1. Déterminer la loi de X i et démontrer que

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Pour démarrer

Exercice 1 (Reconstitution de paires) On fixe deux entiers naturels 1 6 r 6 n. Un pla- card contient n paires de chaussures. On tire au hasard, 2r chaussures du placard. On note X la variable aléatoire égale au nombre de paires complètes parmi les chaussures tirées.

Les paires du placard sont numérotées de 1 à n. Pour i ∈ J1, nK, on note X _i la variable aléatoire valant 1 si les deux chaussures de la paire n°i se trouvent parmi les chaussures tirées, et 0 sinon.

1. Déterminer la loi de X _i et démontrer que

E(X i ) = r(2r − 1) n(2n − 1) . 2. Exprimer X en fonction des X _i , en déduire E(X).

Exercice 2 (Une urne magique) On considère une urne contenant n boules numérotés de 1 à n. Cette urne est magique, pour tout entier k compris entre 1 et n, la probabilité de tirer la boule numéro k est proportionnelle à k. On note X la variable aléatoire donnant le numéro de la boule tirée.

1. Déterminer la loi de X .

2. Calculer l’espérance et la variance de X.

3. Calculer l’espérance de Y = 1 X .

Exercice 3 (Découvrons la loi hypergéométrique) Une urne contient N = 100 boules de couleurs rouges et blanches. La proportion de blanches est p = ¹ ₄ . On effectue n = 60 tirages sans remise. On note X le nombre de boules blanches tirées et Ω l’ensemble des tirages (que l’on considère simultanés) possibles.

1. Déterminer Card Ω puis X (Ω).

2. Déterminer P (X = 0) puis P (X = k) où k ∈ X(Ω).

3. Cas général : Une urne contient N boules de couleurs noires et blanches. La proportion de blanches est p. On effectue n tirages sans remise. On note X le nombre de boules blanches tirées.

(a) Quel est le nombre de boules blanches initialement dans l’urne ?

(b) Déterminer la loi de X, on pourra noter q la proportion initiale de boules noires.

(c) Que vaut ^P _k =0

P (X = k) ? Quelle formule peut-on en déduire ?

Exercice 4 (Rang de sortie de la première blanche) Une urne contient 2 boules blanches et n − 2 rouges. On effectue des tirages sans remise dans cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche.

Pour i ∈ {1, . . . , n}, on note B _i l’évènement « la i-ième boule tirée est blanche».

1. Déterminer P (X = 1), P (X = 2) et P (X = 3).

2. Soit k ∈ X(Ω). Exprimer l’évènement (X = k) à l’aide des évènements B 1 , . . . , B _n puis montrer que

P (X = k) = 2(n − k) n ( n − 1) . 3. Démontrer que E(X) = n + 1

3 .

4. Déterminer E(Y ) et V (Y ) où Y est le nombre de boules rouges restant dans l’urne lorsque la première boule blanche vient d’être tirée.

Exercice 5 (somme des éléments d’une colonne du triangle de Pascal) Soit a < b des entiers et p un entier. Démontrer la formule suivante :

b

X

k = a

k p

!

= b + 1 p + 1

!

− a p + 1

!

.

Exercice 6 (Plus grand des n numéros tirés simultanément) Un joueur prélève simul- tanément n boules dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On considère la variable aléatoire X égale au plus grand numéro des n boules prélevées.

1. Déterminer la loi de X.

2. Démontrer que

E(X) = n

_N

n

N

X

k = n

k n

!

.

En déduire à l’aide de l’exercice 5 que E(X) = n(N + 1) n + 1 .

3. On note Y la variable aléatoire égale au plus petit numéro des n boules prélevées. Déter- miner la loi de Y .

Exercice 7 (Plus grand numéro tiré : version tirages successifs avec remise) Un joueur prélève n boules successivement et avec remise dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On considère la variable aléatoire X égale au plus grand numéro des n boules prélevées.

On note Ω l’ensemble des tirages possibles.

1. Déterminer Card(Ω) et X(Ω) l’ensemble des valeurs que prend X.

2. Cette fois-ci il est difficile de déterminer directement Card([X = k]). On va utiliser pour cela la fonction de répartition de X . Soit k ∈ {1 , . . . , N }. Déterminer P ( X 6 k ), en déduire la loi de X.

3. Calculer E(X).

4. On note Y la variable aléatoire égale au plus petit numéro des n boules prélevées. Déter-

miner la loi de Y .

Plus «usuel»

Exercice 8 (Avec ou sans remise ?) Une urne contient dix boules rouges et cinq boules vertes.

1. On pioche simultanément six boules. On note R (resp. V le nombre de boules rouges (resp. vertes) obtenues.

(a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de R (resp. V ).

(b) Les variables aléatoires R et V sont-elles indépendantes ? On pourra considérer les évènements [R = 1] et [V = 0].

