Equations diff´ erentielles lin´ eaires

Feuillen^o8 MM2

Equations diff´ erentielles lin´ eaires

Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants Exercice 1. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :

1. y⁰+ 2y= 0.

2. 3y⁰+ 4y=t²+ 1 3. y⁰⁰−y=x³+x² 4. y⁰⁰−2y⁰+y=e^x

5. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= (x+ 1)e^−x 6. y⁰⁰−2y⁰+ 2y= 1

Exercice 2. Soit un poids de masse 1kg reli´e au plafond par un ressort. Si on notez= 0 la position de la masse quand le ressort est non d´etendu (c’est-`a-dire, quand la masse n’y est pas encore accroch´ee), k la constante de raideur du ressort et 2r le coefficient de frottement qu’exerce l’air sur la masse (r << k), alors la position de la masse v´erifie le probl`eme de Cauchy :







z⁰⁰(t) + 2rz⁰(t) +kz(t) =−g z(0) = 0

z⁰(0) = 0

avecgla constante de gravit´e. R´esoudre le probl`eme de Cauchy et interpr´eter physiquement le r´esultat.

Equations diff´erentielles lin´eaires scalaires

Exercice 3. On se propose d’int´egrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans ]0,∞[

l’´equation diff´erentielle :

(E) y⁰(x)−y(x)

x −y(x)² =−9x².

1. D´eterminer a∈]0,∞[ tel que y(x) =axsoit une solution particuli`erey0 de (E).

2. Montrer que le changement de fonction inconnue :y(x) =y0(x)−_z(x)¹ transforme l’´equation (E) en l’´equation diff´erentielle

(E1) z⁰(x) + (6x+1

x)z(x) = 1.

3. Int´egrer (E1) sur ]0,∞[.

4. Donner toutes les solutions de (E) d´efinies sur ]0,∞[.

Exercice 4. R´esoudre

1. y⁰+ 2xy=x, ety(0) = 1.

2. x(x²−1)y⁰+ 2y=x².

3. y⁰⁰−2y⁰+y=x³e^x+ 2 cosx+ (x³+ 3).

1

Exercice 5. R´esoudre et raccorder ´eventuellement : 1. xy⁰−2y=x⁴.

2. x(1 +x²)y⁰ =y.

3. (e^x−1)y⁰+ (e^x+ 1)y= 3 + 2e^x.

Exercice 6. On consid`ere les ´equations diff´erentielles suivantes : t²x⁰⁰−2tx⁰+ 2x= 0 (H) t²x⁰⁰−2tx⁰+ 2x=t⁴cost (E) 1. Donner toutes les solutions de (H) de la forme t7→t^α, avec α∈R.

2. Donner l’ensemble des solutions sur Rde (H) (on soignera la r´edaction, et on veillera en parti- culier `a distinguer dans un premier temps, la situation sur R+ de celle surR−).

3. Donner l’ensemble des solutions surR de (E).

Exercice 7. On consid`ere sur ]0; 1[ les ´equations diff´erentielles suivantes : (1−t)x⁰⁰+tx⁰−x= 0 (H)

(1−t)x⁰⁰+tx⁰−x=−(t−1)² (E) 1. Montrer quet7→t est une solution particuli`ere de (H).

2. En d´eduire l’ensemble des solutions de (H).

3. Donner un syst`eme fondamental de solutions de (H).

4. Donner l’ensemble des solutions de (E).

Exercice 8. L’objectif est de r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante : (E) t²y⁰⁰+ty⁰−y=t²e^t.

Soit (H) l’´equation homog`ene associ´ee.

R´esolution sur R⁺

1. V´erifier que t7→t est une solution de l’´equation (H).

2. Trouver un syst`eme fondamental de solutions de l’´equation (H).

3. Donner l’ensemble des solutions surR⁺ de (E).

R´esolution sur R

4. Donner l’ensemble des solutions surR^∗ de (H).

5. Donner l’ensemble des solutionsC²(R) de (H).

6. Donner l’ensemble des solutionsC²(R) de (E).

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