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Exercice 1 Soient P et Q les polynˆ omes r´ eels d´ efinis par :

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

4

Polynˆ omes

Exercice 1 Soient P et Q les polynˆ omes r´ eels d´ efinis par :

P = X

13

+ X

6

+ 4X

5

− 8X

3

+ 3X + 11 Q = X

8

− 3X

3

+ X + 4.

D´ eterminer des polynˆ omes r´ eels U et V tels que :

U P + V Q = X

2

+ X + 1.

Exercice 2 Soit P le polynˆ ome r´ eel X

4

+ 3X

2

+ 1. Le polynˆ ome P est-il irr´ eductible dans R [X] ? Si oui, le montrer. Sinon, d´ eterminer deux polynˆ omes non constants A, B ∈ R [X] tels que AB = P.

Exercice 3 D´ ecomposer la fraction rationnelle :

2X

4

+ 3X

3

− 2X

2

+ 2X − 3 X

3

(X

2

+ 1)

en ´ el´ ements simples dans R (X).

Exercice 4 D´ ecomposer le polynˆ ome r´ eel X

8

− 1 en facteurs irr´ eductibles dans R [X].

Exercice 5 D´ ecomposer la fraction rationnelle :

X

4

− 6X

3

+ 11X

2

− 13X + 6 X

5

− 3X

4

+ 2X

3

en ´ el´ ements simples dans R (X).

Exercice 6 Soit P le polynˆ ome d´ efini par :

P = 3X

5

+ 5X

4

− 2X

3

+ 6X

2

+ 10X − 4.

1. D´ eterminer les racines de P dans Q . 2. D´ eterminer les racines de P dans R . 3. D´ eterminer les racines de P dans C .

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