2. Montrer, ` a l’aide de l’application

h : R ² → R ³

(θ, φ) 7→ ((2 + cos θ) cos φ, (2 + cos θ) sin φ, sin θ).

que R ² /Z ² est diff´ eomorphe au tore de r´ evolution T ⊂ R ³ obtenu en faisant tourner autour de l’axe (Oz) le cercle C 0 ⊂ {y = 0} de centre (2, 0, 0) et de rayon 1.

Exercice 5. Espace projectif r´ eel. On d´ efinit l’espace projectif r´ eel RP ⁿ comme l’ensemble des droites vectorielles de R ⁿ⁺¹ , muni de la topologie quotient. On note p : R ⁿ⁺¹ \ {0} → R P ⁿ la projection naturelle.

1. Montrer que R P ⁿ est compact et connexe.

2. Pour i = 0, . . . , n, on consid` ere l’ensemble V <sub>i</sub> ⊂ R P <sup>n</sup> des droites qui ne sont pas contenues dans l’hyperplan {x <sub>i</sub> = 0} et on d´ efinit ϕ <sub>i</sub> l’application V <sub>i</sub> → R <sup>n</sup> qui associe ` a une droite son intersection avec l’hyperplan affine {x ⁱ = 1} ' R ⁿ . V´ erifier que l’on d´ efinit ainsi des cartes compatibles qui recouvrent le projectif.

3. Montrer que la projection p est de classe C ^∞ et qu’une fonction f : R P ⁿ → X (X vari´ et´ e) est de classe C ^∞ ssi f ◦ p l’est.

4. Montrer que l’inclusion i : S ⁿ → R ⁿ⁺¹ induit un hom´ eomorphisme entre R P ⁿ et S ⁿ /x ∼ −x muni de la topologie quotient.

5. Montrer qu’il existe une unique structure de vari´ et´ e diff´ erentiable sur S ⁿ /x ∼ −x telle que la projection S ⁿ → S ⁿ /x ∼ −x soit C ^∞ . Montrer que l’hom´ eomorphisme de la question pr´ ec´ edente est alors un diff´ eomorphisme.

6. En s’inspirant des exercices pr´ ec´ edents, d´ efinir une m´ etrique sur R P ⁿ qui induit la topologie quotient.

Exercice 6. Projectifs de petite dimension.

1. Montrer que RP ¹ est diff´ eomorphe au cercle.

2. (Plongement de V´ eron` ese) Montrer que R P ² se plonge dans R ⁶ via l’application d´ efinie sur S ²

(x, y, z) 7→ (x ² , y ² , z ² , xy, yz, xz).

3. Montrer que RP ³ est diff´ eomorphe ` a SO(3).

Exercice 7. Droites projectives. On appelle droite projective, tout partie de R P ⁿ image par la projection canonique p d’un sous espace de R ⁿ⁺¹ de dimension 2.

1. Montrer qu’une droite projective est une sous-vari´ et´ e de R P ⁿ diff´ eomorphe ` a R P <sup>1</sup> . 2. Montrer que le compl´ ementaire d’une droite projective dans R P <sup>2</sup> s’identifie ` a un plan affine

de dimension 2. Que peut-on dire de l’intersection d’une autre droite projective avec ce plan?

3. Montrer que deux droites projectives du plan projectif RP ² se coupent en exactement un point ou sont confondues.

Exercice 8. Espace projectif complexe. On d´ efinit l’espace projectif complexe CP ⁿ comme l’ensemble des droites vectorielles (complexes) de C ⁿ⁺¹ , muni de la topologie quotient ( C ⁿ⁺¹

´

etant identifi´ e ` a ( R ² ) ⁿ⁺¹ = R ²ⁿ⁺² . On note p : C ⁿ⁺¹ \ {0} → C P ⁿ la projection naturelle.

1. Donner une structure de vari´ et´ e diff´ erentielle ` a C P ⁿ .

2. Montrer que CP ¹ est diff´ eomorphe ` a la sph` ere S ² .