2. Répondre aux mêmes questions lorsque l’on pioche avec remise.

Exercice 9 (Sauts de puces) Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, . . . , 2n, de gauche à droite. Une puce se déplace au hasard en sautant vers la droite de une case avec probabilité p et de deux cases sinon. Au départ, elle est sur la case 0. Soit X _n le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Y _n le nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n premiers sauts.

1. Déterminer la loi de Y _n , et déterminer E ( Y _n ) et V ( Y _n ).

2. Déterminer E(X n ) et V (X n ).

Exercice 10 (Valeur d’une action) Le jour 0, une action vaut 1. On suppose que, chaque jour, la valeur de l’action est multipliée par α > 1 avec probabilité p ∈]0, 1[ ou par β ∈]0, 1[ avec probabilité q = 1 − p. On suppose que ces variations journalières sont indépendantes. Fixons n ∈ N ^∗ . On note S la variable aléatoire égale à la valeur de l’action le jour n. Déterminer l’espérance et la variance de S.

Exercice 11 (Probabilité d’un même nombre de piles dans un duel) 1. Calcul préliminaire : démontrer que

n

X

k =0

n k

! 2

= 2n n

!

par un dénombrement ou en consi- dérant le terme de degré n de (x + 1) ⁿ (x + 1) ⁿ = (x + 1) ^{2 n} .

2. Application : deux joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. Calculer la probabilité qu’ils obtiennent le même nombre de piles.

Plus technique

Exercice 12 (Urne remplie aléatoirement) On fixe un entier naturel non nul n. Une urne contient une unique boule blanche. On dispose d’une pièce dont la probabilité de donner pile est p. On pose q = 1 − p.

On lance n fois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient pile : deux pour le premier pile, trois pour le deuxième, etc. On ajoute donc k + 1 boules noires lors de la k-ième obtention de pile.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus. On note N la variable

aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne à la fin des lancers.

1. Exprimer N en fonction de X.

2. Quelle est la loi de X ? 3. En déduire E ( N ).

On tire une boule de l’urne et on pose B : «la boule tirée est blanche».

4. Démontrer que

P ( B ) =

n

X

k =0

2 (k + 1)(k + 2)

n k

!

p ^k q ^{n − k} .

5. Calculer cette somme.

On change la règle : cette fois, on ajoute dans l’urne 2 ^{k − 1} boules noires lors de l’obtention du k-ième pile, c’est-à-dire une boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc en doublant à chaque fois le nombre de boules noires ajoutées.

On note N ^′ la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.

6. Exprimer N ^′ en fonction de X.

7. Calculer E(N ^′ ).

8. Déterminer la probabilité de l’évènement B ^′ : «la boule tirée est blanche».

Compléments : indépendance, couples, inégalités

Exercice 13 (Non corrélées mais pas indépendantes) On tire au hasard un des 4 points de coordonnées (−1, 0); (1, 0); (0, 1); (0, −1). On note X et Y les coordonnées du point tiré.

1. Déterminer la loi conjointe du couple ( X, Y ) puis les lois marginales X et Y . 2. Démontrer que cov(X, Y ) = 0. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 14 Soit a ∈ R . Pour (i, j) ∈ J1, nK ² , on pose p _i,j = aij .

1. Déterminer un réel a de sorte qu’il existe un couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs dans J1, nK ² tel que :

∀(i, j) ∈ J1, nK ² , p _i,j = P ([X = i] ∩ [Y = j]).

2. Calculer à l’aide du théorème de transfert E(XY ).

3. Déterminer les lois marginales X et Y . Ces deux variables sont-elles indépendantes ? 4. En déduire cov( X, Y ) puis retrouver la valeur de E ( XY ).

Exercice 15 Soit X et Y deux var indépendantes de même loi uniforme sur J1, nK. On pose S = max(X, Y ).

1. Déterminer la loi du couple (S, X ).

2. En déduire la loi de S.

3. Déterminer les lois conditionnelles de S sachant X et de X sachant S .

4. On pose T = min(X, Y ). Déterminer E(T ) et E(ST ) sans «caluls supplémentaires».

5. Les variables S et T sont-elles indépendantes ?

Exercice 16 Un employé d’un centre d’appel effectue n appels téléphoniques vers n corres- pondants distincts dont chacun décroche avec une probabilité p.

On note N 1 le nombre de correspondants qui décrochent.

1. Déterminer la loi de N 1 .

L’employé rappelle un peu plus tard les n − N 1 correspondants qui n’ont pas décroché lors de sa première série d’appels. On note N 2 le nombre de ces correspondants qui décrochent cette fois et N le nombre total des correspondants qui ont décroché.

2. Soit i ∈ J0, nK. Quelle est la loi conditionnelle de N 2 sachant N 1 = i.

3. Soit k ∈ J0, nK. Démontrer que

P (N = k) = p ^k q ^{2 n − k}

n

X

i =0

n i

! n − i k − i

!

q ^{− i} .

