I.2Desexemplesincontournables I.1Miseenplaced’unenotation ILesymbole

(1)

P²:doc 8 Des sommes, des produits 2014-2015

I Le symbole

^X

I.1 Mise en place d’une notation

Une somme finie de nombre réels ou complexes notées a1, a2, . . . , an s’écrita1+a2+. . .+an. Une notation plus compacte, utilisée dans l’enseignement supérieur est

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k=n

X

k=1

ak ou de manière simplifiée

n

X

k=1

ak

Exemple 1 Soitm∈[[1, n]], écrire en utilisant le symboleX

, la sommeam+. . .+an.

Dans l’expression (1), la lettrek, appeléeindice, est une variablemuette, ce qui signifie que l’on peut changer son nom sans changer la somme :

n

X

k=1

ak =

n

X

i=1

ai

EXERCICE 1 Propriété de linéarité de la somme : démontrer que si (aj)16j6n et (bj)16j6n sont deux suites finies de nombres réels ou complexes, siλet µsont deux réels ou complexes, alors :

n

X

j=1

(λaj+µbj) =λ

n

X

j=1

aj+µ

n

X

j=1

bj

I.2 Des exemples incontournables

• Somme d’entiers consécutifs, de carrés d’entiers consécutifs, de cubes d’entiers consécutifs

Écriture avec « points de suspension » 1 + 2 +. . .+n=. . . . 1²+ 2²+. . .+n²=. . . . 1³+ 2³+. . .+n³=. . . .

Écriture avecX

EXERCICE 2 Soitaetb, deux nombres réels ou complexes. Calculer

n−1

X

k=0

(ak+b).

• Somme d’une progression géométrique

La formule donnant la somme d’une progression géométrique s’écrit

∀a∈C, a6= 1, n∈N, 1 +a+a²+. . .+aⁿ =

n

X

k=0

a^k =aⁿ⁺¹−1 a−1

• Nombres harmoniques

Pourn∈N^∗, on définit le n−èmenombre harmoniqueHn par Hn =

n

X

s=1

1 s

Les nombres Hn interviennent fréquemment en mathématiques. On ne dispose pas de formule simple « non sommatoire » pour Hn mais l’on peut obtenir une estimation deHn en utilisant les intégrales (leçon à venir en obligatoire), on obtient

lnn6Hn61 + lnn →Conséquence pour la suite (Hn)n>1 :

• Si l’on note P une loi de probabilité sur un univers Ω et X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) ={x1, x2, . . . , xn} (valeurs prises par la variable).

L’espérance de la variableX, notéeE(X), est égale à . . . . Écrire son expression en utilisant le symboleX

.

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I.3 Des exercices d’application

EXERCICE 3 Soitrun nombre réel appartenant à ]−1,1[. Pourn∈N, on poseSn=

n

X

j=0

r^j. Déterminer la limite deSn lorsquentend vers +∞. Proposer une notation pour cette limite.

EXERCICE 4 On pose, pourn∈N^∗,

un=

2n

X

k=n

1 k Simplifierun+1−un et en déduire la monotonie de (un)n>1.

EXERCICE 5 1. Trouver une relation de récurrence entreHn et Hn−1 pour toutn>1.

2. Montrer que pour tout entiern>2,

n−1

X

k=1

Hk=nHn−n

EXERCICE 6 En utilisant la formule de la progression géométrique et la dérivation, calculer, pour toutxréel etn dansN^∗,

Sn(x) =

n

X

k=0

kx^k

On distinguera le casx= 1. Pour−1< x <1, déterminer la limite de la somme précédente lorsquentend vers +∞.

EXERCICE 7 On lance un dé équilibré. On répète n fois l’opération, les lancers successifs étant supposés indé- pendants. SoitX la variable aléatoire donnant le premier instant d’apparition d’un 6, en convenant queX = 0 si 6 n’apparaît pas. Déterminer l’espérance deX. Quelle est sa limite lorsquentend vers +∞?

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I.4 Sommes télescopiques

D’ordinaire le calcul d’une somme est une tâche est complexe. Dans certaines situations, cela est plus aisé, d’où l’intérêt de ne pas s’en priver lorsque c’est possible :

Soient (an)n∈Net (bn)n∈N deux suites complexes qui ont la particularité d’ête liées par

∀n∈N, an=bn+1−bn

On a alors

n

X

k=0

ak =bn+1−b0

démonstration :

I.4.1 Des exemples classiques

• ^Progres sion arithÆmétique par télesopage

On a pour toutk∈N, (k+ 1)²−k²=. . . ., Calculer

n

X

k=0

2k+ 1, en déduire

n

X

k=0

2k, puis retrouver

n

X

k=0

k

• ^U^ne ^somÆme ^{la s sique}

Pour toutx /∈ {0; 1}, déterminer les réelsaetbtels que 1

x(x+ 1) = a x+ b

x+ 1 En déduire que pour tout entiern>1,

n

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1− 1 n+ 1 Calculer la limite, lorsquentens vers +∞, de

n

X

k=1

1

k(k+ 1). Comment peut-on écrire cette limite ?

Application :Obtenir une majoration de

n

X

k=1

1 k² Point de départ : Pour tout k>2, 1

k² 6. . . .

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I.4.2 Des exercices d’application

EXERCICE 8 :

Pourn∈N^∗, simplifier

n

X

k=1

ln

1 + 1 k

Quelle est la limite de cette expression lorsquentend vers +∞?

• • •

EXERCICE 9 :

Déterminer trois réelsa, bet ctels que

∀x /∈ {0;−1;−2}, 1

x(x+ 1)(x+ 2) = a x+ b

x+ 1+ c x+ 2 En déduire une expression simple de

Sn =

n

X

k=1

1 k(k+ 1)(k+ 2) Quelle est la limite de (Sn)n>1 lorsquentend vers +∞?

• • •

EXERCICE 10 :

Déterminer trois réelsa, bet ctels que, siP est le polynôme de degré 3 défini parP(x) =ax³+bx²+cx, on ait

∀x∈R, P(x)−P(x−1) =x² En déduire une expression simple de

n

X

k=1

k²

• • • EXERCICE 11 : Encadrement du n−èmenombre harmoniqueHn

O

bcbc bcbc

bc bc

1 n

~i

~j

k k+ 1 Cf.inv

Soitk∈N^∗.

Le point de départ est l’encadrement de la portion d’aire située au-dessus de l’axe des abscisses, sous la courbe de la fonction inverse et entre les droites d’équationsx=ket x=k+ 1.