Sup PCSI2 — Devoir 2001/08 ◮ On note Φ : P ∈ R[X] 7→ P (X − 1) + (3X + 1)P ′. Q1 Explicitez Φ(X

Sup PCSI2 — Devoir 2001/08

◮On note Φ : P ∈R[X]7→P(X−1) + (3X+ 1)P^′. Q1 Explicitez Φ(X^k) pourk∈[[0,4]].

Q2 Montrez que Φ est un endomorphisme de R[X].

Q3 D´eterminez le degr´e et le coefficient dominant de Φ(Xⁿ).

Q4 Comparez les degr´es deP et de Φ(P).

Q5 Soit n∈N. Montrez que Φ induit un automorphisme deRn[X], que nous noterons Φⁿ dans la suite.

Q6 Montrez que Φ est un automorphisme deR[X].

Q7 Explicitez la matriceAde Φ3 dans la base canonique (1, X, X², X³) deR₃[X].

Q8 Calculez A⁻¹.

Q9 Calculez la trace de Φn.

[Devoir 2001/08] Compos´e le 11 juin 2008