I.1 Mise en place d’une notation

(1)

I Les symboles

^X

et

^Y

I.1 Mise en place d’une notation

• Une sommefinie de nombre réels ou complexes notéesa1, a2, . . . , ans’écrita1+a2+. . .+an. Une notation plus compacte, utilisée dans l’enseignement supérieur est

(1)

k=n

X

k=1

ak ou de manière simplifiée

n

X

k=1

ak

Exemple 1 Soitm∈[[1, n]], écrire en utilisant le symboleX

, la sommea^m+. . .+aⁿ.

• • •

• Un produitfiniede nombre réels ou complexes notéesa1, a2, . . . , ans’écrita1×a2×. . .×an. Une notation plus compacte est

(1)

k=n

Y

k=1

ak ou de manière simplifiée

n

Y

k=1

ak

Exemple 2 Soitm∈[[1, n]], écrire en utilisant le symboleY

, le produita^m×. . .×aⁿ.

• • •

Dans les expressions (1) et (2), la lettre k, appelée indice, est une variable muette, ce qui signifie que l’on peut changer son nom sans changer la somme :

n

X

k=1

ak =

n

X

i=1

ai (comportement identique dans les produits)

I.2 Propriétés

Propriété de linéarité de la somme:Si (aj)16j6n et (bj)16j6n sont deux suites finies de nombres réels ou complexes, si λest un réel ou un complexe, alors :

n

X

j=1

(aj+bj) =

n

X

j=1

aj+

n

X

j=1

bj et

n

X

j=1

(λaj) =λ

n

X

j=1

aj

• • •

Règles de calculs pour les produits: Si (aj)16j6n et (bj)16j6n sont deux suites finies de nombres réels ou complexes, si λest un réel ou un complexe, alors :

n

Y

j=1

(ajbj) =

n

Y

j=1

aj×

n

Y

j=1

bj et

n

Y

j=1

(λaj) =λⁿ

n

Y

j=1

aj

I.3 Des exemples incontournables

• Somme d’entiers consécutifs, de carrés d’entiers consécutifs, de cubes d’entiers consécutifs

Écriture avec « points de suspension » 1 + 2 +. . .+n=. . . . 1²+ 2²+. . .+n²=. . . . 1³+ 2³+ + ³=

Écriture avecX

(2)

• Somme d’une progression géométrique

La formule donnant la somme d’une progression géométrique s’écrit

∀a∈C, a6= 1, n∈N, 1 +a+a²+. . .+aⁿ =

n

X

k=0

a^k =aⁿ⁺¹−1 a−1

• Nombres harmoniques

Pourn∈N^∗, on définit le n−èmenombre harmoniqueHn par Hn =

n

X

s=1

1 s

Les nombres Hn interviennent fréquemment en mathématiques. On ne dispose pas de formule simple « non sommatoire » pour Hn mais l’on peut obtenir une estimation deHn en utilisant les intégrales (leçon à venir en obligatoire), on obtient

lnn6Hn61 + lnn →Conséquence pour la suite (Hn)n>1 :

• Si l’on note P une loi de probabilité sur un univers Ω et X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) ={x1, x2, . . . , xn} (valeurs prises par la variable).

L’espérance de la variableX, notéeE(X), est égale à . . . . Écrire son expression en utilisant le symboleX

.

I.4 Des exercices d’application

EXERCICE 2 Soitrun nombre réel appartenant à ]−1,1[. Pourn∈N, on poseSn=

n

X

j=0

r^j. Déterminer la limite deSn lorsquentend vers +∞. Proposer une notation pour cette limite.

EXERCICE 3 On pose, pourn∈N^∗,

un=

2n

X

k=n

1 k Simplifierun+1−un et en déduire la monotonie de (un)n>1.

EXERCICE 4 1. Trouver une relation de récurrence entreHn et Hn−1 pour toutn>1.

2. Montrer que pour tout entiern>2,

n−1

X

k=1

Hk=nHn−n

EXERCICE 5 En utilisant la formule de la progression géométrique et la dérivation, calculer, pour toutxréel etn dansN^∗,

Sn(x) =

n

X

k=0

kx^k

On distinguera le casx= 1. Pour−1< x <1, déterminer la limite de la somme précédente lorsquentend vers +∞.

EXERCICE 6 On lance un dé équilibré. On répète n fois l’opération, les lancers successifs étant supposés indé-

(3)

I.5 Sommes télescopiques

D’ordinaire le calcul d’une somme est une tâche complexe. Dans certaines situations, cela est plus aisé, d’où l’intérêt de ne pas s’en priver lorsque c’est possible :

Soient (an)n∈Net (bn)n∈N deux suites complexes qui ont la particularité d’ête liées par

∀n∈N, an=bn+1−bn

On a alors

n

X

k=0

ak =bn+1−b0

démonstration :

I.5.1 Des exemples classiques

• ^Progres sion arithÆmétique par télesopage

On a pour toutk∈N, (k+ 1)²−k²=. . . ., Calculer

n

X

k=0

2k+ 1, en déduire

n

X

k=0

2k, puis retrouver

n

X

k=0

k

• ^U^ne ^somÆme ^{la s sique}

Pour toutx /∈ {0; 1}, déterminer les réelsaetbtels que 1

x(x+ 1) = a x+ b

x+ 1 En déduire que pour tout entiern>1,

n

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1− 1 n+ 1 Calculer la limite, lorsquentens vers +∞, de

n

X

k=1

1

k(k+ 1). Comment peut-on écrire cette limite ?

