TD5 : Portraits de phase, stabilit´e, lin´earisation, fonctions de Liapunov.
Exercice 1 Soit A ∈ Md(R). Quel lien y a-t-il entre les solutions et entre les portraits de phase de X′(t) =AX(t) et de X′(t) =−AX(t). Justifier.
Exercice 2 Donner l’allure des portraits de phase du syst`eme d’´equations diff´erentielles X′(t) = AX et dire si l’origine est stable, asymptotiquement stable, instable, pour les matrices A suivantes :
1) A=
1 0 0 2
2) A=
2 0 0 1
3) A=
0 0 0 −1
4) A =
0 −1
0 0
Exercice 3 Soit A ∈ M2(R). Que peut-on dire de la stabilit´e de l’origine et de l’allure du portrait de phase dans les cas suivants ?
1) detA <0 ; 2) T r(A)>0 ; 3)det(A)>0 et T r(A)<0 ; 4) detA= 0 etT r(A)<0 Exercice 4 Soit A ∈ Md(R) et B : R→ Rd une fonction de classe C1. On consid`ere le syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaire (NH): X′(t) =AX(t) +B(t).
a) Les solutions maximales sont-elles toutes globales ?
b) On suppose que l’origine est asymptotiquement stable pour le syst`eme homog`ene X′(t) =AX(t). Montrer que pour toutes solutions X(·) et ˜X(·) de (NH) :
b1) pour toutǫ >0, il existe α >0 tel que : X(0)−X(0)˜ ≤α⇒ ∀t≥0, X(t)−X(t)˜ ≤ǫ b2) X(t)−X(t)˜ →t→+∞0
Exercice 5 Soit (a, b)∈R2. Soit le probl`eme de Cauchy d´efini dans R2 par
x′(t) =y(t)
y′(t) = (x3(t)−1)e−x2(t) x(0) =a, y(0) =b.
1. Montrer que ce probl`eme admet une unique solution maximale.
2. Quelles sont les positions d’´equilibre du syst`eme ´etudi´e ? Discuter de leur stabilit´e.
Exercice 6 On consid`ere le syst`eme suivant:
x′(t) = 2ǫx(t) +y(t)
y′(t) =−5x(t)−x3(t). (E)
1. Montrer que pour tout couple (a, b) ∈ R2, le probl`eme de Cauchy associ´e `a (E) et (x(0) =a, y(0) =b) admet une unique solution maximale.
2. D´eterminer le point d’´equilibre du syst`eme.
3. Etudier le syst`eme lin´earis´e au voisinage de ce point d’´equilibre.
4. En d´eduire quand cela est possible une information sur la stabilit´e de l’´equilibre du syst`eme (E).
1
5. On se place maintenant dans le cas o`uǫ= 0. On pose H(x, y) = 1
2y2+ 5
2x2+ 1 4x4.
(pour les questions d. et e., on pourra se contenter de donner l’id´ee).
a. Montrer que H est constante le long des trajectoires.
b. Montrer que H est une fonction de Lyapunov pour le syst`eme (E).
c. Le point d’´equilibre est-il stable ? asymptotiquement stable ?
d. Montrer que toutes les trajectoires sont born´ees. En d´eduire que les solutions de (E) sont d´efinies sur R.
e. Montrer que toutes les trajectoires sont p´eriodiques.
Exercice 7 1. On pose H(x, y) = −xy, pour x, y dans R. Ecrire le syst`eme hamil- tonien associ´e `a H et donner son portrait de phase.
2. Soit le syst`eme diff´erentiel sur R2
x˙ =−x
˙
y=y−3x2.
a) Montrer que ce syst`eme est hamiltonien et trouver le hamiltionien en question.
b) Donner la nature des points d’´equilibre et dessiner sch´ematiquement les trajec- toires.
Exercice 8 On consid`ere le mod`ele classique proie-pr´edateur de Lokkta-Volterra x˙ =x(y−b)
˙
y =y(a−x), o`u a, b sont des constantes positives.
1. Montrer que si les donn´ees initiales x0, y0 sont strictement positives, alors, pour tout temps t, on a x(t)>0 et y(t)>0.
2. Trouver les points d’´equilibre.
3. Etudier le syst`eme lin´earis´e au voisinage de chacun de ces points et en d´eduire leur stabilit´e.
4. Trouver l’´equation des trajectoires. Est-ce un syst`eme hamiltonien?
5. Montrer que les trajectoires sont p´eriodiques et que si on noteT leur p´eriode, on a 1
T Z T
0
x(t)dt=a, et 1 T
Z T
0
y(t)dt=b.
2
Exercice 9 On consid`ere le syst`eme suivant:
x′(t) =−x(t)2−y(t)2+ 1
y′(t) = −2x(t)y(t). (S)
1. D´eterminer les points d’´equilibre du syst`eme.
2. Pour chacun de ces points d’´equilibre, a. Donner le syst`eme lin´earis´e associ´e.
b. Discuter de la nature et de la stabilit´e du syst`eme obtenu.
c. En d´eduire quand cela est possible des informations sur la stabilit´e de l’´equilibre consid´er´e, pour le syst`eme non lin´eaire (S).
3. On pose
V(x, y) =y2x+ x3 3 −x.
a. Montrer que (x0, y0) est un point d’´equilibre de (S), si et seulement si c’est un point critique de V.
b. Montrer que V d´ecroit le long des trajectoires. Quand a-t-on annulation de
d
dtV(x(t), y(t))?
4. On se place au voisinage du point d’´equilibre (1,0). On cherche `a montrer l’existence d’un voisinage V de ce point tel que, pour toute donn´ee initiale (x0, y0) dans V,
∀t >0,
k(x(t), y(t))−(1,0)k ≤e−tk(x0, y0)−(1,0)k, (1) o`u (x(t), y(t)) est l’unique solution de (S) associ´ee `a la donn´ee initiale (x0, y0) (Ici, k.k d´esigne la norme euclidienne sur R2).
a. Montrer que
∂V
∂x(x, y) = 2(x−1) +k(x, y)−(1,0)kǫ1((x, y)−(1,0)),
et ∂V
∂y(x, y) = 2y+k(x, y)−(1,0)kǫ2((x, y)−(1,0)), o`uǫi((x, y)−(1,0)), i= 1,2 tend vers 0 lorsque (x, y) tend vers (1,0).
b. SoitV un voisinage de (1,0) tel que ||ǫ((x, y)−(1,0))||<1, o`uǫest le vecteur de composantes (ǫ1, ǫ2). Soit (x0, y0) ∈ V. Montrer que pour tout temps suffisamment petit
d
dtk(x(t), y(t))−(1,0)k2 ≤ −k(x(t), y(t))−(1,0)k2. (On rappelle l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz, |(X, X′)| ≤ kXkkX′k).
En d´eduire (1). Expliquer pourquoi cette in´egalit´e est en fait valable pour tout temps t >0.
3
