Exercice 1 Soit f(x) = ln(tan x).

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

Universit´ e de Paris 8

Exercices sur la convexit´ e

1 Convexit´ e, concavit´ e

Exercice 1 Soit f(x) = ln(tan x).

1. Donner le domaine de d´ efinition de f.

2. Montrer que f est π-p´ eriodique.

3. Etudier les variations et la convexit´ e de f sur ]0, π/2[.

4. En d´ eduire que pour tout x ∈]0, π/2[, |f (x)| > 2|(x − π/4)|.

5. Montrer que la courbe repr´ esentative de f est sym´ etrique par rapport au point de coor- donn´ ees (π/4, 0) et tracer la courbe.

Exercice 2 Soit g(x) = ln ln x.

1. Donner le domaine de d´ efinition de g.

2. Montrer que g est concave sur son domaine de d´ efinition.

3. En d´ eduire l’in´ egalit´ e

∀a > b > 1, ln a + b 2 > √

ln a ln b.

Exercice 3 Soient p et q deux r´ eels strictement positifs tels que ¹ _p + ¹ _q = 1. En utilisant la concavit´ e de la fonction logarithme, montrer que

∀(x, y) ∈ ( R ^∗+ ) ² , xy 6 x ^p p + x ^q

q .

2 Bijection

Exercice 4 D´ eterminer les plus grands sous-ensembles A et B de R pour que la fonction f d´ efinie par

f (x) = 2x + 1 x + 1

constitue une bijection entre A et B et d´ eterminer la bijection r´ eciproque.

Mˆ eme question avec la fonction

g(x) = 2e ^x + 1 e ^x + 1 . Exercice 5 Soit f la fonction d´ efinie sur [− ^π ₂ , ^π ₂ ] par

f (x) = cos x + x.

1. Montrer que f d´ efinie une bijection entre [− ^π ₂ , ^π ₂ ] et un intervalle I que l’on pr´ ecisera.

2. On note g = f ⁻¹ la bijection r´ eciproque de f. Quel est le sens de variation de g.

3. Montrer que g est de classe C ^∞ sur I sauf en un point que l’on pr´ ecisera.

4. Calculer g (1), g ⁰ (1), g ⁰⁰ (1). En d´ eduire une formule de Taylor-Lagrange ` a l’ordre 2, pour

la fonction g, au point 1.

3 Fonctions trigonom´ etriques r´ eciproques

Exercice 6 Exprimer sans fonctions trigonom´ etriques directes ou r´ eciproques les expressions : 1. Arccos(cos x) pour x ∈ [0, 4π] ;

2. Arctan tan 2x pour x ∈ [0, π] ; 3. Arccos sin x pour x ∈ [0, 4π].

Exercice 7 1. Montrer que si ab < 1,

Arctan a + Arctan b = Arctan a + b 1 − ab . On pourra poser θ = Arctan a et φ = Arctan b et calculer tan(θ + φ).

2. Retrouver ces r´ esultats en d´ erivant la fonction

f (x) = Arctan a + x 1 − ax . 3. Qu’en est-il si ab > 1 ?

4. Montrer que pour tout x > 0, Arctan x + Arctan _x ¹ = ^π ₂ . En d´ eduire la limite

x→∞ lim x

Arctan x − π 2

. Exercice 8 1. Montrer que si x ∈]0, 1[, Arcsin x < ^√ _1−x ^x

.

2. Montrer que ∀x ∈]0, ∞[, Arctan x > _1+x ^x

. 3. Montrer que si x ∈]0, 1[, Arcsin x + Arcsin √

1 − x ² = π/2.

Exercice 9 On pose

f (x) = Arcsin 2x √

1 − x ² .

1. Pr´ eciser le domaine de d´ efinition de f et les points o` u ´ eventuellement il y a un probl` eme de d´ erivabilit´ e.

2. Calculer et simplifier f

sur son domaine de d´ erivabilit´ e.

En d´ eduire une expression simple de f sur son domaine de d´ efinition.

3. Retrouver, ` a l’aide d’un changement de variable, l’expression simplifi´ ee de f .

4 Croissance compar´ ee

Exercice 10 D´ eterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.

1) lim

x→0

x + 2

x ² ln x ; 2) lim

x→0

2x ln x + √

x; 3) lim

x→+∞

x ³ − 2x ² + 3 x ln x ; 4) lim

x→+∞

e

√ x+1

x + 2 ; 5) lim

x→−∞

2

x + 1 ln x ³ + 4

1 − x ² ; 6) lim

x→+∞

e ^x − e ^x

x ² − x ; 7) lim

x→0

(1 + x) ^{ln x} ; 8) lim

x→+∞

x + 1 x − 3

x

; 9) lim

x→+∞

x ³ + 5 x ² + 2

; 10) lim

x→+∞

x p

ln(x ² + 1)

1 + e ^x−3 .

2

Exercice 11 Soit α un r´ eel strictement positif. Montrer que

∀x > 0, ln(x)

x ^α < 2 αx ^α/2 En d´ eduire que

x→+∞ lim ln(x)

x ^α = 0, α > 0.

Exercice 12 Soit f(x) = exp ⁻¹ _x

.

1. Montrer que f est prolongeable par continuit´ e en 0. Soit ˜ f le prolongement par continuit´ e de f sur R .

2. Montrer que, pour tout x ∈ R ^∗ , la d´ eriv´ ee n ^{i` eme} de f est de la forme f ⁽ⁿ⁾ (x) = P n (x)

x ³ⁿ exp −1 x ² o` u P _n est un polynˆ ome.

