Champ Lin´ eaire de Vecteurs - Portraits de Phase Exercice 1

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Travaux Dirig´ es no. 3

Champ Lin´ eaire de Vecteurs - Portraits de Phase Exercice 1

1. R´ esoudre en fonction de x

, y

∈ R le syst` eme suivant d’inconnues x, y ∈ C

( R ) :



 



 



x

= 2x + y y

= 4x − y x(0) = x

∈ R y(0) = y

∈ R

2. Repr´ esenter graphiquement les solutions (x(t); y(t)) dans le plan pour les valeurs initiales (x

; y

) = (1; 1) et (x

; y

) = (1; −4) (en indiquant le sens de parcourt de la trajectoire).

La suite de l’exercice a pour but de tracer la repr´ esentation graphique de (x(t); y(t)) pour (x

; y

) = (5; 0).

3. Donner la solution (x(t); y(t)) lorsque (x

; y

) = (5; 0).

On d´ efinit maintenant la matrice P =

4 1 4 −4

et on note x(t)

y(t)

= P X(t)

Y (t)

o` u (x(t); y(t)) est la solution du syst` eme pour (x

; y

) = (5; 0).

4. Montrer que Y (t) = CX (t)

pour un exposant α et une constante C ` a d´ eterminer.

5. En d´ eduire la repr´ esentation graphique de (x(t); y(t)) pour (x

; y

) = (5; 0) (en la justifiant).

Exercice 2

On se propose cette fois de faire l’´ etude g´ en´ erale d’un syst` eme lin´ eaire homog` ene d’ordre 1 dans R

, c’est ` a dire du type

u

= Au avec A ∈ M

( R )

D´ ecrire les solutions de ce syst` eme, en discutant des cas o` u A est diagonalisable dans

R , diagonalisable dans C ou pas diagonalisable. Tracer l’allure les courbes solutions u(t)

correspondantes.