Application :Obtenir une majoration de

n

X

k=1

1 k² Point de départ : Pour tout k>2, 1

k² 6. . . .

(4)

I.5.2 Des exercices d’application

EXERCICE 7 :

Pourn∈N^∗, simplifier

n

X

k=1

ln

1 + 1 k

Quelle est la limite de cette expression lorsquentend vers +∞?

• • • EXERCICE 8 :

Déterminer trois réelsa, bet ctels que

∀x /∈ {0;−1;−2}, 1

x(x+ 1)(x+ 2) = a x+ b

x+ 1+ c x+ 2 En déduire une expression simple de

Sn =

n

X

k=1

1 k(k+ 1)(k+ 2) Quelle est la limite de (Sn)n>1 lorsquentend vers +∞?

• • • EXERCICE 9 :

Déterminer trois réelsa, bet ctels que, siP est le polynôme de degré 3 défini parP(x) =ax³+bx²+cx, on ait

∀x∈R, P(x)−P(x−1) =x² En déduire une expression simple de

n

X

k=1

k²

• • • EXERCICE 10 : Encadrement du n−èmenombre harmoniqueHn

1 ^bc

bc bc

~j

Cf.inv

Soitk∈N^∗.

Le point de départ est l’encadrement de la portion d’aire située au-dessus de l’axe des abscisses, sous la courbe de la fonction inverse et entre les droites d’équationsx=ket x=k+ 1.

(5)

II Les coefficients binomiaux

II.1 Problématique

×

× ×

×

× ×

×

× ×

×

× × × ×

×

Soitnun entier supérieur ou égal à 1.

néléments dans un ensemble finiE.

Soitk un entier compris entre 1 etn.

Je forme une partie dek éléments distincts non ordonnés.

Combien de parties puis-je former ?

II.2 Deux cas particuliers

Combien de parties ànéléments peut-on former dans un ensemble Eà néléments ? (k=n)

Combien de parties à 1 seul élément peut-on former dans un ensembleEànéléments ? (k= 1)

Notations :

II.3 Une formule intéressante

Je suppose que je connais le nombre de parties àkéléments dans un ensemble ànéléments.

Combien de parties àn−kéléments peut-on former ? (k= 1)

×

× ×

×

× ×

×

× ×

×

× × × ×

×

II.4 Une définition et des formules

Définition : Une partie à k éléments distincts non ordonnés dans un ensemble à n éléments s’appelle une combinaison. (16k6n)

Le nombre de combinaisons dekéléments dans un ensemble ànéléments se note ⁿ_ket se lit «kparmin».

On a établi et on admet les formules suivantes :

• n

k

= n!

k!(n−k)! sik∈[[0, n]] , et 0 dans les autres cas.

• Formule de symétrie : pourn∈Net k∈N, on a n

k

= n

n−k

• Formule de Pascal : Pourn∈N^∗et k∈N, on a n

k

= n−1

k

+ n−1

k−1

La formule du triangle de Pascal permet de calculer de proche en proche les coefficicnets binomiaux en les disposant en pyramide : c’est letriangle de Pascal.

1 1 1

1 2 1 On obtient un terme en ajoutant le terme de la case au-dessus et celui

(6)

Formule du binôme de Newton: Soitn∈N,aetbdeux nombres réels ou complexes. Alors, (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k

EXERCICE 11 Calculer

n

X

k=0

n k

III Des exercices et des exemples de calculs de sommes

EXERCICE 12 Calculer an=

n

X

k=1

2^k3^n−k et

n−1

X

k=0

n k

2^k3^n+k

• • • EXERCICE 13 ∀n∈N^∗, un= 1−1

2+1 3 −1

4 +. . .+ 1

2n−1 − 1 2n. 1. Écrireun en utilisant le symbole Σ.

2. Montrer que la suite (un)n∈N est monotone.

• • • EXERCICE 14 ∀n∈N^∗, un= 1

n² + 2

n²+. . .+ n n². 1. Écrireun en utilisant le symbole Σ.

2. Montrer que la suite (un)n∈N converge vers 1 2.

• • • EXERCICE 15 ∀n∈N^∗, un=

n

X

k=0

k×k!.

En transformantun sous la forme d’une somme télescopique, calculerun.

• • • EXERCICE 16 ∀k∈N, uk+1= 2

3uk etu0= 4.

SoitSn=

n

X

k=0

uk. CalculerSn, puis la limite deSn lorsquentend vers +∞.

• • •

EXERCICE 17 En utilisant la fonction polynomialef :x7−→(1 +x)ⁿ, calculer les sommes suivantes :

• T =

n

X

k=1

k n

k

;

• R=

n

X

k=1

k² n

k