3. Montrer que ˜ f est de classe C ∞ sur R et donner la valeur de f ⁽ⁿ⁾ (0).

4. Donner le d´ eveloppement de Taylor de la fonction ˜ f en 0 ` a l’ordre n sur l’intervalle [0, x].

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

Universit´ e de Paris 8

Exercices sur la convexit´ e

Correction 2 1. D _g =]1, +∞[.

2. g ⁰ (x) = _{x ln} ¹ _x . g ⁰⁰ (x) = ^−(ln(x)+1) _{(x ln x)}

< 0 car ln(x) + 1 > 1 > 0. Donc g est strictement concave sur ]1, +∞[.

3. Par concavit´ e, on a g ^a+b ₂

> ^g(a)+g(b) ₂ , autrement dit ln ln ^a+b ₂

> ^{ln(ln a)+ln(ln} ₂ ^b) = ln((ln a ln b) ^1/2 ). On prend l’exponentielle et on obtient ln ^a+b ₂

> (ln a ln b) ^1/2 .

Correction 3 f(x) = ln x est concave sur R ^+∗ car f ⁰⁰ (x) = − _x ¹

< 0. Soit λ = ¹ _p ∈]0, 1[ et x, y ∈ R ^+∗ . Par concavit´ e on a ln(λx ^p + (1 − λ)y ^q ) > λ ln(x ^p ) + (1 − λ) ln(y ^q ). Or λ ln(x ^p ) =

1

p p ln(x) = ln(x) et (1 − λ) ln(y ^q ) = ¹ _q q ln(y) = ln y. Donc ln( ^x _p

+ ^y _q

) > ln x + ln y = ln(xy).

Conclusion : ^x _p

+ ^y _q

> xy.

Correction 4 D _g = R .

Soit y ∈ R . On cherche ` a r´ esoudre y = g(x) (l’inconnue ´ etant x). Cette ´ equation est ´ equivalente

`

a e ^x = ^y−1 _2−y . Cette ´ equation a une solution si et seulement si ^y−1 _2−y > 0, ce qui est ´ equivalent ` a y ∈]1, 2[. Dans ce cas il y a une unique solution qui est x = ln

y−1 2−y

. Si A = R et B =]1, 2[, g : A → B est une bijection de bijection r´ eciproque g ⁻¹ : B → A, g ⁻¹ (y) = ln

y−1 2−y

. Correction 6 1.

2. Rappel : Arctan(tan y) = y si y ∈] − π/2, π/2[.

Si x ∈ [0, π/4[ alors y = 2x ∈ [0, π/2] et Arctan(tan 2x) = y = 2x.

Si x ∈]π/4, 3π/4[ alors tan 2x = tan(2x − π) avec y = 2x − π ∈] − π/2, π/2[ donc Arctan(tan 2x) = 2x − π.

Si x ∈]3π/4, π] alors tan 2x = tan(2x−2π) avec y = 2x−2π ∈]−π/2, 0] donc Arctan tan 2x = 2x − 2π.

La fonction Arctan(tan 2x) n’est pas d´ efinie en x = π/4 et x = 3π/4.

3. On a sin x = cos(x − π/2) pour tout x. On a calcul´ e en TD Arccos(cos y) pour y ∈ [−π/2, 4π]. En posant y = x−π/2 on obtient les formules pour Arccos(sin x) = Arccos(cos y).

Correction 8 1.

2. On applique le th´ eor` eme des accroissements finis ` a la fonction Arctan entre 0 et x > 0 : il existe x ∈]0, x[ tel que Arctan x − Arctan 0 = x _1+c ¹

. Comme 0 < c < x on a _1+c ¹

> _1+x ¹

donc

∀x ∈]0, +∞[, Arctan x > _1+x ^x

.

3. Soit x ∈]0, 1[. On pose θ = Arcsin x, de sorte que x = sin θ et θ ∈]0, π/2[.

On a 1 − x ² = 1 − sin ² θ = cos ² θ. Comme θ ∈]0, π/2[ on a cos θ > 0 donc √

1 − x ² =

√ cos ² θ = cos θ. De plus, cos θ = sin(π/2 − θ) et π/2 − θ ∈]0, π/2[ donc Arcsin(sin(π/2 − θ) = π/2 − θ. On en d´ eduit :

Arcsin x + Arcsin √

1 − x ² = θ + ( ^π ₂ − θ) = ^π ₂ .

4

Correction 11 Soit f(x) = _x ^lnx

pour x > 0. f est d´ erivable et f ⁰ (x) =

1

x x ^α/2 − ^α ₂ x ^α/2−1 ln x

x ^α =

1 − ^α ₂ ln x

x ^α/2+1 . Comme x ^α/2+1 > 0, f ⁰ est du signe de 1 − ^α ₂ ln x. On a 1 − ^α ₂ ln x = 0 ⇔ ln x = _α ² ⇔ x = e ^2/α > 0.

0 e ^2/α +∞

f ⁰ k + 0 −

f k % &

Vu le tableau de variation, la fonction f atteint son maimum au point x ₀ = e ^2/α , donc pour tout x > 0, f(x) 6 f (x ₀ ). Comme f(x ₀ ) = _αe ² on a _x ^ln

^x 6 _αe ² < ² _α (car e > 1). En divisant par x ^α/2 on trouve ^ln _x

^x < _αx ²

pour tout x > 0.

Si x > 1 alors ln x > 0 donc 0 < ^ln _x

^x < _αx ²

. Comme α > 0 on a lim

x→+∞

2

αx ^α/2 = 0. Le th´ eor` eme des gendarmes implique que lim

x→0

ln x

x ^α = 0.