4. Démontrer que N suit une loi binomiale de paramètres n et 2p − p ² . On pourra montrer que

n i

! n − i k − i

!

= n

k

! k i

!

.

Exercice 17 (Somme de deux lois uniformes indépendantes) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur J1, nK. Déterminer la loi de X + Y . Exercice 18 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit X et Y deux var.

1. On suppose V (X) 6= 0. Démontrer que l’application f : R → R définie par f (t) = V (tX + Y ) est une fonction polynomiale dont on précisera le degré.

2. En déduire que

| cov(X, Y )| 6

q

V (X)V (Y ).

3. Démontrer que si X est de variance nulle, alors X est presque-sûrement égale à sa moyenne, c’est-à-dire que P (X = E(X)) = 1, et cov(X, Y ) = 0.

Exercice 19 (Loi faible des grands nombres) Soit X 1 , . . . , X _n des variables aléatoires réelles indépendantes de même loi , d’espérance m et de variance V . On pose

X _n = X 1 + · · · + X _n

n .

1. Démontrer que

∀ε > 0, P (|X n − m| > ε) 6 V nε ² .

2. Application : on fait un sondage pour un référendum. On cherche à estimer p la proportion de personnes qui vont voter pour le OUI. On intérroge pour cela un échantillon de n personnes. On note X _i la variable aléatoire qui vaut 1 si la personne n°i a voté le OUI et 0 sinon. La variable X _i suit une loi de Bernoulli de paramètre p. On suppose que l’échantillon de personnes est pertinent, on émet ainsi l’hypothèse que les variables X 1 , . . . , X _n sont indépendantes. Le nombre X _n (proportion empirique) est un estimateur de p (proportion théorique).

(a) Justifier que pour tout ε > 0, on a P (|X n − p| > ε) 6 _{4 nε} ¹

.

(b) Déterminer la taille n de l’échantillon de population, pour que l’on puisse affirmer,

avec un risque d’erreur inférieur à 5%, que la proportion p de OUI est comprise entre

X _n − 0.01 et X _n + 0.01. (réponse : n = 50000).

Pour préparer sa colle

Exercice 20 (Manier la notion d’indépendance) Soit X, Y, Z, T quatre variables aléatoires indépendantes.

1. Démontrer que X, Y et Z sont indépendantes, puis que X et Y sont indépendantes.

2. Démontrer que X + Y et Z + T sont indépendantes.

3. Les variables X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ?

On peut ainsi montrer avec des techniques similaires que si (X 1 , . . . , X _k , X _k +1 , . . . , X _n ) sont des variables aléatoires indépendantes, alors pour toutes fonctions f et g «bien définies», les variables aléatoires f (X 1 , . . . , X _k ) et g(X k +1 , . . . , X _n ) sont indépendantes.

Exercice 21 Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini (Ω, P ) et f : X(Ω) → R . On suppose que f n’est pas constante. Démontrer que X et f (X) ne sont pas indépendantes.

Exercice 22 On tire X un numéro au hasard entre 1 et n. On tire ensuite au hasard Y un numéro entre 1 et X.

1. Déterminer la loi de Y , puis calculer son espérance.

2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 23 Soit M une matrice de M n ( R ) dont les coefficients m _i,j sont des variables aléa- toires indépendantes qui suivent une même loi de Bernoulli de paramètre p.

1. Déterminer la loi de Tr(M), en déduire l’espérance de Tr(M ) ² .

2. Soit M une matrice aléatoire dont tous les coefficients sont indépendants. Les coefficients de la matrice M ² sont-ils indépendants ?

3. Démontrer que E(Tr(M ² )) = np(1 + (n − 1)p).

Exercice 24 (Marre de la même chanson ?) Ma playlist contient n > 2 norceaux de mu- siques numérotés de 1 à n. Je les écoute en «mode aléatoire», et on fait l’hypothèse que chaque morceau est équiprobable. On écoute k > 1 morceaux de musique et on note X _k le nombre de morceaux différents qui ont été écoutés au moins une fois.

1. Déterminer, en fonction de n et de k, les valeurs que prend X _k . 2. Calculer pour tout k ∈ N ^∗ , P (X k = 1) et P (X k = k).

3. Soit k ∈ N ^∗ . Démontrer que :

∀i ∈ J1, nK, P (X k+1 = i) = i

n P (X k = i) + n − i + 1

n P (X k = i − 1).

4. En déduire que :

E ( X _k+1 ) = n − 1

n E ( X _k ) + 1 .

5. Calculer pour n fixé la limite de E(X k ) lorsque k tend vers +∞. Ce résultat est-il prévi- sible ?

6. Calculer pour k fixé la limite de E(X k ) lorsque n tend vers +∞. Ce résultat est-il prévi-

sible ?