Sup PCSI2 — Devoir 1999/06
◮On notef : t >07→ 1 ln(1 +t2).
Q1 Justifiez l’existence de l’application G: x >07→
Z 2x x
f(t)dt.
Q2 Quel est le signe deG(x) ?
Q3 Prouvez queGest d´erivable, et explicitez G′(x).
Q4 Prouvez queGest de classeC∞.
Q5 Pourx >0, ´etablissez l’encadrement x
ln(1 + 4x2) 6G(x)6 x ln(1 +x2).
Q6 En d´eduire un ´equivalentsimple deG(x) lorsquextend vers +∞. Quelle est la nature de la branche infinie corespondante de la courbe repr´esentative deG?
Q7 En utilisant `a nouveau le r´esultat de la question 5, d´eterminez la limite deG(x) lorsquextend vers 0+. Que peut-on dire, cette fois, au sujet de la courbe repr´esentative deG?
Q8 Montrez que le signe deG′(x) est celui de l’expressionA(x) = ln(1 +x2)2 1 + 4x2 .
Q9 ´Etudiez alors les variations deG, puis donnez l’allure de la courbe repr´esentative deG.
◮On se propose de pr´eciser le comportement deG(x) lorsquextend vers 0+. Q10 Pourh>0, ´etablissez l’encadrementh−h2
2 6ln(1 +h)6h.
Q11 D´eterminez alors un r´eela >0 tel que Z 2x
x
dt
t2 6G(x)6 Z 2x
x
dt
t2(1−t2/2) pour toutx∈]0, a[.
Q12 D´eterminez un r´eelb >0 tel que 1
1−u 61 +u+ 2u2 pour toutu∈[0, b].
Q13 D´eterminez alors un r´eelc >0 tel que 1
2x6G(x)6 1
2x+x+7x3
6 pourx∈]0, c].
Q14 En d´eduire un ´equivalent simple deG(x) lorsquextend vers 0+. Q15 Pour quelles valeurs dexl’int´egraleJ(x) =
Z 2x x
dt
t2(t2−2) a-t-elle un sens ? Q16 D´eterminez des r´eelsα,β,γet δtels que 1
X2(X2−2) = α X + β
X2 + γ X−√
2 + δ
X+√ 2. Q17 Donnez alors une expression deJ(x) ne faisant intervenir qu’un seul logarithme.
[Devoir 1999/06] Compos´e le 19 mars 2005
