DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Polynˆ omes de Bernstein et approximation uniforme
net ksont deux entiers naturels, etxest un nombre r´eel.
1
a Montrer quePn k=0
n k
xk(1−x)n−k= 1, que
n
X
k=0
k n
k
xk(1−x)n−k=nx
et que
n
X
k=0
k(k−1) n
k
xk(1−x)n−k=n(n−1)x2.
b D´eduire des questions pr´ec´edentes que
n
X
k=0
x−k
n 2n
k
xk(1−x)n−k= x(1−x) n . Soitn∈N∗,x∈[0,1]. On cherche ici `a majorer la somme
S(x) =
n
X
k=0
x−k n
n k
xk(1−x)n−k.
2On propose une premi`ere m´ethode. On noteV (resp.W) l’ensemble des entiersk∈[[0, n]] tels que x−kn
6
√1
n (resp.
x−kn
> √1n), et on pose
SV(x) =X
k∈V
x−k n
n k
xk(1−x)n−k et SW(x) = X
k∈W
x−k n
n k
xk(1−x)n−k.
a Montrer queSV(x)6 √1n. b Montrer queSW(x)6 x(1−x)√n . c En d´eduire queS(x)6 4√5n.
3On propose une autre m´ethode : `a l’aide de 1.b, montrer queS(x)62√1n.
Indication : on pourra utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dansRn+1 euclidien canonique.
4On munit E = C1([0,1],R) de la norme de la borne sup´erieure (´egalement appel´ee norme infinie), not´ee k·k∞, donn´ee, pour toutf ∈E, par :
kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
On confondra tout polynˆomeP ∈R[X] avec l’´el´ement deE qu’il induit.
Pour f ∈E etn∈N∗, on d´efinit len-i`eme polynˆome de Bernstein de f, not´eBn(f), par
Bn(f) =
n
X
k=0
f k
n n k
Xk(1−X)n−k.
a D´eterminer, pour tout n∈N∗,Bn(f0), o`uf0 :x7→x2 est la fonction carr´e, et en d´eduire la valeur de kBn(f0)−f0k∞.
b Dans la suite,f d´esigne un ´element deE. Montrer quef est lipschitzienne, et que, pour toutx∈[0,1], on a
Bn(f)(x)−f(x) =
n
X
k=0
f
k n
−f(x) n k
xk(1−x)n−k.
c Montrer qu’il existe un r´eelctel que, pour tout n∈N∗, on ait : kBn(f)−fk∞6 c
√n.
