Exercice 1 : Soit f l’application lin´ eaire de R 2 dans lui-mˆ eme, d´ efinie par f (x, y) = (2x + y, 2y + x).

2018-2018 MAT303–UGA

TD 4 : continuit´ e et topologie

Exercice 1 : Soit f l’application lin´ eaire de R ² dans lui-mˆ eme, d´ efinie par f (x, y) = (2x + y, 2y + x).

1. Justifier que pour tout vecteur u = (x, y), on a kf (u)k ₁ 6 3kuk ₁ . 2. Montrer que f est continue en (0, 0), puis qu’elle est continue sur R ² .

Exercice 2 : Soit f l’application lin´ eaire de R ² dans lui-mˆ eme, d´ efinie par f(x, y) = (x − y, x + 2y). Soit S la sph` ere unit´ e de R ² pour la norme k · k _∞ .

1. Justifier qu’il existe C > 0 tel que pour tout u dans S, on ait kf (u)k _∞ 6 C. On pourra raisonner graphiquement pour trouver un tel C.

2. En d´ eduire que pour tout vecteur non-nul de R ² , on a kf (u)k ∞ 6 Ckuk ∞

3. Montrer que f est continue en (0, 0), puis qu’elle est continue sur R ² .

Exercice 3 : On munit R ⁿ d’une norme quelconque, not´ ee k · k. Soit f : R ⁿ −→ R ⁿ une application lin´ eaire. On note (e _i ) _i=1..n la base canonique de R ⁿ .

1. Soit x ∈ R ⁿ , un vecteur, qu’on ´ ecrit x = P n

i=1 x _i e _i avec x _i ∈ R . Montrer que

kf(x)k 6

n

X

i=1

(|x _i | · kf (e _i )k)

2. En d´ eduire qu’il existe C > 0 tel que kf (x)k 6 Ckxk ₁ . 3. En d´ eduire qu’il existe C ⁰ > 0 tel que kf (x)k 6 C ⁰ kxk.

4. En d´ eduire que f est continue pour la norme k · k choisie au d´ epart. La continuit´ e de f d´ epend-elle de la norme choisie ?

Exercice 4 : Peut-on prolonger par continuit´ e en 0 les fonctions d´ efinies de R ² \ {0} dans R par les formules suivantes.

f (x, y) = xy

|x| + |y| f (x, y) = xy

x ² + y ² f (x, y) = x ² y ² x ² + y ²

f (x, y) = 1 + x ² + y ²

y sin(y) f (x, y) = x ²

|y| + x ² f (x, y) = sin x + sin y

|x| + |y| .

Exercice 5 : Soit N 1 et N 2 deux normes sur R ⁿ , et f : R ⁿ −→ R une fonction.

1. Ecrire la d´ efinition de

f est k-lipschitzienne pour N 1

Montrer que si f est k- lipschitzienne pour N 1 , il existe k ⁰ , tel que f est k ⁰ -lipschitzienne pour N 2 .

2. Ecrire la d´ efinition de

f est uniform´ ement continue pour N 1

. Montrer que si f est uniform´ ement continue pour N ₁ , elle l’est aussi pour N ₂ .

Exercice 6 : Soit f : [0, 2] → R une fonction K−lipschitzienne sur [0, 1] et sur [1, 2]. Montrer que f est K−lipschitzienne sur [0, 2].

Exercice 7 : Soit f : R → R une fonction T −p´ eriodique et continue. Montrer que f est uniform´ ement continue.

Exercice 8 : Soit F une partie de R ⁿ et soit f : F → F une fonction continue. On appelle point fixe de f un point x ∈ F tel que f (x) = x.

1. Soit F = [0, 1], montrer que f a un point fixe.

2. Si F = [0, 1[ , f a-t-elle forc´ ement un point fixe ? 3. Que dire si F = [0, 1] ∪ [2, 3] ?

4. On se place dans F = R ² , trouver un exemple de fonction sans point fixe. Idem pour F un compact de R ² qui est

en un seul morceau

.

Exercice 9 : Soit f : R ² → R une fonction continue. On suppose que f est coercive, c’est-` a- dire que f (x) → +∞ quand kxk → +∞.

1. Montrer qu’un ensemble de niveau N λ = {x ∈ R ² , f (x) = λ} est un compact de R ² . Est-ce forc´ ement une

ligne

de niveau ?

2. Montrer qu’un ensemble de sous-niveau S _λ = {x ∈ R ² , f (x) 6 λ} est un compact de R ² .

3. En d´ eduire que f est minor´ ee et atteint son minimum.

Exercice 10 : Vrai/Faux Soit f une application continue de R ⁿ dans R ^m . Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. L’image d’un ferm´ e de R ⁿ par f est ferm´ e.

2. L’image r´ eciproque d’un ouvert de R ^m par f est ouverte.

3. L’image r´ eciproque d’une boule ouverte de R ^m est une boule ouverte de R ⁿ . 4. L’image r´ eciproque d’un compact de R ^m est un compact de R ⁿ .

5. L’image d’un compact de R ⁿ est un compact de R ^m .

6. Soit B une partie born´ ee de R ⁿ et f : B → R ^m une fonction continue sur B. Alors

f(B) est born´ ee.