1. Rappeler la d´ efinition de ln(x), x > 0.

L1 Maths 2019-2020, Compl´ ements Maths 2

Feuille d’exercices num´ ero 1 : fonctions et ´ equations diff´ erentielles Exercice I. Fonction logarithme n´ eperien : croissances compar´ ees

1. Rappeler la d´ efinition de ln(x), x > 0.

2. Calculer R x 1

√ dt

t pour x ≥ 1.

3. Montrer que R x 1

dt t ≤ R x

1

√ dt

t pour tout x ≥ 1.

4. En d´ eduire que lim x→+∞ ln(x)

x = 0 puis que lim x→0 x ln(x) = 0.

Exercice II. Fonction exponentielle et ´ equation diff´ erentielle On s’int´ eresse aux fonctions y d´ erivables sur R qui v´ erifient

y ⁰ = y et y(0) = 1 (1)

1. a. Montrer que si y v´ erifie (1) alors y(x)y(−x) = 1 pour tout x ∈ R (d´ eriver x 7→ y(x)y(−x)).

En d´ eduire que y ne s’annule pas sur R .

b. Montrer que si y ₁ et y ₂ v´ erifient (1) alors elles sont ´ egales (d´ eriver x 7→ ^y _y

^(x)

2

(x) ).

2. Montrer que la fonction exp (rappel du cours : fonction r´ eciproque de ln) est l’unique solution du probl` eme (1).

Exercice III. Fonction exponentielle : croissances compar´ ees

1. Montrer que exp(x) ≥ 1 + x pour tout x ≥ 0 (´ etudier la fonction x 7→ exp(x) − (1 + x)). En d´ eduire que lim x→+∞ exp(x) = +∞ puis que lim x→−∞ exp(x) = 0.

2. Plus g´ en´ eralement, montrer que pour tout n ∈ N ^∗ on a exp(x) ≥ 1 + x + ^x _2!

+ · · · + ^x _n!

pour tout x ≥ 0. En d´ eduire lim x→+∞ exp(x)

x

si r ∈ N ^∗ .

Exercice IV. Fonctions exponentielles et puissances

1. Rappeler la d´ efinition de la fonction g : x 7→ 3 ^x . Domaine de d´ efinition, tableau de variation.

2. Rappeler la d´ efinition de la fonction f : x 7→ x ^π . Domaine de d´ efinition, tableau de variation.

Exercice V. Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = −y. D´ eterminer la solution qui prend la valeur 1 en x = 0.

2. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = −y + x (on pourra remarquer que x 7→ x − 1 est une solution particuli` ere). D´ eterminer la solution qui prend la valeur e ⁻¹ en x = 1 .

3. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = (x + 1)y + x + 1 (il y a une solution particuli` ere ´ evidente, laquelle?). D´ eterminer la solution qui prend la valeur 1 en x = 0.

Exercice VI.Variation de la constante

Dans cet exercice, on pourra trouver des solutions particuli` eres des ´ equations diff´ erentielles pro- pos´ ees en utilisant la m´ ethode de la variation de la constante.

1. R´ esoudre y ⁰ = ¹ _x y + x sur R ^∗ + . Quelle est la solution qui prend la valeur 0 en 1?

2. R´ esoudre y ⁰ = ² _x y + x ² sur R ^∗ + . Quelle est la solution qui prend la valeur 0 en 1?

3. R´ esoudre y ⁰ = x ² y + x ² .

4. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = ² _x y + x ² cos(x). D´ eterminer la solution qui prend la valeur

1

1 en ^π ₂ .

Exercice VII. Probl` eme de raccord

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = ^2y _x + 1 sur R ^∗ + et R ^∗ − .

2. Trouver une solution de l’´ equation diff´ erentielle xy ⁰ = 2y + x d´ efinie sur R.

Exercice VIII. Equation diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre 2

1. R´ esoudre y ⁰⁰ + 2y ⁰ + y = 0. D´ eterminer les solutions y qui v´ erifient les conditions initiales y(0) = 1 et y ⁰ (0) = 0.

2. R´ esoudre y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 2y = 0. D´ eterminer les solutions y qui v´ erifient les conditions initiales y(0) = 0 et y ⁰ (0) = 1.

3. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 4y = 0 puis y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 4y = 4.

4. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰⁰ − y = 0 puis y ⁰⁰ − y = x. D´ eterminer la solution qui v´ erifie les conditions initiales y(0) = 0 et y ⁰ (0) = 1.

Les deux exercices qui suivent sont ` a faire chez vous : ils ne seront corrig´ es en td que si le temps le permet.

Exercice IX. Une ´ equation fonctionnelle Soit f : R −→ R une fonction continue telle que

∀x, y ∈ R , f(x + y) = f (x) + f(y).

1. Calculer f(0) et montrer que pour tout x ∈ R , f (−x) = −f (x).

2. Montrer que pour tout n ∈ Z et tout x ∈ R on a f (nx) = nf (x).

3. Montrer que pour tout r ∈ Q on a f (r) = ar avec a = f(1) (´ ecrire r = ^p _q et utiliser la question pr´ ec´ edente).

4. En d´ eduire que, pour tout x ∈ R , f (x) = ax (´ ecrire x comme la limite d’une suite de rationnels et utiliser la continuit´ e de f ).

Exercice X. Une autre ´ equation fonctionnelle Soit f : R −→ R une fonction continue en 0 telle que

∀x ∈ R , f(3x) = f (x). (2)

1. Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ≥ 1, f(x) = f ( ₃ ^x

).

2. En utilisant la continuit´ e en 0, en d´ eduire que f (x) = f (0).

3. Que vaut f ?

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