11.23 1) Étant donné que ln(x) > 0 pour tout x > 1, il suit que f(x) = ln(x) x > 0 pour tout x > 1 .
Z e
1
f (x) dx = Z e
1
ln( x ) x dx =
Z e
1
ln(x) · 1 x dx =
Z e
1
ln(x) · ln(x) ′
dx =
1
2 ln 2 (x)
e
1
= 1 2 ln 2 (e) − 1 2 ln 2 (1) = 1 2 · 1 2 − 1 2 · 0 2 = 1 2
2) π Z e
1
f 2 ( x ) dx = π Z e
1
ln 2 (x) x 2 dx
Calculons une primitive de ln 2 (x)
x 2 grâce à une intégration par parties : f ′ (x) = 1
x 2 f (x) = − 1 x g(x) = ln 2 (x) g ′ (x) = 2 ln(x) ·
1
x = 2 ln(x) x Z ln 2 (x)
x 2 dx = − ln 2 (x)
x +
Z 2 ln(x)
x 2 dx = − ln 2 (x)
x + 2
Z ln(x) x 2 dx
Calculons une primitive de ln(x)
x 2 à nouveau par intégration par parties : f ′ (x) = 1
x 2 f (x) = − 1 x g(x) = ln(x) g ′ (x) = 1
x Z ln(x)
x 2 dx = − ln(x)
x + Z 1
x 2 dx = − ln(x)
x − 1 x En résumé, nous avons obtenu :
π Z e
1
ln 2 (x)
x 2 dx = π
− ln 2 (x)
x + 2
− ln(x)
x − 1 x
e
1
= π
−
ln 2 (x) + 2 ln(x) + 2 x
e
1
= π
− ln
2
( e )+2 ln( e )+2
e + ln
2(1)+2 ln(1)+2 1
=
π
− 1
2
