Exercice 1 : Spectre d’un polynˆ ome et syst` eme lin´ eaire

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚3

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : Spectre d’un polynˆ ome et syst` eme lin´ eaire

1. D´eterminer l’ensemble des racines r´eelles du polynˆomeX³+X²−X−1.

2. Soitλ∈R. On lui associe le syst`eme lin´eaire

Sλ :







x + 2y − z = 0

−x + y − 2z = 0 (1 +λ)x + λ²y + λ³z = 0 d’inconnue (x, y, z)∈R³.

(a) Montrer que :

rang(Sλ) = 3⇐⇒(λ6= 1 etλ6=−1).

(b) On suppose ici queλ /∈ {−1,1}. D´eterminer l’ensemble solution deSλsans effectuer aucun calcul.

(c) R´esoudre le syst`emeS<sub>λ</sub>dans le cas o`uλ=−1.

(d) R´esoudre le syst`emeS<sub>λ</sub>dans le cas o`uλ= 1.

Exercice 2 : Calcul d’une somme

1. Soitn∈N^∗. Donner la valeur de

n

X

k=1

k.

2. Montrer qu’il existe un unique quadruplet (a, b, c, d) de nombres r´eels tel que :

∀x∈R\ {−1,0} x³+x²+ 1

x²+x =ax+b+ c x+ d

x+ 1. 3. En d´eduire une expression de la somme

Sn=

n

X

k=1

k³+k²+ 1 k²+k sans symbole X

(et sans pointill´e...) pour toutn∈N^∗.

1

Exercice 3 : Sens de variation d’une fonction homographique

Soienta, b, c, dquatre nombres r´eels fix´es. On suppose quec >0. On pose ∆ =ad−bc. Soitf la fonction d´efinie par :

f:R\ ß

−d c

™

→R, x7→ ax+b cx+d. 1. Montrer que :

∀x∈R\ ß

−d c

™

∀y∈R\ ß

−d c

™

f(x)−f(y) = ∆× (x−y) (cx+d)(cy+d). 2. On note I⁻ et I⁺les intervalles d´efinis par :I⁻=

ò

−∞,−d c ï

etI⁺= ò

−d c,+∞

ï .

(a) On suppose ici que ∆>0. Montrer quef est strictement croissante surI⁻ et quef est strictement croissante surI⁺.

(b) On suppose `a pr´esent que ∆ <0. Montrer quef est strictement d´ecroissante sur I⁻ et que f est strictement d´ecroissante sur I⁺.

(c) On suppose enfin que ∆ = 0. Montrer quef est la fonction constante a

c, i.e. que :

∀x∈R\ ß

−d c

™

f(x) =a c.

Exercice 4 : O` u chercher les racines enti` eres d’un polynˆ ome ?

1. SoitP =a3X³+a2X²+a1X+a0 un polynˆome de degr´e 3 `a coefficientsa0, a1, a2, a3r´eels.

(a) Que peut-on dire dea₃?

(b) Prouver que six₀ est une racine deP non nulle, alors : x0=−a2

a₃ − a1

a₃x₀ − a0

a₃x²₀. (c) Rappeler l’in´egalit´e triangulaire.

(d) D´eduire de (b) et (c) que six0 est une racine deP telle que |x0| ≥1, alors :

|x0| ≤c(P) o`uc(P) = |a2|+|a1|+|a0|

|a3| .

(e) Prouver alors que six0 est une racine deP, alors :

x0∈[−C(P), C(P)], o`uC(P) = Max(c(P),1).

2. On consid`ere le polynˆomeQ= 3X³+ 3X²−X+ 2 de degr´e 3. Calculer C(Q) et d´eduire de la question 1.(e) queQn’admet aucune racine dansZ.

3. Conjecturer une g´en´eralisation du r´esultat de la question 1.(e) pour un polynˆomeP de degr´enquelconque (n∈N^∗) ?

Probl` eme : ´ Etudes de suites d´ efinies par r´ ecurrence

Partie A : ´Etude d’une fonction polynomiale de degr´e 2 SoitP la fonction d´efinie par :

P:R→R; x7→1−x² 4 . 2

1. Dresser le tableau de signes de la fonctionP. 2. Dresser le tableau de variations de la fonctionP.

Partie B : ´Etude de la fonction f: [0,2[→R; x7→ 1

… 1−x²

4 .

Soitf la fonction d´efinie par :

f: [0,2[→R; x7→ 1

… 1−x²

4 .

1. Justifier que la fonctionf est bien d´efinie.

2. Justifier que√

2<2 et calculerf(√

2). On simplifiera l’expression def(√ 2).

3. D´efinir trois fonctionsf1, f2, f3 telles que :

f =f3◦f2◦f1.

On pr´ecisera l’ensemble de d´epart et l’ensemble d’arriv´ee de chacune des fonctions f1, f2, f3 et on justifiera avec soin que la compos´ee de f1 parf2(i.e.f2◦f1) est bien d´efinie et que la compos´ee de f2◦f1parf3 est elle aussi bien d´efinie.

4. D´eterminer le sens de variation de la fonctionf sur [0,2[.

5. (a) Montrer que :

∀x∈[0,2[ f(x)≥x.

(b) Montrer que :

∀x∈[0,2[ f(x) =x⇐⇒x=√ 2.

(c) D´eduire de (a) et (b) l’ensemble solution de l’in´equation : (I) : f(x)> x.

(d) Interpr´eter graphiquement les r´esultats (b) et (c).

6. Montrer que l’intervalleI= [0,√

2] est stable parf, i.e. que :

∀x∈[0,√

2] f(x)∈[0,√ 2].

Partie C : ´Etude d’une suite (un)_n∈N v´erifiant 0≤u0<√

2 et∀n∈N un+1= 1

… 1−u²_n

4 Soit (u_n)_n∈Nune suite v´erifiant :















0≤u₀<√ 2 et

∀n∈N u_n+1= 1

… 1−u²_n

4 .

1. Soitn∈N. Donner une expression deu_n+1 en fonction def etu_n. 2. Justifier que la suite (u_n)_n∈Nest bien d´efinie.

3. (a) Donner la d´efinition de l’assertionla suite (u_n)_n∈Nest strictement croissante. (b) D´emontrer que la suite (u_n)_n∈Nest strictement croissante.

(c) Que peut-on en d´eduire quant `a un minorant ou un majorant ´eventuel de la suite (un)n∈N? 4. (a) Donner la d´efinition de l’assertionla suite (un)n∈Nest major´ee par√

2. (b) D´emontrer que la suite (un)n∈Nest major´ee par√

2.

3

Partie D : ´Etude de la suite (vn)n∈N v´erifiant v0=√

2 et∀n∈N vn+1= 1

… 1−v_n²

4 Soit (v_n)_n∈Nla suite v´erifiant :















v0=√ 2 et

∀n∈N vn+1= 1

… 1−v_n²

4 .

1. Calculerv1, v2, v3, v4.

2. En s’appuyant sur la question 1, ´emettre une conjecture sur la suite (vn)_n∈N. 3. D´emontrer la conjecture faite `a la question 2.

4