Sup PCSI2 — Devoir 2007/03
◮NotonsI = ]−1,+∞[ etf : x∈ I 7→ 2x
1 +x−ln(1 +x).
Q1 Calculez la limite de f(x) lorsquextend vers +∞, puis lorsquextend vers−1+. Q2 Explicitez f′(x).
Q3 Dressez le tableau des variations def.
Q4 Montrez que l’´equation f(x) = 0 poss`ede exactement deux solutions dans l’intervalleI; nous les noteronsa etb, avec−1< a < b.
Q5 Utilisez une calculatrice pour obtenir une estimation num´erique de b, puis donnez l’allure de la courbe repr´esentative def. Rappel : pas de crayon sur votre copie !
Q6 Montrez que l’´equationf(x) =xposs`ede exactement une solution dans l’intervalleI; nous la noterons c.
◮NotonsK= [0,1]. Nous nous int´eressons `a la suite des images deu0∈ Kpar les it´er´ees def. Q7 Montrez que f(x)6xpour toutx∈ K.
Q8 Montrez que Kest stable par f, c’est-`a-dire : six∈ K, alorsf(x)∈ K.
Q9 Montrez que la donn´ee de u0∈ Ket la relation de r´ecurrenceun+1=f(un) d´efinissenteffectivement une suite de r´eels, qui appartiennent tous `aK.
Q10 Montrez que cette suite est monotone.
Q11 Montrez que cette suite converge et explicitez sa limite.
◮Nous nous int´eressons `a la suite de terme g´en´eralSn= X
16k6n
f³1 k
´.
Q12 Pourk>1, prouvez l’in´egalit´e ln(k+ 1)−ln(k)6 1 k. Q13 Toujours pourk>1, prouvez l’in´egalit´e 2
k+ 1−1 k 6f³1
k
´. Q14 La suite de terme g´en´eralSn converge-t-elle ?
◮Nous nous int´eressons `a la fonctionϕ: t6= 07→ 1
t ln(1 +t2) sit6= 0.
Q15 Explicitezϕ′(t) pourt6= 0.
Q16 Montrez queϕposs`ede une limite en 0, que vous expliciterez.
◮Notons ℓcette limite ; nous pouvons prolonger par continuit´e ϕ, en d´ecidant que ϕ(0) =ℓ. Nous noterons encoreϕce prolongement.
Q17 Montrez queϕest d´erivable en 0, et explicitezϕ′(0).
◮Notons Φ : x7→
Z x
0
ϕ(t)dt.
Q18 Φ poss`ede-t-elle une parit´e ? Si oui, laquelle ? Q19 Pourx >1, calculezI(x) =
Z x
1
2 ln(t) t dt.
Q20 Toujours pourx>1, en d´eduire Φ(x)−Φ(1) =¡ ln(x)¢2
+ Z x
1
1 t ln³
1 + 1 t2
´dt.
Q21 Donnez un ´equivalent simple de Φ(x) lorsquextend vers +∞.
Q22 La fonction Φ poss`ede-t-elle une limite en +∞?
[Devoir 2007/03] Compos´e le 21 novembre 2007
