Sup PCSI2 — Devoir 2001/08
◮On note Φ : P ∈R[X]7→P(X−1) + (3X+ 1)P′. Q1 Explicitez Φ(Xk) pourk∈[[0,4]].
Q2 Montrez que Φ est un endomorphisme de R[X].
Q3 D´eterminez le degr´e et le coefficient dominant de Φ(Xn).
Q4 Comparez les degr´es deP et de Φ(P).
Q5 Soit n∈N. Montrez que Φ induit un automorphisme deRn[X], que nous noterons Φn dans la suite.
Q6 Montrez que Φ est un automorphisme deR[X].
Q7 Explicitez la matriceAde Φ3 dans la base canonique (1, X, X2, X3) deR3[X].
Q8 Calculez A−1.
Q9 Calculez la trace de Φn.
[Devoir 2001/08] Compos´e le 11 juin 2008