Sup PCSI2 — Devoir 2007/03 ◮ Notons I = ]−1, +∞[ et f : x ∈ I 7→ 2x 1 + x − ln(1 + x). Q1 Calculez la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞, puis lorsque x tend vers −1

Sup PCSI2 — Devoir 2007/03

◮NotonsI = ]−1,+∞[ etf : x∈ I 7→ 2x

1 +x−ln(1 +x).

Q1 Calculez la limite de f(x) lorsquextend vers +∞, puis lorsquextend vers−1⁺. Q2 Explicitez f^′(x).

Q3 Dressez le tableau des variations def.

Q4 Montrez que l’´equation f(x) = 0 poss`ede exactement deux solutions dans l’intervalleI; nous les noteronsa etb, avec−1< a < b.

Q5 Utilisez une calculatrice pour obtenir une estimation num´erique de b, puis donnez l’allure de la courbe repr´esentative def. Rappel : pas de crayon sur votre copie !

Q6 Montrez que l’´equationf(x) =xposs`ede exactement une solution dans l’intervalleI; nous la noterons c.

◮NotonsK= [0,1]. Nous nous int´eressons `a la suite des images deu0∈ Kpar les it´er´ees def. Q7 Montrez que f(x)6xpour toutx∈ K.

Q8 Montrez que Kest stable par f, c’est-`a-dire : six∈ K, alorsf(x)∈ K.

Q9 Montrez que la donn´ee de u0∈ Ket la relation de r´ecurrenceun+1=f(un) d´efinissenteffectivement une suite de r´eels, qui appartiennent tous `aK.

Q10 Montrez que cette suite est monotone.

Q11 Montrez que cette suite converge et explicitez sa limite.

◮Nous nous int´eressons `a la suite de terme g´en´eralSn= X

16k6n

f³1 k

´.

Q12 Pourk>1, prouvez l’in´egalit´e ln(k+ 1)−ln(k)6 1 k. Q13 Toujours pourk>1, prouvez l’in´egalit´e 2

k+ 1−1 k 6f³1

k

´. Q14 La suite de terme g´en´eralSn converge-t-elle ?

◮Nous nous int´eressons `a la fonctionϕ: t6= 07→ 1

t ln(1 +t²) sit6= 0.

Q15 Explicitezϕ^′(t) pourt6= 0.

Q16 Montrez queϕposs`ede une limite en 0, que vous expliciterez.

◮Notons ℓcette limite ; nous pouvons prolonger par continuit´e ϕ, en d´ecidant que ϕ(0) =ℓ. Nous noterons encoreϕce prolongement.

Q17 Montrez queϕest d´erivable en 0, et explicitezϕ^′(0).

◮Notons Φ : x7→

Z ^x

0

ϕ(t)dt.

Q18 Φ poss`ede-t-elle une parit´e ? Si oui, laquelle ? Q19 Pourx >1, calculezI(x) =

Z ^x

1

2 ln(t) t dt.

Q20 Toujours pourx>1, en d´eduire Φ(x)−Φ(1) =¡ ln(x)¢²

+ Z ^x

1

1 t ln³

1 + 1 t²

´dt.

Q21 Donnez un ´equivalent simple de Φ(x) lorsquextend vers +∞.

Q22 La fonction Φ poss`ede-t-elle une limite en +∞?

[Devoir 2007/03] Compos´e le 21 novembre 2007